第10章Lingo软件包及其应用.docx
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第10章Lingo软件包及其应用
第十章Lingo软件包及其应用
Lingo软件包是一种专门用来求解数学规划和优化问题的软件包，由美国芝加哥大学的LinusSchrage教授创立的Lindo系统公司开发出来，可以在Windows和Linux环境下运行，同一版次具有不同的版本，如：
演示版（试用版）、学生班、高级版、超级版、工业版、扩展版等等，不同的版本对求解问题的规模、变量数目和约束条件的限制不同。
对于Lingo软件包来说，编写很简单的程序就能调用大量的外部已有数据进行优化计算，是其出色的亮点。
§9.1Lingo软件包的基础知识
（一）Lingo软件包的运算符
（1）算术运算符（ArithmeticOperators）
—取反（negation）^乘方（Exponentiation）
*乘法（Multiplication）/除（Division）
+加（Addition）—减（Subtraction）
（2）逻辑运算符
Lingo软件包的逻辑运算符，主要用于优化计算中定义各种逻辑条件。
逻辑运算符为：
＃NOT#非运算
＃EQ#相等
＃NE#不相等
＃GT#严格大于
＃GE#大于等于
＃LT#严格小于
＃LE#小于等于
＃AND#与
＃OR#或
（3）关系运算符
Lingo软件包中的关系运算符用在数学表达式中。
＝等号
<＝小于等于
>＝大于等于
注：
Lingo软件包不支持严格大于和严格小于，即，在Lingo软件包的数学表达式中“>”等价于“>=”，“<”等价于“<=”。
运算符的运算优先级（PriorityLevel）由高到低依次为：
优先级运算符
最高级#NOT#—（negation）
^
*/
+-
#EQ##NE##GT##GE##LT##LE#
#AND##OR#
最低级<==>=
（4）Lingo软件包的内部函数
Lingo软件包提供下列内部函数：
@ABS（X）绝对值函数
@COS（X）余弦函数
@EXP（X）
函数
@FLOOR（X）小于X的最大整数
@LGM（X）
，即
的自然对数
@LOG（X）自然对数
@SIGN（X）符号函数，当X<0时，取值-1，否则取值+1
@SIN（X）正弦函数
@SMAX（X1,X2,...,XN）求最大
@SMIN（X1,X2,...,XN）求最小
@TAN（X）正切函数
@IFIf函数，使用格式为：
@IF（条件，T，F），即，条件为真时，得到T，否则得到F。
@SUM求和函数
@FREE（X）取消变量X的非负限制（Lingo在求解优化问题时，默认所有变量非负）
@FOR优化计算时，用于限定约束条件
@bin（X）限定X是（0,1）变量
@bnd（下界，X，上界）限定下界
X
上界
@gin（X）限定X为整数变量
例如，@FOR（A（i,j）|a（i,j）#gt#0:
@bin（x（i,j）））表示限定矩阵A中元素：
当
时，对应的变量
是（0,1）变量。
注：
（1）在Lingo软件包中调用内部函数，一定要以@符号开头。
（2）在Lingo软件包中，model、sets、data以“：
”结尾，其它语句每行都以“；”结尾，endsets、enddata、end尾部不加任何符号。
（3）以！
开头，书写注释行,结尾用“；”。
（4）在Lingo软件包中，不能写100x，要写成100*x
（5）无论是否是求解优化问题，Lingo的结果中都有松弛分析（SlackorSurplus）
（6）Lingo软件包求解时，已经假设所有变量
0
例10-1在Lingo软件包中编写如下程序：
model:
data:
m=?
;
n=?
;
enddata
f=@sin（m）+@cos（n）;
end
执行后，依次输入
、
，得到结果：
Feasiblesolutionfoundatiteration:
0
VariableValue
M1.000000
N2.000000
F0.4253241
RowSlackorSurplus
10.000000
注：
如果输入
、
，则，得不到有效的结果，这说明Lingo软件包不能做通常的数学计算，它的优点在于优化计算。
（5）Lingo软件包编程的基本格式
格式1model:
开头，end结尾
格式2model:
开头，结尾省略end
格式3省略model:
和end
例10-2在Lingo软件包中，求解下列线性规划问题：
Lingo软件包中优化程序如下：
model:
max=100*x+150*y;
x<=100;
y<=120;
x+2*y<=160;
end
执行后得到结果：
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
0
Objectivevalue:
14500.00
VariableValueReducedCost
X100.00000.000000
Y30.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
114500.001.000000
20.00000025.00000
390.000000.000000
40.00000075.00000
即，目标函数
，最优解
。
例10-3在Lingo软件包中，利用FREE函数的功能，可以求解变量可取负值的优化问题；利用IF函数，可以求解分段函数的优化问题：
Lingo软件包中优化程序如下：
model:
min=fx+fy;
fx=@if（x#gt#0,100,0）+2*x;
fy=@if（y#gt#0,60+3*y,2*y）;
x+y>30;
@free（x）;@free（y）;
end
执行后得到结果：
Linearizationcomponentsadded:
Constraints:
30
Variables:
20
Integers:
12
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
34
Objectivevalue:
150.0000
VariableValueReducedCost
FX0.0000000.000000
FY150.00000.000000
X0.0000000.000000
Y30.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1150.0000-1.000000
20.000000-1.000000
30.000000-1.000000
40.000000-3.000000
即，目标函数
，最优解
。
注：
在Mathematica软件包中，编程画图如下：
Plot[{0,If[x>0,2x+100,2x]+If[x<30,60+3（30-x）,2（30-x）]},{x,-40,40}]
执行后得到图形如下：
例10-4在Lingo软件包中，求解下列变量可取负值的优化问题：
在Lingo软件包中编程如下：
min=4*x1^2-x2^2+2*x3^2+12;
3*x1+2*x2+x3=9;
x1+x2+x3=-1;
@free（x1）;@free（x2）;@free（x3）;
执行后得到结果：
Localoptimalsolutionfoundatiteration:
6
Objectivevalue:
152.0000
VariableValueReducedCost
X10.9999950-0.5434437E-08
X28.0000100.000000
X3-10.000010.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1152.0000-1.000000
20.000000-23.99999
30.00000064.00000
即，目标函数
，最优解
。
§9.2利用Lingo求解不等式组和方程组
Lingo软件包可以有效地求解不等式组，特别是非线性不等式组，这是Lingo软件包的特色之一。
不过，Lingo求解不等式组只能给出单独的解，而不能给出区间解。
在求解方程组时，只能求解实数解。
例10-5在Lingo软件包中，求解下列非线性不等式组：
在Lingo软件包中编程如下：
model:
3*x1*y1+x3*y1+3*x2*y2+x3*y2>=3*y1;
3*x1*y1+x3*y1+3*x2*y2+x3*y2>=3*y2;
3*x1*y1+x3*y1+3*x2*y2+x3*y2>=y1+y2;
x1*y1+2*x2*y1+3*x3*y1+2*x1*y2+3*x2*y2+x3*y2>=x1+2*x2+3*x3;
x1*y1+2*x2*y1+3*x3*y1+2*x1*y2+3*x2*y2+x3*y2>=2*x1+3*x2+x3;
x1+x2+x3=1;
y1+y2=1;
执行后得到结果：
Feasiblesolutionfoundatiteration:
72
VariableValue
X10.000000
Y10.000000
X30.000000
X21.000000
Y21.000000
RowSlackorSurplus
13.000000
20.000000
32.000000
41.000000
50.000000
60.000000
70.000000
即，得到此不等式组的一组解：
例10-6在Lingo软件包中，求解下列方程组：
解：
在Lingo软件包中编程如下：
model:
x1^3+x2^3+x3^3=3;
x1^2+x2^2+x3^2=2;
x1+x2+x3=1;
@free（x1）;
@free（x2）;
@free（x3）;
执行后，Lingo提示没有得到可行解（即，没有得到实数解），给出的结果是：
VariableValue
X1-0.2228950
X21.445790
X3-0.2228950
RowSlackorSurplus
10.000000
2-0.1896733
30.000000
我们可以验证
不是方程组的解。
例10-7在Lingo软件包中
（1）求解
，其中
表示自然对数。
在Lingo软件包中编程如下：
@log（x）-@sin（x）=0;
执行后得到结果：
Feasiblesolutionfoundatiteration:
0
VariableValue
X2.219107
RowSlackorSurplus
10.000000
即，得到方程的根
。
（2）求解
，其中
表示以10为底的常用对数。
在Lingo软件包中编程如下：
@log（x）/@log（10）-@sin（x）=0;
执行后得到结果：
Feasiblesolutionfoundatiteration:
0
VariableValue
X2.696257
RowSlackorSurplus
10.000000
即，得到方程的根
。
注：
此方程共有3个根（用Mathematica软件包求出的根是：
，
，
），Lingo软件包只能求出一个根。
§9.3应用Lingo软件包求解大型优化问题
（1）关于数据的输入
Lingo软件包的一大特点是，可以调用外部已有的大型数据进行优化计算，这些数据可以是以Excel格式存盘，也可以是以TEXT文本格式存盘，或者是数据库中的已有数据。
在Lingo软件包中，调用外部数据的函数有：
@FILE（'filename'）调用TEXT文本数据；
@OLE（'spreadsheet_file'[,range_name_list]）调用以Excel格式存盘的数据，其中range_name_list表示Excel数据的范围。
@ODBC（['data_source'[,'table_name'[,'col_1'[,'col_2'...]]]]）调用数据库中的数据文件。
例10-8在Lingo软件包中，数据部分可以如下编写程序：
①
data:
c=@file（‘f:
\pianai.tex’）;
enddata
②
data:
ca=@file（‘d:
\b.txt’）;
a=@ole（‘d:
\data.xls’,ca）;
enddata
其中ca表示Excel数据的取值范围。
（2）关于集的定义
①定义向量
在Lingo软件包中，以下列格式定义向量：
集合名称／集合的维数／：
向量名称
例如：
set1/1..3/:
x,y;
set2/1..4/:
a,b;
表示定义了第一类集合set1，维数是3，具体向量名称为x和y，即，定义了
和
同时定义了第二类集合set2，维数是4，具体向量名称为a和b，即，定义了
和
②定义矩阵
在Lingo软件包中，利用已经定义的向量来定义矩阵，格式为：
矩阵名称（集合名称1，集合名称2）／：
矩阵名称
例如：
set1/1..3/:
x,y;
set2/1..4/:
a,b;
link（set1,set2）/:
A,Q;
表示定义了3×4阶的矩阵link，具体矩阵的名称为A和Q
③定义超级矩阵
下面的程序定义了一个2×3×2的超级矩阵x：
sets:
student/A,B/;
class/1..3/;
subject/Math,English/;
score（student,class,subject）:
x;
endsets
执行后得到结果：
Feasiblesolutionfoundatiteration:
0
VariableValue
X（A,1,MATH）1.234568
X（A,1,ENGLISH）1.234568
X（A,2,MATH）1.234568
X（A,2,ENGLISH）1.234568
X（A,3,MATH）1.234568
X（A,3,ENGLISH）1.234568
X（B,1,MATH）1.234568
X（B,1,ENGLISH）1.234568
X（B,2,MATH）1.234568
X（B,2,ENGLISH）1.234568
X（B,3,MATH）1.234568
X（B,3,ENGLISH）1.234568
其中Value的值是随机取值的，在具体问题中需要使用Data命令赋值。
例10-9在Lingo软件包中，求解下列不等式组：
其中，
表示矩阵
的第
行，
表示矩阵
的第
列。
解：
在Lingo软件包中，编写程序如下：
model:
sets:
set1/1..2/:
x;
set2/1..2/:
y;
link（set1,set2）:
a,b;
endsets
@for（set1（i）:
@sum（set1（k）:
x（k））=1）;
@for（set2（j）:
@sum（set2（k）:
y（k））=1）;
@for（link（i,j）:
@sum（link（p,q）:
x（p）*a（p,q）*y（q））
>=@sum（link（i,q）:
a（i,q）*y（q）））;
@for（link（i,j）:
@sum（link（p,q）:
x（p）*b（p,q）*y（q））
>=@sum（link（t,j）:
x（t）*b（t,j）））;
data:
a=70100
40140;
b=7040
100140;
enddata
end
执行后得到结果如下：
Feasiblesolutionfoundatiteration:
8
VariableValue
X
（1）1.000000
X
（2）0.000000
Y
（1）1.000000
Y
（2）0.000000
A（1,1）70.00000
A（1,2）100.0000
A（2,1）40.00000
A（2,2）140.0000
B（1,1）70.00000
B（1,2）40.00000
B（2,1）100.0000
B（2,2）140.0000
RowSlackorSurplus
10.000000
20.000000
30.000000
40.000000
50.000000
60.000000
730.00000
830.00000
90.000000
1030.00000
110.000000
1230.00000
即，得到不等式组的解
。
例10-10一家工厂生产甲乙两种产品（单位：
吨），生产甲每吨需要消耗煤20吨、电30千瓦小时、人工30个，净利润11万元，生产乙每吨需要消耗煤30吨、电25千瓦小时、人工35个，净利润15万元，另外，在一个生产周期中，这家工厂拥有可调配的资源为煤360吨、电2000千瓦小时、人工300个。
求最优生产方案。
解：
假设生产甲x1吨、乙x2吨，则，数学模型为
在这个例子中，有两个2维向量：
利润lirun=（11,15）,和x=（x1,x2），一个3维向量b=（360,2000,300），以及一个3×2的系数矩阵
①在Mathematica软件包中，求得最优解（精确值）为
，
化为近似值是
。
②在Lingo软件包中输入程序如下：
model:
sets:
set1/1..2/:
lirun,x;
set2/1..3/:
b;
link（set2,set1）:
A;
endsets
max=@sum（set1（j）:
lirun（j）*x（j））;
@for（set2（i）:
[supply]@sum（link（i,j）:
A（i,j）*x（j））<=b（i））;
!
这里的supply是把约束条件命名（自己的意愿），方便分析灵敏度;
data:
lirun=1115;
b=3602000300;
A=2030
3025
3035;
enddata
执行后得到结果：
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
1
Objectivevalue:
128.5714
VariableValueReducedCost
LIRUN
（1）11.000000.000000
LIRUN
（2）15.000000.000000
X
（1）0.0000001.857143
X
（2）8.5714290.000000
B
（1）360.00000.000000
B
（2）2000.0000.000000
B（3）300.00000.000000
A（1,1）20.000000.000000
A（1,2）30.000000.000000
A（2,1）30.000000.000000
A（2,2）25.000000.000000
A（3,1）30.000000.000000
A（3,2）35.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1128.57141.000000
SUPPLY
（1）102.85710.000000
SUPPLY
（2）1785.7140.000000
SUPPLY（3）0.0000000.4285714
可见，Lingo软件包不光求出了最优解，而且还给出了剩余变量（slack）的值，以及对偶问题（Dual）的解。
尤其是，当系数矩阵A很大时，用Lingo软件包编写简单的程序，就可调用外部A的数据，十分方便。
例10-11长500Cm的条材，截长分别为98Cm、78Cm的毛坯，要98Cm的1万根，78Cm的2万根。
怎样截，材料最省？
解：
截法C1：
截98Cm的0根、78Cm的6根、废料32Cm；
C2：
98Cm的1根、78Cm的5根、废料12Cm；
C3：
98Cm的2根、78Cm的3根、废料70Cm；
C4：
98Cm的3根、78Cm的2根、废料50Cm；
C5：
98Cm的4根、78Cm的1根、废料30Cm；
C6：
98Cm的5根、78Cm的0根、废料10Cm；
假设xj根条材按Cj法截，则，数学模型为：
此模型中有一个2维向量
，一个6维向量
，以及一个2×6的系数矩阵A。
首先将系数矩阵A的数据作为Excel数据存盘，目录为:
C:
\Lingo8\gangguan.xls
注意：
数据范围是A1到F2。
然后，在Lingo软件包中，输入下列程序：
model:
sets:
set1/1..2/:
b;
set2/1..6/:
x;
link（set1,set2）:
A;
endsets
min=@sum（set2（i）:
x（i））;
@for（set1（i）:
@sum（link（i,j）:
A（i,j）*x（j））>b（i））;
@for（set2（i）:
@gin（x（i）））;
data:
b=1000020000;
A=@ole（'c:
\lingo8\gangguan.xls','A1:
F2'）;
enddata
其中@for（set2（i）:
@gin（x（i）））;表示限定变量x（i）都是整数变量；
A=@ole（'c:
\lingo8\gangguan.xls','A1:
F2'）;表示调用外部数据A，并且指明了数据的取值范围，从A1到F2。
执行后得到下列结果：
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
4
Objectivevalue:
5200.000
VariableValueReducedCost
B
（1）10000.000.000000
B
（2）20000.000.000000
X
（1）0.0000001.000000
X
（2）4000.0001.000000
X（3）0.0000001.000000
X（4）0.0000001.000000
X（5）0.0000001.000000
X（6）1200.0001.000000
A（1,1）0.0000000.000000
A（1,
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