数学建模之汽油的生产与销售问题.docx

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数学建模之汽油的生产与销售问题

论文题目：

汽油的生产与销售

摘要

石油是一种重要的有限的自然资源，一直以来都引人关注，如何使有限的石油资源在生产与销售时达到最优化配置，使炼油厂能够达到利润最大？

本文针对上述问题，在给定具体数据的情况下，建立了两个线性规划模型，运用了LINGOS件进行求解。

对于问题一：

考虑到炼油厂每天购进原油和的限制，以及原油中所含辛烷值和硫含量，建立了一个线性规划模型，求出日所获最大利润为293500元，具体

生产方案如下表：

原油与汽油生产关系表

原油汽油

甲

乙

丙

4800

1400

1800

1000

1200

2100

1200

对于问题二：

考虑到做广告对销售产生了影响，即投入一元广告费，可增加汽油销量十桶。

销量增加，炼油厂只有生产更多的汽油，才能获取最大的利润，但又考虑到投入广告的总费用和原油的购进量以及加工能力的限制，对此又建立了一个线性规划模型，求出日所获最大利润为387550元，具体生产方案及所投广告费如下表：

原油与汽油生产关系及投入广告费表

原油

汽油

甲

乙

丙

4000

2200

1800

2000

3500

3300

1200

广告费

450

1.问题重述

在当今社会，随着机动车辆的增加，汽油已经是一种必不可少的资源汽油的生产与销售，一直，备受的人们的关注。

在本文中，我们将考虑某炼油厂汽油的炼制与销售的实际问题，运用数学的方法，使其生产达到合理化配置，以谋取最大利润。

炼油厂可每天可进购3种不同的原油，原油的数据见下表：

表1.原油的相关数据

原油类别

买入价

（美元/桶）

买入量

（桶/天）

辛烷值

（%）

硫含量

（%）

8000

0.5

8000

2.0

8000

3.0

用于生产3种不同型号的汽油，汽油的数据见下表:

表2.汽油的相关数据

汽油奥别

卖出价

（美元/桶）

需求量

（桶/天）

辛烷值

（%）

硫含量

（%）

甲

6000

1.0

乙

4500

2.0

丙

3000

1.5

已知一桶原油加工成一桶汽油的费用是4美元，该炼油厂每天最多能加工汽油18000桶。

但由于销售数量的限制，以及做广告对销售产生了影响，在给定不同的情况下，对汽油的生产做出合理化的安排。

本文需要解决的问题有：

问题一：

不做广告，直接生产，如何安排生产计划，使该炼油厂的利润最大

问题二：

一般来说，做广告可以增加销售，估计一天向一种汽油投入1美

元的广告，可以使该汽油的日销量增加10桶，且该厂最多投入的总广告费为

1000美元.问如何安排生产和广告计划，使该炼油厂的利润最大

2.模型假设

假设一：

题目所给的数据是合理的

假设二：

企业的销售能力能够达到每日市场最大需求量

假设三：

市场条件不变动，工人的加工成本不发生变动

3.符号说明

加工费

销售收入

购买原油费

投入甲的广告费

投入乙的广告费

投入丙的广告费

总投入的广告费

未投入广告总利润

投入广告后总利润

每日汽油的市场需求量

每日汽油的最大加工量

公司所投广告费总预算

A种原油生产甲种汽油的量

A种原油生产乙种汽油的量

A种原油生产内种汽油的量

B种原油生产甲种汽油的量

B种原油生产乙种汽油的量

B种原油生产丙种汽油的量

C种原油生产甲种汽油的量

C种原油生产乙种汽油的量

C种原油生产丙种汽油的量

4.问题分析

此题研究的是某炼油厂汽油的生产与销售的数学建模问题。

要想使工厂每

天能获得最大的收益，就必须制定一份合理的生产计划。

4.1问题一的分析

针对问题一：

安排原油的采购、加工最终目的是为了利润达到最大化，题目中2&出了3种原油的采购价，和3种汽油的销售价。

所求利润为汽油的销售收入减去原油的采购价，以及加工的成本。

但汽油在销售时受需求量的限制，如果加工过多，则会造成囤积，如果加工过少，又不能使利润达到最大化。

题目中还给出了辛烷值和硫含量。

在汽油中，辛烷值越高越好，硫含量越低越好。

但辛烷值越高，硫含量越低，在购买原油的时候，所购原油的价格就会越贵，购买成本就会增加，为了使工厂能达到利润最大化，我们以辛烷值含量最低，硫含量最高为标准来处理。

这样既简化了模型，又减少了进口成本，增加了炼油厂的利润。

4.2问题二的分析

针对问题二：

由于公司在投入广告之后，广告会使汽油在市场中的需求量增加，但投入广告费总共不超过1000元。

这就说明3种汽油的需求量不可能无限制增加。

此问题的难点在于甲乙丙3种汽油，各应投入广告费多少元

才能使销售收入达到最大，但汽油中辛烷值和硫含量仍处于达标水平。

虽甲乙内3种汽油销售量增加，但每天可购进3种原油的最大量仍保持不变。

所以，每天购进的原油总量是有限的。

在这错综复杂的众多关系中，如何使用线性规划进行求解，是本题的关键所在。

5.问题一的解答

5.1模型一的建立

5.1.1确定目标函数

该模型是为了解决炼油厂汽油的炼制与销售问题，为了使炼油厂利润W1达到最大，我们需建立了一个目标函数，因为

总利润W1销售U^入K-购买原油费I-加工费P销售收入K=70（x1y1z1）+60（x2y2z2）+55（x3y3z3）

333

购买原油费I=45Xi+35yi+254i1i1i1

加工费P=4（XiyZi）i1

所以目标函数为

MaxW1=K-I-P

5.1.2确定约束条件

（1）因为A种原油量购买量x，B种原油购买量yi,C种原油购买

量乙，都不能超过其每日最大购买量，所以：

xiD

yiD

ziD

（2）由于市场需求量的要求，为了获取最大利润，使三种汽油的生产量等于每日需求量M,所以：

xiX4M

（3）由于辛烷值的限制，原油中的辛烷值的含量必须不小于汽油中辛烷值的含量，所以：

12x1

6y1

8z1

10（x1

Zi）

12x2

6y2

8z2

8（x2

z2）

12x3

6y3

8z3

7（x3

z3）

（4）由于硫含量的限值，原油中硫含量必须不超过汽油中硫含量,

所以:

0.5x1

3z1

（xiy1

Zi）

0.5x2

2y2

3z2

2（x2

yZ2）

0.5x3

2y3

3z3

1.5（x3

y3Z3）

（5）三种原油的生产量不能超过日最大加工量J,所以：

（Xiy4）Ji1

（6）由于原油购买量和汽油销售量不能是负数，且必须为整数，所以:

7,4Ni1,2,3

综上所述，得到问题一的优模型是：

MaxW1=K-I-P

xiyi

12xi

6y1

8zi

10（xi

Zi）

12x2

6y2

8z2

8（x2

Z2）

s.t.12x3

6y3

8Z3

7（x3

Z3）

0.5x1

2y1

3z1

（xi

Zi）

0.5x2

2y2

3z2

2（x2

y2Z2）

0.5x3

2y3

3z3

1.5（x3

y3Z3）

（xi

小

4）

x,yi,Zii

1,2,3

5.2模型一的求解

运用LINGO软件得到炼油厂每日可获最大利润为：

293500元，炼油厂每

日购进原油和生产汽油结果如下表所示：

原油与汽油生产关系表

原油类别

甲种

乙

种

丙种

生

产量

汽油

类别

汽油

4800

1400

1800

1000

1200

2100

1200

原油与汽油生产关系图

■甲种汽油

■乙种汽油

■丙种汽油

5.3模型一的结果分析

从所得结果可以看出，利用A类原油生产甲种汽油4800桶生产乙种汽油1400桶，生产丙种汽油1800桶；利用B类原油只生产乙种汽油1000桶：

利用C种原油生产甲种汽油1200桶；生产乙种汽油2100桶，生产丙种汽油1200桶;

所获利润最大，最大利润为293500元

6.问题二的解答

6.1模型二的建立

6.1.1确定目标函数

在投入广告后，为了使炼油厂利润W2达到最大，我们需建立了一个目标函数，因为

总利润W2销售U^入K-购买原油费I-加工费P-总投入的广告费T

而

销售收入K=70（x1y1z1）+60（x2y2z2）+55（x3y3z3）

333

购买原油费I=45Xi+35yi+25Zii1i1i1

加工费P=4（Xiy4）

总的广告费T=t112t3

所以目标函数

MaxW2=K-I-P-T

6.1.2确定约束条件

（1）因为A种原油购买量x1,B种原油购买量x2,C种原油购买量x3,都不能超过其每日最大购买量，所以：

xiD

yid

ZiD

（2）在投入广告后，由于市场需求量的扩大，为了获取最大利润，我们

假设三种汽油的生产量等于每日需求量M+10t,所以：

xiyiZiM10ti

（3）由于辛烷值的限制，原油中的辛烷值的含量必须不小于汽油中辛烷值的含量，所以：

12x16yl8z110（x1y1z1）

12x26y28z28（x2y2z2）

12x36y38Z37（x3yZ3）

（4）由于硫含量的限值，原油中硫含量必须不超过汽油中硫含量，所以:

0.5xi2yi3zi（xiyi乙）0.5x22y23z22（x2y2Z2）

0.5x32y33z31.5函yZ3）

（5）三种原油的生产量不能超过日最大加工量J,所以：

（xiyZi）Ji1

（6）三种汽油所投入广告总费用T不能超过公司所投入的广告费预算H,

所以：

（7）由于原油购买量和汽油销售量不能是负数，且必须为整数，所以：

xi，yi，ZiNi1,2,3

综上所述，得到问题一的优模型是：

MaxW1=K-I-P-T

xiDyidZiDxiyiziM10ti12xi6y18Z110（Xiy〔Z1）

12x26y28z28（x2y2z2）

st.12x36y38Z37（x3yZ3）

0.5x12y13z1（x1y1z1）0.5x22y23z22（x2y2z2）0.5x32y33Z31.5（x3yZ3）3（xyizi）Ji1TH

6.2模型二的求解

运用LINGO软件得到炼油厂每日可获最大利润为：

387550元，炼油厂每

日购进原油和生产汽油结果如下表所示：

原油与汽油生产关系及广告费投入表

原油类别

甲

乙

丙

生

种

产

汽

量

汽油

类别

油

4000

2200

1800

2000

3500

1200

2100

1200

所投广告费

450

原油与汽油生产关系及所投广告图

从所得结果可以看出，利用A类原油生产甲种汽油4000桶生产乙种汽油2200桶，生产丙种汽油1800桶；利用B类原油生产甲种原油2000桶，生产乙种汽油3500桶，不生产丙种汽油；利用C种原油生产乙种汽油3300桶，生产丙种汽油1200桶，不生产甲种汽油；只向乙种汽油投入广告费450元，不向甲、内两种汽油投入广告费，所获利润最大，最大利润为387550元。

7.模型评价、改进及推广

7.1模型的评价

7.1.1优点

（1）抓住了题目中所给的主要关系，求得目标函数，以及其约束条件，考虑了实际问题中原油购买量和汽油销售量应该都为整数。

（2）所建立的线性模型，理论性强，各模型之间能够相互辅佐论证。

7.1.2缺点

由于题目中所给数据不一定符合汽油炼制的实情，而且由于计算机在计算时存在系统误差，导致所得结果不太理想。

7.2模型的改进

在综合比较模型的优缺点后，我们发现，所建立的模型是可以改进的。

在所建立的模型中，目标函数唯一，并未考虑其他因素，模型并不完美。

改进一：

将模型再增加一步，即考虑原油按比例稀释后，降低其硫含量。

通过两种原油的按比例混合，从而使生产的汽油达标，为炼油厂增加收入。

改进二：

根据实际情况，考虑能否再增加几个评价模型的标准，即不单以利润最大化为唯一评价标准，而还应该考虑其他因素，如是否节源，是否环保。

7.3模型的推广

依据所给的数据，建立了以供需为匹配程度的规划模型，并利用了相关知识，确定了汽油生产与销售，以及广告费的投入计划。

我们所建立的模型可移植性极高，不仅适用于汽油的生产和销售，也可适用与其他商品的生产，诸如矿泉水的生产，纸张的生产。

参考文献

[11王兵团，数学建模基础，北京：

清华大学出版社，北京交通大学出版社，2004

【2】姜启源，谢金星，叶俊，数学建模（第三版）北京：

高等教育出

版社，2003

附录

max=70*（x1+y1+z1）+60*（x2+y2+z2）+55*（x3+y3+z3）-4*（x1+x2+x3+y1+y2+y3+z1+z2+z3）-45*（x1+x2+x3）-35*（y1+y2+y3）-25*（z1+z2+z3）;

x1+x2+x3<=8000;

y1+y2+y3<=8000;

z1+z2+z3<=8000;

x1+x2+x3+y1+y2+y3+z1+z2+z3<=18000;

x1+y1+z1=6000;

x2+y2+z2=4500;

x3+y3+z3=3000;

12*x1+6*y1+8*z1>=10*（x1+y1+z1）;

12*x2+6*y2+8*z2>=8*（x2+y2+z2）;

12*x3+6*y3+8*z3>=7*（x3+y3+z3）;

0.5*x1+2*y1+3*z1<=1*（x1+y1+z1）;

0.5*x2+2*y2+3*z2<=2*（x2+y2+z2）;

0.5*x3+2*y3+3*z3<=1.5*（x3+y3+z3）;

x1>=0;x2>=0;x3>=0;

y1>=0;y2>=0;y3>=0;

z1>=0;z2>=0;z3>=0;

@gin（x1）;@gin（x2）;@gin（x3）;@gin（y1）;@gin（y2）;@gin（y3）;@gin（z1）;@gin（z2）;@gin（z3）;

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivebound:

Infeasibilities:

0.000000

Extendedsolversteps:

Totalsolveriterations:

VariableValueReduced

Cost

X14800.000

-21.00000

Y10.000000

-31.00000

Z11200.000

-41.00000

X21400.000

-11.00000

Y21000.000

-21.00000

Z22100.000

-31.00000

X31800.000

-6.000000

Y30.000000

-16.00000

Z31200.000

-26.00000

RowSlackorSurplusDualPrice1293500.0

1.000000

20.000000

0.000000

222100.000

0.000000

231200.000

0.000000

附录二

max=70*（x1+y1+z1）+60*（x2+y2+z2）+55*（x3+y3+z3）-4*（x1+x2+x3+y1+y2+y3+z1+z2+z3）-45*（x1+x2+x3）-35*（y1+y2+y3）-25*（z1+z2+z3）-（t1+t2+t3）;

x1+x2+x3<=8000;

y1+y2+y3<=8000;

z1+z2+z3<=8000;

x1+x2+x3+y1+y2+y3+z1+z2+z3<=18000;

x1+y1+z1=6000+10*t1;

x2+y2+z2=4500+10*t2;

x3+y3+z3=3000+10*t3;

t1+t2+t3<=1000;

12*x1+6*y1+8*z1>=10*（x1+y1+z1）;

12*x2+6*y2+8*z2>=8*（x2+y2+z2）;

12*x3+6*y3+8*z3>=7*（x3+y3+z3）;

0.5*x1+2*y1+3*z1<=1*（x1+y1+z1）;

0.5*x2+2*y2+3*z2<=2*（x2+y2+z2）;

0.5*x3+2*y3+3*z3<=1.5*（x3+y3+z3）;

x1>=0;x2>=0;x3>=0;

y1>=0;y2>=0;y3>=0;

z1>=0;z2>=0;z3>=0;

t1>=0;t2>=0;t3>=0;

@gin（x1）;@gin（x2）;@gin（x3）;@gin（y1）;@gin（y2）;@gin（y3）;@gin（z1）;@gin（z2）;@gin（z3）;@gin（t1）;@gin（t2）;@gin（t3）;

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

387550.0

Objectivebound:

387550.0

Infeasibilities:

0.000000

Extendedsolversteps:

Totalsolveriterations:

Variable

Value

Reduced

Cost

4000.000

-21.00000

2000.000

-31.00000

0.000000

-41.00000

2200.000

-11.00000

3500.000

-21.00000

3300.000

-31.00000

1800.000

-6.000000

0.000000

-16.00000

1200.000

-26.00000

0.000000

1.000000

450.0000

1.000000

0.000000

RowSlackorSurplusDual

Price

1.000000

0.000000

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