小学奥数之递推法.docx

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小学奥数之递推法

五年级下册奥数知识点：

递推方法

计数方法与技巧（递推法概念）

计数方法与技巧（递推法例题）

　例1：

　的乘积中有多少个数字是奇数？

　　分析与解答：

　　如果我们通过计算找到答案比较麻烦，因此我们先从最简单的情况入手。

　　9×9＝81，有1个奇数；

　　99×99＝99×（100－1）＝9900－99＝9801，有2个奇数；

　　999×999＝999×（1000－1）＝99900－999＝998001，有3个奇数；

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　　从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个奇数。

例题2：

　　分析与解答：

　　这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。

但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。

　　例题3：

2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，……按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。

问：

这时一共报了多少次？

最后留下的这个人原来的号码是多少？

　　分析与解答：

　　难的不会想简单的，数大的不会想数小的。

我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。

　　这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10，这10人开始时的编号依次是：

2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。

　　第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5，这5人开始时的编号依次是：

4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。

　　第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2……1，这2人开始时的编号依次是：

8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。

　　第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1，这1人开始时的编号是：

16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。

　　由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。

　　2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢?

　　第一次：

2000÷2＝1000第二次：

1000÷2＝500

　　第三次：

500÷2＝250第四次：

250÷2＝125

　　第五次：

125÷2＝62……1第六次：

62÷2＝31

　　第七次：

31÷2＝15……1第八次：

15÷2＝7……1

　　第九次：

7÷2＝3……1第十次：

3÷2＝1……1

　　所以共需报10次数。

　　那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是：

　　2×2×2×…×2＝1024（号）

　　例题4：

平面上有10个圆，最多能把平面分成几部分？

　　分析与解答：

　　直接画出10个圆不是好办法，先考虑一些简单情况。

　　一个圆最多将平面分为2部分；

　　二个圆最多将平面分为4部分；

　　三个圆最多将平面分为8部分；

　　当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时，第二个圆与第一个圆有2个交点，这两个交点将新加的圆弧分为2段，其中每一段圆弧都将所在平面的一分为二，所以所分平面部分的数在原有的2部分的基础上增添了2部分。

因此，二个圆最多将平面分为2＋2＝4部分。

　　同样道理，三个圆最多分平面的部分数是二个圆分平面为4部分的基础上增加4部分。

因此，三个圆最多将平面分为2＋2＋4＝8部分。

　　由此不难推出：

画第10个圆时，与前9个圆最多有9×2＝18个交点，第10个圆的圆弧被分成18段，也就是增加了18个部分。

因此，10个圆最多将平面分成的部分数为：

　　2＋2＋4＋6＋…＋18

　　＝2＋2×（1＋2＋3＋…＋9）

　　＝2＋2×9×（9＋1）÷2

　　＝92

　　类似的分析，我们可以得到，n个圆最多将平面分成的部分数为：

　　2＋2＋4＋6＋…＋2（n－1）

　　＝2＋2×[1＋2＋3＋…＋（n－1）]

　　＝2＋n（n－1）

　　＝n2－n＋2

一、填空题

　　1.将一个数做如下运算:

乘以4,再加上112,减去20,最后除以4,这时得100.那么这个数是.

　　2.李白提壶去买酒,遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒,壶中原有斗酒.

　　3.甲、乙两个车站共停135辆汽车,如果从甲站开36辆到乙站,从乙站开45辆到甲站,这时乙站车是甲站的1.5倍.乙原来停辆车.

　　4.农业站有一批化肥,第一天卖出一半又多15吨,第二次卖出余下的一半多8吨,第三次卖出180吨,正好卖完,这批化肥原来有吨.

　　5.四个袋子共有168粒棋子,小红过来一看,把棋子作如下的调整,把丁袋调3粒到丙袋,丙调6粒到乙袋,乙又调6粒到甲袋,甲袋调2粒到丁袋,这时,四个袋子的棋子一样多,乙袋原来有粒棋子.

　　6.一筐桔子,把它四等分后多一个,取走3份又一个,剩下的四等分后又剩一个,再取走3份又一个,剩下的四等分又剩一个,那么原来至少有个桔子.

　　7.袋子里有若干个球,小华每次拿出其中的一半再放回一个球,这样共操作了5次,袋中还有3个球,那么,袋中原来共有个球.

　　8.3÷7的小数点后面第1999位上的数是.

　　9.已知A,B,C,D四数之和为45,且A+2=B-2=C×2=D÷2,那么,这四个数依次是.

　　10.两个小于1000的质数之积是一个偶数,这个偶数最大可能是.

　　二、解答题

　　11.池塘的水面上生长着浮萍,浮萍所占面积每天增加一倍,经过15天把池溏占满了,求它几天占池塘的?

　　12.一条幼虫长成成虫,每天长大一倍,40天长到20厘米,问第36天长多少厘米?

　　13.某人去银行取款,第一次取了存款的一半多5元,第二次取了余下的一半多10元,最后剩下125元,求他原来有多少元?

　　14.王大爷把他所有西瓜的一半又半个卖给第一个顾客,把余下的一半又半个卖给第二个顾客,……这样一直到他卖给第六个人以后,他一个西瓜也没有,求他原来有西瓜多少个?

　　---------------答案----------------------

　　一、填空题

　　1.（100×4+20-112）÷4=77

　　2.斗

　　第三次见花前应有一斗;

　　第三次遇店前应有（斗）;

　　第二次见花前应有（斗）;

　　第二次遇店前应有（斗）;

　　第一次见花前应有（斗）;

　　第一次遇店前应有（斗）.

　　3.甲:

45辆;乙:

90辆.

　　把后来甲站所停汽车的辆数看为"1"的倍数,那么乙站所停的是1.5倍,那么"135"辆就是2.5倍,这样

　　甲站后来有:

135÷2.5=54（辆）

　　乙站后来有:

54×1.5=81（辆）

　　甲原有:

54+36-45=45（辆）

　　乙原有:

81+45-36=90（辆）

　　4.782吨.

　　[（180+8）×2+15]×2=782（吨）

　　5.甲38粒;乙42粒,丙45粒,丁43粒.

　　现各有168÷4=42（粒）.

　　甲:

42-6+2=38

　　乙:

42-6+6=42

　　丙:

42-3+6=45

　　丁:

42-2+3=43

　　6.85个.

　　1×4+1=5（个）

　　5×4+1=21（个）

　　21×4+1=85（个）

　　7.34个.

　　（3-1）×2=4（个）

　　（4-1）×2=6（个）

　　（6-1）×2=10（个）

　　（10-1）×2=18（个）

　　（18-1）×2=34（个）

　　8.4

　　3÷7=0.42857142……

　　6位

　　1999÷6=333……1

　　所以是4.

　　9.设C数为M,则

　　A=2M-2

　　B=2M+2

　　C=M

　　D=4M

　　9M=45,M=5

　　∴A=8;B=12;C=5;D=20.

　　10.1994

　　由于质数除2以外便都是奇数,奇数×奇数=奇数.

　　所以其中一个质数定是2,1000以最大的质数是:

997.

　　997×2=1994

　　二、解答题

　　11.第14天占;第13天占.

　　12.39天长:

40÷2=20（厘米）;

　　38天长:

20÷2=10（厘米）;

　　37天长:

10÷2=5（厘米）;

　　36天长:

5÷2=2.5（厘米）.

　　13.[（125+10）×2+5]×2=550（元）

　　14.第七个人:

0个;

　　第六个人:

（0.5+0）×2=1（个）;

　　第五个人:

（1+0.5）×2=3（个）;

　　第四个人:

（3+0.5）×2=7（个）;

　　第三个人:

（7+0.5）×2=15（个）;

　　第二个人:

（15+0.5）×2=31（个）;

　　第一个人:

（31+0.5）×2=63（个）;

　　一共有:

（63+0.5）×2=127（个）.

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