数学建模之汽油的生产与销售问题.docx

1、数学建模之汽油的生产与销售问题数学建模之汽油的生产与销售 问题论文题目：汽油的生产与销售摘要石油是一种重要的有限的自然资源，一直以来都引人关注，如何使有限的 石油资源在生产与销售时达到最优化配置，使炼油厂能够达到利润最大？本文 针对上述问题，在给定具体数据的情况下，建立了两个线性规划模型，运用了 LINGOS件进行求解。对于问题一：考虑到炼油厂每天购进原油和的限制， 以及原油中所含辛烷值 和硫含量，建立了一个线性规划模型，求出日所获最大利润为 293500元，具体生产方案如下表：原油与汽油生产关系表原油 汽油甲乙丙A480014001800B010000C120021001200对于问题二：考

2、虑到做广告对销售产生了影响，即投入一元广告费，可增 加汽油销量十桶。销量增加，炼油厂只有生产更多的汽油，才能获取最大的利 润，但又考虑到投入广告的总费用和原油的购进量以及加工能力的限制，对此 又建立了一个线性规划模型，求出日所获最大利润为387550元，具体生产方案 及所投广告费如下表：原油与汽油生产关系及投入广告费表原油汽油甲乙丙A400022001800B200035000C033001200广告费045001.问题重述在当今社会，随着机动车辆的增加，汽油已经是一种必不可少的资源 汽油的生产与销售，一直，备受的人们的关注。在本文中，我们将考虑某炼油厂汽油的炼制与销售的实际问题，运用 数学的

3、方法，使其生产达到合理化配置，以谋取最大利润。炼油厂可每天可进购3种不同的原油，原油的数据见下表：表1.原油的相关数据原油类别买入价(美元/桶)买入量(桶/天)辛烷值(%)硫含量(%)A458000120.5B35800062.0C25800083.0用于生产3种不同型号的汽油，汽油的数据见下表:表2.汽油的相关数据汽油奥别卖出价(美元/桶)需求量(桶/天)辛烷值(%)硫含量(%)甲706000101.0乙60450082.0丙55300071.5已知一桶原油加工成一桶汽油的费用是 4美元，该炼油厂每天最多能加工 汽油18000桶。但由于销售数量的限制，以及做广告对销售产生了影响，在给 定不同

4、的情况下，对汽油的生产做出合理化的安排。本文需要解决的问题有：问题一：不做广告，直接生产，如何安排生产计划，使该炼油厂的利润最 大问题二：一般来说，做广告可以增加销售，估计一天向一种汽油投入 1美元的广告，可以使该汽油的日销量增加 10桶，且该厂最多投入的总广告费为1000美元.问如何安排生产和广告计划，使该炼油厂的利润最大2.模型假设假设一：题目所给的数据是合理的假设二：企业的销售能力能够达到每日市场最大需求量假设三：市场条件不变动，工人的加工成本不发生变动3.符号说明P加工费K销售收入I购买原油费t1投入甲的广告费t2投入乙的广告费t3投入丙的广告费T总投入的广告费W1未投入广告总利润W2

5、投入广告后总利润M每日汽油的市场需求量J每日汽油的最大加工量H公司所投广告费总预算x1A种原油生产甲种汽油的量x2A种原油生产乙种汽油的量x3A种原油生产内种汽油的量yiB种原油生产甲种汽油的量y2B种原油生产乙种汽油的量y3B种原油生产丙种汽油的量z1C种原油生产甲种汽油的量z2C种原油生产乙种汽油的量z3C种原油生产丙种汽油的量4.问题分析此题研究的是某炼油厂汽油的生产与销售的数学建模问题。要想使工厂每天能获得最大的收益，就必须制定一份合理的生产计划。4.1问题一的分析针对问题一：安排原油的采购、加工最终目的是为了利润达到最大化， 题目中2&出了 3种原油的采购价，和3种汽油的销售价。所求

6、利润为汽油的销 售收入减去原油的采购价，以及加工的成本。但汽油在销售时受需求量的限制， 如果加工过多，则会造成囤积，如果加工过少，又不能使利润达到最大化。题 目中还给出了辛烷值和硫含量。在汽油中，辛烷值越高越好，硫含量越低越好。 但辛烷值越高，硫含量越低，在购买原油的时候，所购原油的价格就会越贵， 购买成本就会增加，为了使工厂能达到利润最大化，我们以辛烷值含量最低， 硫含量最高为标准来处理。这样既简化了模型，又减少了进口成本，增加了炼 油厂的利润。4.2问题二的分析针对问题二：由于公司在投入广告之后，广告会使汽油在市场中的需 求量增加，但投入广告费总共不超过1000元。这就说明3种汽油的需求量

7、不可 能无限制增加。此问题的难点在于甲乙丙 3种汽油，各应投入广告费多少元才能使销售收入达到最大，但汽油中辛烷值和硫含量仍处于达标水平。虽甲乙 内3种汽油销售量增加，但每天可购进 3种原油的最大量仍保持不变。所以， 每天购进的原油总量是有限的。在这错综复杂的众多关系中，如何使用线性规 划进行求解，是本题的关键所在。5.问题一的解答5.1模型一的建立5.1.1确定目标函数该模型是为了解决炼油厂汽油的炼制与销售问题，为了使炼油厂利润W1达 到最大，我们需建立了一个目标函数，因为总利润W1销售U入K-购买原油费I-加工费P 销售收入 K =70(x1 y1 z1) + 60(x2 y2 z2) +

8、55(x3 y3 z3)3 3 3购买原油费I =45 Xi +35 yi +25 4 i 1 i 1 i 13加工费 P= 4 (Xi y Zi) i 1所以目标函数为Max W1=K-I-P5.1.2确定约束条件(1)因为A种原油量购买量 x ， B种原油购买量 yi , C种原油购买量 乙，都不能超过其每日最大购买量，所以：xi Dyi Dzi D(2)由于市场需求量的要求，为了获取最大利润，使三种汽油的生产 量等于每日需求量 M,所以：xi X 4 M(3)由于辛烷值的限制，原油中的辛烷值的含量必须不小于汽油中辛 烷值的含量，所以：12x16y18z110(x1y1Zi)12x26y2

9、8z28(x2y2z2)12x36y38z37(x3y3z3)(4)由于硫含量的限值，原油中硫含量必须不超过汽油中硫含量,所以:0.5x12%3z1(xi y1Zi)0.5x22 y23z22(x2y Z2)0.5x32 y33z31.5(x3y3 Z3)(5)三种原油的生产量不能超过日最大加工量 J,所以： 3(Xi y 4) J i 1(6)由于原油购买量和汽油销售量不能是负数，且必须为整数，所以:7,4 N i 1,2,3综上所述，得到问题一的优模型是：Max W1=K-I-Pxi yiZiM12xi6y18zi10(xiy1Zi)12x26 y28z28(x2y2Z2)s.t. 12x

10、36 y38Z37(x3y3Z3)0.5x12y13z1(xiy1Zi)0.5x22 y23z22(x2y2 Z2)0.5x32 y33z31.5(x3y3 Z3)3(xii 1小4)Jx, yi, Zi iN i1,2,35.2模型一的求解运用LINGO软件得到炼油厂每日可获最大利润为： 293500元，炼油厂每日购进原油和生产汽油结果如下表所示：原油与汽油生产关系表原油类别甲 种乙种丙 种生产 量汽 油类 别汽 油汽 油汽 油A480014001800B010000C120021001200原油与汽油生产关系图甲种汽油乙种汽油丙种汽油5.3模型一的结果分析从所得结果可以看出，利用 A类原油

11、生产甲种汽油4800桶生产乙种汽油 1400桶，生产丙种汽油1800桶；利用B类原油只生产乙种汽油1000桶：利用 C种原油生产甲种汽油1200桶；生产乙种汽油2100桶，生产丙种汽油1200桶;所获利润最大，最大利润为293500元6.问题二的解答6.1模型二的建立6.1.1确定目标函数在投入广告后，为了使炼油厂利润 W2达到最大，我们需建立了一个目标函 数，因为总利润W2销售U入K-购买原油费I-加工费P-总投入的广告费T而销售收入 K= 70(x1 y1 z1) +60(x2 y2 z2)+ 55(x3 y3 z3)3 3 3购买原油费 I=45 Xi+35 yi+25 Zi i 1 i

12、 1 i 13加工费 P = 4 (Xi y 4)i 1总的广告费T = t1 12 t3所以目标函数Max W2=K-I-P-T6.1.2确定约束条件(1)因为A种原油购买量x1, B种原油购买量x2, C种原油购买量x3, 都不能超过其每日最大购买量，所以：xi Dyi dZi D(2)在投入广告后，由于市场需求量的扩大 ，为了获取最大利润，我们假设三种汽油的生产量等于每日需求量 M+10t,所以：xi yi Zi M 10ti(3) 由于辛烷值的限制，原油中的辛烷值的含量必须不小于汽油中辛 烷值的含量，所以：12x1 6yl 8z1 10(x1 y1 z1)12x2 6y2 8z2 8(

13、x2 y2 z2)12x3 6y3 8Z3 7(x3 y Z3)(4)由于硫含量的限值，原油中硫含量必须不超过汽油中硫含量， 所以:0.5xi 2yi 3zi (xi yi 乙) 0.5x2 2y2 3z2 2(x2 y2 Z2)0.5x3 2 y3 3z3 1.5函 y Z3)(5)三种原油的生产量不能超过日最大加工量 J,所以：3(xi y Zi) J i 1(6)三种汽油所投入广告总费用 T不能超过公司所投入的广告费预算 H,所以：T H(7)由于原油购买量和汽油销售量不能是负数，且必须为整数，所以： xi，yi，Zi N i 1,2,3综上所述，得到问题一的优模型是：Max W1=K-

14、I-P-Txi D yi d Zi D xi yi zi M 10ti 12xi 6y1 8Z1 10( Xi y Z1)12x2 6y2 8z2 8(x2 y2 z2)st. 12x3 6 y3 8Z3 7(x3 y Z3)0.5x1 2y1 3z1 (x1 y1 z1) 0.5x2 2y2 3z2 2( x2 y2 z2) 0.5x3 2y3 3Z3 1.5(x3 y Z3) 3 (x yi zi) J i 1 T H6.2模型二的求解运用LINGO软件得到炼油厂每日可获最大利润为： 387550元，炼油厂每日购进原油和生产汽油结果如下表所示：原油与汽油生产关系及广告费投入表原油类别甲乙丙

15、生种种种产汽汽汽量量汽油类别油油油A400022001800B200035000C120021001200所投广告费04500原油与汽油生产关系及所投广告图从所得结果可以看出，利用 A类原油生产甲种汽油4000桶生产乙种汽油 2200桶，生产丙种汽油1800桶；利用B类原油生产甲种原油2000桶，生产乙 种汽油3500桶，不生产丙种汽油；利用 C种原油生产乙种汽油3300桶，生产 丙种汽油1200桶，不生产甲种汽油；只向乙种汽油投入广告费450元，不向甲、 内两种汽油投入广告费，所获利润最大，最大利润为 387550元。7.模型评价、改进及推广7.1模型的评价7.1.1优点(1)抓住了题目中所

16、给的主要关系，求得目标函数，以及其约束条件，考 虑了实际问题中原油购买量和汽油销售量应该都为整数。(2)所建立的线性模型，理论性强，各模型之间能够相互辅佐论证。7.1.2缺点由于题目中所给数据不一定符合汽油炼制的实情，而且由于计算机在 计算时存在系统误差，导致所得结果不太理想。7.2模型的改进在综合比较模型的优缺点后，我们发现，所建立的模型是可以改进的。在 所建立的模型中，目标函数唯一，并未考虑其他因素，模型并不完美。改进一：将模型再增加一步，即考虑原油按比例稀释后，降低其硫含量。通过两种原油的按比例混合，从而使生产的汽油达标，为炼油厂增加收入。改进二：根据实际情况，考虑能否再增加几个评价模型

17、的标准，即不单以 利润最大化为唯一评价标准，而还应该考虑其他因素，如是否节源，是否环保。7.3模型的推广依据所给的数据，建立了以供需为匹配程度的规划模型，并利用了相 关知识，确定了汽油生产与销售，以及广告费的投入计划。我们所建立的模型 可移植性极高，不仅适用于汽油的生产和销售，也可适用与其他商品的生产， 诸如矿泉水的生产，纸张的生产。参考文献11王兵团，数学建模基础，北京：清华大学出版社，北京交通大 学出版社，2004【2】姜启源，谢金星，叶俊，数学建模(第三版)北京：高等教育出版社，2003附录max=70*(x1+y1+z1)+60*(x2+y2+z2)+55*(x3+y3+z3)-4*(

18、x1+x2+x3+y1+y2+ y3+z1+z2+z3)-45*(x1+x2+x3)-35*(y1+y2+y3)-25*(z1+z2+z3);x1+x2+x3=8000;y1+y2+y3=8000;z1+z2+z3=8000;x1+x2+x3+y1+y2+y3+z1+z2+z3=10*(x1+y1+z1);12*x2+6*y2+8*z2=8*(x2+y2+z2);12*x3+6*y3+8*z3=7*(x3+y3+z3);0.5*x1+2*y1+3*z1=1*(x1+y1+z1);0.5*x2+2*y2+3*z2=2*(x2+y2+z2);0.5*x3+2*y3+3*z3=0;x2=0;x3=0

19、;y1=0;y2=0;y3=0;z1=0;z2=0;z3=0;gin(x1); gin(x2); gin(x3); gin(y1); gin(y2); gin(y3); gin(z1); gin (z2); gin(z3);Global optimal solution found.Objective bound: Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 8Variable Value ReducedCostX1 4800.000-21.00000Y1 0.000000-31.00000

20、Z1 1200.000-41.00000X2 1400.000-11.00000Y2 1000.000-21.00000Z2 2100.000-31.00000X3 1800.000-6.000000Y3 0.000000-16.00000Z3 1200.000-26.00000Row Slack or Surplus Dual Price 1 293500.01.0000002 0.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.00

21、00000.0000000.0000000.00000022 2100.0000.00000023 1200.0000.000000附录二max=70*(x1+y1+z1)+60*(x2+y2+z2)+55*(x3+y3+z3)-4*(x1+x2+x3+y1+y2+ y3+z1+z2+z3)-45*(x1+x2+x3)-35*(y1+y2+y3)-25*(z1+z2+z3)-(t1+t2+t3);x1+x2+x3=8000;y1+y2+y3=8000;z1+z2+z3=8000;x1+x2+x3+y1+y2+y3+z1+z2+z3=18000;x1+y1+z1=6000+10*t1;x2+y2

22、+z2=4500+10*t2;x3+y3+z3=3000+10*t3;t1+t2+t3=10*(x1+y1+z1);12*x2+6*y2+8*z2=8*(x2+y2+z2);12*x3+6*y3+8*z3=7*(x3+y3+z3);0.5*x1+2*y1+3*z1=1*(x1+y1+z1);0.5*x2+2*y2+3*z2=2*(x2+y2+z2);0.5*x3+2*y3+3*z3=0;x2=0;x3=0;y1=0;y2=0;y3=0;z1=0;z2=0;z3=0;t1=0;t2=0;t3=0;gin(x1); gin(x2); gin(x3); gin(y1); gin(y2); gin(y

23、3); gin(z1); gin (z2); gin(z3); gin(t1); gin(t2); gin(t3);Global optimal solution found.Objective value: 387550.0Objective bound: 387550.0Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 14VariableValueReducedCostX14000.000-21.00000Y12000.000-31.00000Z10.000000-41.00000X2220

24、0.000-11.00000Y23500.000-21.00000Z23300.000-31.00000X31800.000-6.000000Y30.000000-16.00000Z31200.000-26.00000T10.0000001.000000T2450.00001.000000T30.000000Row Slack or Surplus DualPrice1.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.000000