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校建模论文

紧急撤离问题

2010年4月16日

辽宁工业大学

紧急撤离问题

一、摘要

实际工程中，我们往往通过人员撤离所需要的时间与人员安全撤离可用的时间进行比较来判断建筑的疏散设施能否满足突发情况下的人员疏散要求。

本文结合我校2号教学楼A座设定地震场景人员的安全撤离，对该建筑物地震中人员疏散的设计方案做出了初步评价。

首先，本文分析了撤离的一般情形，建立了两层紧急撤离的模型。

其一，对撤离过程优化，进行撤离时间的粗略计算，应用公式：

撤离时间=人流通过出口时间+人流在建筑物内的行走时间

代入实际测量数据后得到：

疏散时间为275.5s。

其二，在模型一的基础上，对整个人员疏散过程进行细化，从稳定前与稳定时两个阶段进行进一步模型的建立。

应用流体动力学知识考虑，单位时间的人流量与密度和速度成正比关系，而整体的人流速度与密度之间又是成一次线性关系，恰好符合流体力学中的流量、流速与密度之间的关系，可以列出整个动态过程的方程。

经过模型二的细化求解，我们得到疏散时间为：

253.9s。

其次，题目要求给出撤离时间最短的时候的人员撤离方案，而由问题一可知疏散时间中占主要部分的是拥挤时撤离所花的时间，所以，为了尽可能的降低整个过程中的撤离时间，应该尽量控制各人流量大的地方出现拥挤的时间。

故应该在撤离时人流量大的地方设置疏导人员，同时，经过对具体对象楼的实地测量，在宽为2.1m的楼道内，应采取三人无摩擦并排行进的方式撤离，这样才能保证撤离顺畅且撤离时间最短。

再次，除去人为堵塞的因素对撤离时间影响较大外，改变楼层的设计同样可以缩短撤离所用时间。

于是，文章讨论了对象楼层中的参数，如楼层中疏散通道的宽度、教室门的宽度以及疏散口的数量等，对紧急撤离时间的影响。

并得出结论疏散口的增加与疏散通道的加宽对撤离时间的缩短有明显的提高。

最后，由于不同的楼层人员速度不一样会导致在楼道中的互相推挤现象，此举对人员在楼道中人员的有效流动有较大影响。

于是，文章就不同年龄（即年级不同）同学的运动能力不同和男女生在同年龄下的运动能力差异为教室的合理安排提供了方案：

一、高年级的同学安排在上层，低年级安排在下层；二、一层四层安排男生比例较大的院系上课，二层安排女生比例较大的院系，三层安排比例适中的院系。

关键词：

人员紧急撤离流体模型疏散时间最佳撤离方案

一、问题重述

最近世界各地接连发生强烈地震，造成人员重大伤亡，遇难者大多是被倒塌的建筑掩埋或挤压而失去自己的生命，在人员聚集的场所（如学校）伤亡犹其惨痛。

如果地震发生之时人们能在第一时间迅速撒离建筑物，那么伤亡可能会小得多！

因此，在灾难发生之时，建筑物内的人员是否能迅速撤离是有关人身安全保障的大问题，对于一个特定的建筑物，大家最关心建筑物内所有的人全部撤离完毕所用时间，以便于安排建筑物的出口以及撤离方案、请绘出你所在的宿舍或教室的平面示意图，收集相关数据，完成下面的问题：

1建立数学模型来分析这栋楼的人员有组织、有秩序地迅速疏散、撤离所用的时间。

2、根据你建立的数学模型给出最佳撤离方案。

3、为方便紧急撤离，结合实际，就该楼的设计方案给出合理化的建议。

4、就若教学楼按你预计的方案建设,考虑到不同年龄的学生的运动能力不同, 为方便紧急撤离，给学校提供合理的教室安排方案。

二、模型假设与说明

1、疏散过程中，人群的流量与疏散通道的宽度成正比分配；

2、所有人员在突发事件发生后同时疏散，中途不退后；

3、所有人员在疏散过程中撤离速度不变；

4、此时不考虑不同年龄的人的身体条件以及运动能力的不同。

5、本案例中的假设模型是一种人员疏散的理想状态，与人员疏散的实际过程可能存在一定的差别，故为了弥补疏散过程中的一些不确定因素的影响，在计算时，保守考虑一个调控系数。

在本案例中，我们以本校2号教学楼A座（共4层）为研究对象，并绘制出了其平面图，如图：

图

（1）2号楼A座平面图

为了重点分析人员疏散情况，现将此平面图进行如下简化：

（1）仓库和厕所忽略不计，将其所占空间看做走廊所占的空间；

（2）每个教室各有前后两个门，将其简化为位于中间的一个门，其宽度为前后两门宽度之和；

（3）与

（2）同理，将大厅的3个门也简化为位于中间的一个门。

此时，我们得到了2号楼A座的平面简化图：

图

（2）2号楼A座平面简化图

三、符号说明

：

单位时间内从教室进入走廊的人数；

：

每个教室的人数（设为定值）；

：

表示每个教室的总人数；

：

表示走廊宽度；

：

表示楼梯宽度；

：

表示每层走廊有效长度；

：

每层楼的高度；

：

人员密度为

是的拥挤调控系数；

：

人员在走廊时的平均撤离速度；

：

人员在楼梯时的平均撤离速度；

四、模型的建立与求解

问题一：

撤离人员是从走廊、楼梯撤离，可将此情形看做是河中的水流的运动，故我们可以应用流体动力学中的概念去解决该问题。

模型一:

将整栋楼看作一个整体，设其密度均匀，人员从12个教室流入，从楼出口处流出。

根据流体动力学研究者日本的K.Togawa提出、经Melink和Booth简化推导得到的如下计算公式

他们认为人流速度主要与人员密度有关；

其中：

表示人流移动速度；

表示不发生拥挤时的自由移动速度；

D表示人流密度；

同时，经分析我们可以得到：

疏散时间=人流通过出口时间+人流在建筑物内的行走时间；

假设各个楼层的人数相同时又有公式：

出口不拥挤时的疏散时间：

出口拥挤时的疏散时间：

其中：

表示建筑物的楼层数；

表示楼梯流率；

表示通过相邻两层的时间；

b表示楼梯的有效宽度；

表示每层的使用人数；

经过对2号楼A座的各项数据进行实地测量，我们得到如下真实数据：

每个教室人数

每层教室数

每层使用人数

走廊长度

100人

3间

300人

27.45m

走廊宽度

楼梯有效宽度

楼梯流率

通过相邻两层时间

2.1m

3.92m

1.1/人/米/分

16s

大厅门宽

教室门宽

楼梯格数

楼梯高度

4.68m

2.1m

24/层

0.15米/格

代入数据得：

疏散时间T=275.5s

由于此模型过于简化，并没有考虑到各层楼走廊和楼梯间的拥堵情况，分析问题过于粗略。

故我们将每层的走廊和楼梯间分开考虑，引入模型二。

模型二：

1）稳定前阶段

设定稳定前状态即为距离楼梯间最近的教室的人员到达下一楼层之前的时间段。

此时，由于整个教学楼均处于畅通的状态，所以设此阶段的撤离速度为

由此可以确定出到达稳定阶段时，楼梯间以及走廊的初始密度。

可以得到稳定前阶段所消耗的时间：

2）稳定阶段

对于稳定时期，对每个楼层进行分析，根据模型一的思想，列方程如下：

代入人流量与密度方程，化简得到：

引入拥挤调控系数

，得到方程如下：

解微分方程可以得到

，得到第i个楼层进入楼梯间的人数

：

每一个楼层均为此，考虑楼梯间的情况。

将每一个楼层视为教室，整个楼梯间为走廊，列类似微分方程：

解该微分方程，可以得到楼梯间的人流密度

。

此时，得到最终从出口撤离的人员数量与时间的关系：

经过时间T，楼内所有人员设立完毕：

反解出T即可。

此时，人员全部撤离的时间：

对模型二，再根据实际测得的数据得：

疏散时间Time=253.9s。

相对与模型一，模型二在其基础上更细致的分析了拥挤对疏散时间的影响，因而更符合实际情况，故得疏散时间为253.9s。

问题二：

题目要求给出撤离时间最短的时候的人员撤离方案，而由问题一可知疏散时间中占主要部分的是拥挤时疏散所花的时间，所以，为了尽可能的降低整个过程中的疏散时间，应该尽量控制各人流量大的地方（楼梯、大门等）出现拥挤的时间。

根据问题一中所算结果，为了更有效地撤离，分别在楼梯、大门处设立疏导人员，有效的组织大家有组织、有秩序的进行撤离。

为了不让楼上下来的人员在楼梯口出现拥堵状态，而且需要各楼层人员同时参与撤离，我们将楼道人为的分成3趟，在2.1米的楼道内，三人可以无摩擦的并排行进，因此，要求三个教室内的人员在撤离时，能够有秩序的按照指挥，沿着以下如图所示路线，有组织的迅速进行撤离：

图（3）任何楼层走廊坐标系的建立

图（4）人流模型示意图

从楼上下来的撤离人员，也应迅速融入到楼下的撤离人员当中，由于2号楼A座的疏散口只有一个，但是，在疏散口这共有三个们可供学生迅速逃生用，因此，下来人员，应马上分成三股人流，沿着三个出口撤离，不要拥堵于一个出口，以达到用最短的时间撤出楼外为目的，进行无阻拦的撤离。

问题三：

经调查发现，地震时，人员撤离的快慢与建筑的建设有着决定性的关系。

而经过上述模型和资料查阅发现，增加疏散出口和尽量避免疏散时的拥挤，则是减少人员伤亡的关键。

并且，根据假设，出口越多，人员的疏散所需时间越少，若教学楼建设为四周环绕型，可以使人员逃散时尽量分散，减少拥挤，楼梯出口也应对称分布，提高空间利用率。

又由前面的分析，我们可以得到方程：

综上所述，可以明显看出，要使某时刻撤离的人员最多可以采用采取如下方法：

1）增大走廊的宽度以及楼梯间的宽度；

2）一般应在靠近建筑标准层的两端设置楼梯间。

楼梯间的布置应均匀。

且有多方向的出口。

3）高楼层应配套增加紧急通道，可以直接从4楼到达1楼；

4）增设广播设备，当险情发生时能够及时通知，缩短人员的反应时间；

5）结合2号楼A座的实际情况，我们建议在建一个楼梯，这样，可以使原本即存在一种联通关系的楼道，相当于又并联上一条通路，这样，可以大大缩短人员撤离的时间。

问题四：

在前三个问题中我们一直假设所有人的运动能力是相同，而在实际生活中这种情况是绝对不可能的，并且每个人的运动能力都是不同的。

考虑到个体情况的差异性，根据常识，在小学中学里，一般是年级越高的体能越大，故应把最高年级的学生安排在最高层，而把低年级学生安排在较低层，因为他们疏散速度慢。

同时，女生的运动能力就相对男同学差很多，如果运动能力不同的人混在一起共同撤离，很容易因为恐慌乱了撤离秩序，从而发生极其严重的踩踏事件，这是绝对不可忽略的一个重要部分，所以在实际撤离中男女不能混为一谈。

因此合理化建议有两个方面：

1）从学校的硬件问题考虑，在教室或走廊应装有明确且醒目的疏散标志，以便能在震中所产生的烟尘以及慌乱的情形下被容易的发现，不至于惊慌中迷失方向从而影响撤离速度；

2）另外一个是从教室的安排方面考虑，也就是说既不能堵塞楼道出口又不能影响整体疏散速度。

从实际情况看，有的专业女生多有的男生多，所以就男女生多少而言应该把不同专业放在不同楼层。

具体安排方案我们的建议是：

教学楼的第一层应该安排男生较多的专业，比如机械（或道桥）。

第二层应该安排女生较多的专业，比如外语（或文传）。

第三层比较特殊应该安排男女比例适中的专业比如数理（或经管）。

第四层还是男生较多的专业，即道桥（或机械）。

这样安排的理由是：

第一层和第四层撤离速度是影响整体撤离的关键，第一层速度快不至于堵塞楼道出口，而第四层速度快慢就是整体撤离速度的快慢，因此这两个环节非常重要，第二层和第三层是处在中间楼层，第二层的女生撤离到楼梯口的时候第一层的男生基本撤离完成，第三层男生可以辅助女生撤离，因此速度快于第二层，同时也为速度较快的第四层提供撤离空间，这样安排从而也减少了踩踏事件的发生，缩短了整体的撤离时间，最大限度的保障了全楼同学的人身安全。

五、模型的评价与推广

此次模型的建立没有考虑到一些意外得发生，只是大致理性化得算出估计值。

另外，模型无法准确的反应初始状态和结束状态得变化，但限于拥堵的情况占用调节得绝大多数时间故此对初始状态和结束状态只是做了近视的人工调节，有所误差。

近年来，从汶川大地震后，接连发生了大大小小的多次地震，也促使大家增强对地震发生时的应变能力，因此，建立此建模有助于大家遭遇地震时能快速的做出逃生准备，能够在有组织、有秩序的状态下，迅速进行撤离，保证在最短的时间内，能将所有的人员按照最有效路线，撤离到安全地带，从而能保障人的生命安全。

六、参考文献

1.《数学模型》，姜启源，高等教育出版社

2.《数学建模》，杨启帆，高等教育出版社

3.袁理明，范维澄。

建筑火灾中人员安全疏散时间的预测[J]

4.陈智明，霍然，王国栋。

建筑内人员疏散的一种网络模型算法的讨论[J]。

5.杨立中，李健，赵道亮，等。

基于个体行为的人员疏散微观离散模型。

6.崔喜红，李强，陈晋等。

大型公共场所人员疏散模型研究----考虑个体特性和从众行

7.张树平，景亚杰。

大型商场建筑营业厅疏散人数的调查研究[J]。