数学思维 4年级3 简单的容斥原理.docx

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数学思维4年级3简单的容斥原理

数学思维4年级-3简单的容斥原理

[教学内容]：

数学思维之简单的容斥原理

[教学目标]:

知识技能：

1.让学生了解容斥问题的一些情况，掌握叠加的思考方法和基本的解题思路。

2.让学生在学习中学会把不同的情况进行比较，从而找出解题的突破口。

3.熟练掌握图解法。

数学思考：

1.通过图解法帮助解题，初步感受数形结合的数学方法。

2.感受包容、互斥的数学思想。

问题解决：

1．在老师的引导下，通过画图分析题意。

在和别人的讨论交流中，找到解题方法。

2.学会与他人合作交流，初步形成评价与反思的意识。

情感态度：

从实际问题出发，让学生感受到数学与生活的密切关系，激发学生学习数学的兴趣。

[教学重点和难点]:

教学重点：

了解容斥问题的一些情况，掌握叠加的思考方法和基本的解题思路。

教学难点：

学会把不同的情况进行比较，从而找出解题的突破口。

[教学准备]:

动画多媒体语言课件

第一课时

教学过程：

教学路径

学生活动

方案说明

一．导入：

师：

同学们你们喜欢思考趣味题吗？

生：

喜欢

师：

下面老师给你们说两个很有趣的题目，听的同时也要动脑筋哦。

趣味题一：

[课件出示文字：

有两对父子上山打猎，每人各打一只野兔，可是放到一起来数一数：

一只，两只，三只。

再数一遍，还是一只，两只，三只。

他们共打了三只兔子。

咋回事？

]

师：

老师觉得很奇怪，两对父子，应该一共是4只才对，怎么共打了三只呢？

为什么少了一只学生议论纷纷。

生：

我知道是什么原因，因为他们其实是三个人，分别是孙子，爸爸和爷爷。

[课件出示：

两对父子打猎的情形]

掌声响起。

师：

他太聪明了。

生：

有些时候我们不能把两个计数部分简单的相加，要注意有重复的现象，一定要把重复的部分排除。

师：

真不错，一句话就说出了重点。

这就是我们今天要研究的容斥问题。

板书：

简单的容斥原理

二、新授

皮皮是个爱学习的孩子，最近班上的老师学习上抓的很紧，作业很多，而且经常有考试，这不刚进行完一次测验，班上考试情况怎样呢？

我们一起去看看：

[课件出示例1：

某班所有同学语、数成绩至少有一门满分。

已知有25人数学得满分，有22人语文得满分，并且有4人语、数都得满分，那么这个班有多少人？

]

（1）学生读题，找出题中的已知条件

师：

从题目中，我们知道这个班的学生语文、数学的分数分为几种情况？

生：

三种，语文满分数学不是满分，数学满分语文不是满分，还有就是两门都是满分的。

师：

那这个班的总人数是把三种情况的人数相加吗？

生：

不是的，这样的话人数肯定会变多的。

师：

为什么呢？

你能说的更明确些吗？

生：

语文满分的与语文数学都满分的有交叉，数学满分的与语文数学都满分的也有交叉。

师：

同意吗？

生：

同意。

师：

咱们把他描述的用图表示是：

[课件出示：

动画

]

师：

谁知道交叉的部分是什么意思？

生：

我发现交叉的部分不仅被包括在数学满分的25人里面，同时也包括在语文满分的22人里面

生：

是语文数学都得满分的。

也就是4人。

[课件出示：

]

师：

同意吗？

师：

同学们的眼睛很厉害，发现的解决问题的关键所在，统计数学满分时这4人被统计了一次，在统计语文满分时这4人又被统计了一次。

那这四人就变成了“8人“，我们该怎么办？

（2）学生思考

（3）反馈交流

生：

应该减掉4人

师：

怎样减？

生：

把数学满分的25人加上语文的22人，这样多算了4人，再减去4人。

师：

是这样吗：

师：

他的想法棒不棒？

生：

棒，我也是这样想的

师：

能完成解答吗？

生：

能

（4）学生完成算式和答话

[课件演示验证结果：

解析答案：

25+22－4=43（人）

答：

这个班有43人。

注：

解析分布出示]

师：

本题是容斥原理中的计数问题，你觉得解决此类问题我们要注意什么？

学生总结

生：

画图很重要

生：

我们一定要找出叠加的部分，要排除掉

师：

回答得很好，说明你听讲很认真。

掌声送给他们。

同学们，这种解题方法你学会了吗？

有没有信心完成下面的练习。

生：

有

[课件出示：

大胆闯关

1.学校文艺组有拉手风琴、弹电子琴班，文艺组的成员每人至少会演奏其中一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人，这个文艺组一共有多少人？

]

（1）学生尝试解答

（2）把自己的做题思路说给自己的同桌听

（3）老师巡视，帮助学习困难的学生

师：

老师刚才巡视发现，同学们都完成的很好。

还有，我们的某某同学还主动的去帮助自己的同桌理解题目，掌声送给他。

皮皮班在上次的测验中，成绩很优秀，可急坏其他班的老师和同学们了，老师和同学们都抓紧一切机会追赶他们呢！

这不，有一个班的老师正在检查家庭作业？

我们一起去看看吧。

[课件出示：

例2：

某班有48人，班主任问:

“做完语文作业的请举手？

”有37人举手。

又问：

“做完数学作业的请举手？

”有42人举手。

“有没有哪个同学一门作业也没有完成呀？

”结果无人举手。

问：

这个班语文、数学作业都做完的人数是多少？

]

（1）学生读题，找出已知信息

师：

解决此类问题用什么很重要/

生：

画图。

师：

现在咱们就把题目中的条件用图表示出来吧。

请看：

[课件出示：

图分步出示]

师：

题目中还有哪些条件没在图中呈现？

生：

这个班有48人。

师：

还有吗？

生：

“有没有哪个同学一门作业也没有完成呀？

”结果无人举手。

师：

这句话可以去掉吗？

生：

不能。

师：

那这句话要告诉我们什么信息？

生：

也就是说这个班的所有同学都至少完成这两种作业中的一种。

师：

更进一步说就是：

做完语文作业的和做完数学作业的涵盖了这个班的所有同学。

同意吗？

生：

同意。

师：

这两部分的同学数加起来等于48吗？

生：

不等，比48多。

师：

为什么这两部分的同学加起来比这个班的同学数多呢？

生：

这两部分有叠加。

师：

叠加的部分代表什么？

生：

是两种作业都做完的。

师：

同意吗？

生：

同意！

师：

这部分怎么算呢？

[课件出示图示动画：

?

部分变色

]

（2）学生尝试解答，请一位同学上黑板上完成

（3）同桌之间相互讲解思路

生：

只完成语文作业的人数+只完成数学作业的人数—两门都完成的人数=总人数

也就是：

48人

[课件出示：

只完成语文作业的人数+只完成数学作业的人数—两门都完成的人数=总人数

37+42－？

=48（人）（下一步）

37+42－48=31（人）

答：

这个班语文、数学作业都做完的人数是31。

]

师：

能举一反三，真不错，同学们都是解决问题的高手啦。

三、课堂小结：

通过上面两个容斥原理中的计数问题，你学到了什么？

学生总结

观看画面，并思考

举手回答原因

观看图示

学生读题

思考回答问题

从图示中获取有用的信息

思考交流

注意：

大胆闯关1题目有改动

学生总结

尝试解答

学生读题

思考回答问题

学生完成图示

学生总结

通过脑筋急转弯式的趣味题目，引发学生的兴趣

先让学生说出自己的想法，老师再适当的提出疑问，引出有交叉的情况，让学生感受容斥的存在

引出所要研究的内容

老师引导学生思考

通过图示表示出题目中的条件，让人一目了然，同时要求学生学会画图

让学生找到重叠的部分

强调画图的重要性

通过小精灵的问题，带领学生审题要仔细。

注意条件的重要性

现在老师放手，放学生自己去是着画出图示，分析题目

第二课时

教学过程：

教学路径

学生活动

方案说明

一．导入：

师：

上节课，我们了解到了皮皮学校的一些情况。

他们学习跟咱们一样刻苦，别人都在努力，我们当然也不能落后了。

现在就让我们再次走进皮皮的学校，继续了解皮皮学校的竞赛情况吧。

二：

新授：

[课件出示：

例3：

某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么参加语文，数学两科竞赛的有多少人？

]

（1）学生读题，寻找题中的信息

师：

这个题目中56人包括哪几种情况？

生：

有只参加一科的，有两科都参加的，还有两科都没有参加的。

师：

你能试着画出图示吗？

（2）学生尝试完成图示，老师巡视

师：

从刚才同学画图的时候，我发现了一个问题，有的学生不知道两科都没有参加的25人该怎么处理？

这个25人有没有和其他的人数交叉？

生：

他应该是独立的

师：

那怎样在图中表示出来呢？

能把你的图展示给大家看看吗？

学生完成图示并展示，老师与同学共同分析学生的图示：

师：

老师是这样画的：

边讲解边出示。

[课件出示图示：

分步：

第一步

全班56人

第二步：

全班56人

第三步

全班56人

第四步

全班56人

师：

能自己解答了吗？

（2）学生讨论

（3）反馈交流

生：

我们可以先把这个25人解决掉

师：

怎么解决呢？

生：

从总人数中减掉这个25人。

师：

对，减去25人，这个图可以做一些改变，请看：

[课件出示：

56人－25人=31人

]

师：

这样就跟上题是一样的，能写出你的解答吗？

（4）学生上黑板完成解答

[课件验证结果：

56－25=31（人）

28＋27－31=24（人）

答：

参加语文、数学两科竞赛的有24人。

]

师：

你真是一个聪明的孩子，知道怎么把问题简单化

生：

我有两外一种理解

师：

哦，能说给大家听听吗？

生：

从图中我们可以知道把25+28+27得到的人数和56进行对比，多的就是我们要求的人数。

师：

他提出了一个新的想法，你们同意吗？

学生经过讨论后表示同意

师：

爱动脑筋的好孩子，把掌声送给他，我们一定要学习他爱钻研的精神。

而且他的方法很简单，现在你能完成这个题目的解答吗？

师：

这两种理解你学会了吗？

我要考考大家啦。

[巩固练习：

大胆闯关第3题：

一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。

问这个俱乐部里两种棋都会下的有多少人？

]

（1）学生读题，分析题意，获取信息

（2）学生尝试解答，老师巡视

（3）和自己的同桌交流自己的想法

（4）点两名学生在班上说出自己的思路和解答

师：

虽然上面的问题越来越复杂，但是因为同学善于思考，不怕困难，学会了把复杂的问题简单化，所以老师相信再复杂的问题也是难不到同学们。

师：

为了让同学们能有更愉悦的心情面对艰巨的学习任务，皮皮学校决定开展多姿多彩的课余生活。

周末，皮皮学校举办了一场画展，看看有哪些学生的画被展示了出来。

[课件出示画展画面,附上例4题目：

例4：

光明小学举办书法展览。

学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参加的书法作品一共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？

]

（1）学生读题，获取相关信息

（2）分小组讨论解题思路

在老师讲解之前，可以先让学生说说自己的看法。

师：

题目中说到24幅不是五年级的，那应该是几年级的呢？

生：

是六年级和其他年级的

师：

其他年级师是哪几个年级？

生：

一、二、三、四年级

师：

你真棒！

（板书：

24幅六四三二一）

师：

那22幅是几年级的呢？

生：

五年级和其他年级的

师：

（接着上面的板书：

24幅六四三二一

22幅五四三二一）

师：

用图表示应怎么表示？

（3）老师引导生画出图示

[课件出示：

24幅22幅]

师：

重叠部分代表几年级？

生：

一、二、三、四年级

师：

出示课件：

24幅22幅

师：

要求其他年级，也就是一、二、三、四年级，怎么办呢？

生：

24幅中有六年级的，22幅中有五年级的，把24+22-10得到就是其他年级的2倍，除以2就行了。

师：

能把的算式写出来吗？

生板书：

课件出示：

答案

24+22-10=36（幅）

36÷2=18（幅）

师：

他反应得真快。

要解答完整的题目，还需要什么？

生：

答。

师板书答：

其他年级参展的书法作品共有18幅。

师：

你理解了吗？

（3）请一位学生再次讲解这个题目

（4）学生完成解答

师：

这个题目还有其他的做法吗？

留给大家想想看，想到的人在下次课的时候告诉老师你的想法，好吗？

看来容斥问题当中除了要注意重叠的数量问题，还要弄清楚重叠的部分到底表示的是什么量。

学生完成大胆闯关第2题：

三．课堂小结

师：

今天我们了解了皮皮学校的一些情况，更重要的是我们研究了容斥问题的一些情况。

同学们，你们觉得解答容斥问题的时候要注意些什么？

今天你有哪些收获呢？

学生总结

学生读题

完成图示

思考，发言

完成解答，重述自己的解题思路

尝试解答

学生读题

根据老师的提问，回答问题

讨论交流

完成解答

学生总结

通过提问，让学生掌握题目中的重要条件，获取对解题有利的信息

让学生自己去比较前面完成的图示，发现不一样的地方，并找出原因，找到解题的突破口

引导学生从另外一个角度去考虑

老师要注意给学习困难的学生一些帮助

在画图的时候，可以先不说明交叉的部分代表什么，让学生自己去发现

引导学生寻找24+22这总共46幅里面包括哪些部分

教学后记：

1.本讲研究了容斥问题的一些情况，弄清发生重复条件与总数之间的关系。

2.学会画图是理解本讲内容的最好办法，因此要让孩子学会画容斥的图。

3.可以让学生亲历体验容斥现象，以便于理解本讲内容。

本讲内容的补充习题：

（本讲补充练习较有难度所以题目较少！

）

1.某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？

解析：

36-[（25-15）+23]=3（人）

2.五年一班有32人参加数学竞赛，27人参加英语竞赛，22人参加语文竞赛，其中参加了数学和英语两科的有12人，参加英语和语文两科的有14人，参加数学和语文两科的有10人，那么五年级一班至少有多少人？

解析：

14+10=24（人）

而参加语文的只有22人，所以最少有24-22=2人三项都参加，

所以参加语文的包括在参加英语和数学里面了，所以最少有

32+27-12=47（人）

3.有100盏亮着的灯，第一次拉了一次编号是2的倍数的灯的开关，第二次拉了一次编号是3的倍数的灯的开关，第三次拉了一次编号是5的倍数的灯的开关。

问最后还有几盏灯是亮着的？

解析：

100÷2=50100÷6=16……4100÷30=3……10

100÷3=33……1100÷10=10

100÷5=20100÷15=6……10

100＋16＋10＋6-50-33-20-3=26（盏）