基本逻辑电路的化简方法.docx

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基本逻辑电路的化简方法

第二章逻辑代数基础

2.1逻辑代数运算

提纲：

逻辑变量与逻辑函数，

逻辑代数运算，

逻辑代数的公理和基本公式，

逻辑代数的基本定理（三个），

逻辑代数的常用公式。

2.1.1逻辑变量与逻辑函数

采用逻辑变量表示数字逻辑的状态，逻辑变量的输入输出之间构成函数关系。

逻辑常量：

逻辑变量只有两种可能的取值：

“真”或“假”，习惯上，把“真”记为“1”，“假”记为“0”，这里“1”和“0”不表示数量的大小，表示完全对立的两种状态。

2.1.2逻辑代数运算

基本逻辑运算——与、或、非；复合逻辑运算。

描述方法：

逻辑表达式、真值表、逻辑符号（电路图）。

定义：

真值表——描述各个变量取值组合和函数取值之间的对应关系。

逻辑电平——正逻辑与负逻辑。

2.1.3逻辑代数的公理和基本公式

2.1.3.1逻辑代数公理

有关逻辑常量的基本逻辑运算规则，以及逻辑变量的取值。

（1）常量的“非”逻辑运算

（2~4）常量的与、或逻辑运算

（5）逻辑状态只有”0”和”1”两种取值

2.1.3.2逻辑代数的基本公式（基本定律）

所谓“公式”，即“定律”，如表2.1：

表2.1逻辑代数的公式（基本公式部分）

组名称对偶的公式对备注

101律变量与常量

重叠律

同一个变量

互补律

原变量与反变量之间

还原律

的关系

5交换律

6结合律

7分配律

8反演律DeMorgan公式

2.1.3.3逻辑代数的三个基本定理

所谓“定理”，即代数运算规则。

基本的三个定理：

代入定理——在任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外的逻辑式

代入式中的所有A的位置，则等式依然成立。

，

．．

反演定理，

对偶定理。

2.1.3.3.1反演定理

所谓“反演定理”，得到逻辑函数的“反”的定理。

定义（反演定理）：

将函数Y式中的所有⋯

（基本运算符号）“与”换成“或”，“或”换成“与”；

（逻辑常量）“0”换成“1”，“1”换成“0”；

原变量换成反变量，反变量换成原变量；

注意：

变换时要保持原式中逻辑运算的优先顺序；

不属于单个变量上的反号应保持不变；

则，所得到的表达式是Y的表达式。

例2.1:

已知YA[B（CDEF）]，求。

解：

（利用反演定理）

例2.2:

已知ZABCDE，求Z。

解：

（利用反演定理）

例2.3:

（反演律和反演定理），已知Y=A（B+C）+CD，求Y。

解：

（方法一、用反演定理）

解：

（方法二、反复用反演律）

注意：

对等式两端根据反演定理进行操作是整体性的“原子操作”，不允许在进行操作

的同时，对局部的逻辑项进行所谓的“代入”、“反演律”等操作。

2.1.3.3.2对偶定理

定义（对偶定理）：

若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。

定义（对偶式）：

将逻辑式中的⋯

（基本运算符号）“与”换成“或”，“或”换成“与”；

（逻辑常量）“0”换成“1”，“1”换成“0”；

变量保持不变；

注意：

原表达式中的运算优先顺序保持不变。

2.1.4逻辑代数常用公式

如表2.2：

表2.2逻辑代数的公式（常用公式部分）

组杜撰的名称对偶的公式对备注和注记标记

A+AB=A吸收冗余项

9吸收法

10消元法

推广的消元

/吸收法

推广的消元

/吸收法

两个乘积项相或，其中一项以另一

项作为因子，则该项是多余的。

消除冗

余因子

反用消元法，再用吸

收法

另一种形式

的吸收法

另一种形式

的消元法

说明：

（常用公式的语言叙述）

“吸收法”——两个与项（“乘积项”）相或（“加”），如果其中一项中以另一项为因子，则该项为冗余项；

“消元（因子）法”——两个与项相或，如果其中一项取反后为另一项的因子，则该因子是多余的；

推广的消元/吸收法——三个与项相或，其中两个乘积项分别包含原变量与反

变量作为因子，并且它们的其余部分作为因子组成第三个乘积项（或作为第三个乘积项的部分因子），则第三个乘积项是多余的。

2.1.4.1案例研究——逻辑代数常用公式的证明

证明的手段1：

1回顾：

基本公式的证明采用：

公理和运算法则，

真值表。

对于较复杂的公式，用真值表手工证明较为繁琐，故采用“公式法”（公理、法则、定理、基本公式、常用公式），另不多于5个变量的逻辑表达式，也可以用特种的真值表——“邻接真值表”——即

公理和运算法则，

定理——代入、反演、对偶，

基本公式和常用公式。

例如：

公式（9）“吸收法”

A+AB=A（1+B）=AB，分配律、01律

例如：

公式（10）证法一

AAB（AA）（AB）AB

采用：

反用或对与的分配律

例如：

公式（10）证法二

AB的对偶式

A（AB）

由：

A（AB）

AB，AB的对偶式A+B，则根据对偶定理：

ABAB成立。

例如：

公式（11）

AC（A

A）BC--（代入定理意义下的吸收律）=AB

2.1.5异或代数

三种基本逻辑运算——“与”、“或”、“非”（复合使用）可以表示出任何逻辑问题；

基本的复合逻辑——“与非”、“或非”、“与或非”，用其中的任何一种就能描述任何逻辑问题；

异或代数——“异或”（exclusive-OR）和“同或”（coincidence-OR）逻辑，虽然仅用它们不能描述所有的逻辑问题，但是它们是两种重要的复合逻辑。

2.1.5.1“异或”和“同或”的性质

异或（同或）代数的基本公式：

（1）交换律

（2）结合律

（3）“分配律”

“与”对“异或”的分配律：

A（BC）ABAC

“或”对“同或”的分配律：

A+B⊙C=（A+B）⊙（B+C）

（4）反演律

ABA⊙B=A⊙B

A⊙B–（取反）=AB=AB

“卡诺图”表示。

（5）调换律（因果互换关系）

两个逻辑变量（可以推广到多个，并且可以是常量）异或（同或）运算得到的输出结果，以另一个逻辑变量表示（即：

“果”），构成逻辑等式，该逻辑变量与异或（同或）运算中的任意逻辑变量的位置相调换，得到的逻辑等式仍成立。

例如：

奇校验的编码端，校验比特为C，

C=bn-1bn-2⋯b11

奇校验的校验端，如果校验成功，应有

1=bn-1bn-2⋯b1C

（6）移非律（特例：

“消非律”）

（7）换门律

AB=A⊙B

A⊙B=AB

不用死记，异或（同或）运算的定义决定，也可使用01律证明。

（8）01律

0A=A，1A=A（模2加1相当于求反）

1⊙A=A，0⊙A=A

（9）奇偶律对于异或：

AA=0

AAA=A

⋯⋯

对于同或

A⊙A=1

A⊙A⊙A=A

⋯⋯

（10）异或逻辑和同或逻辑的关系

多个逻辑变量进行异或（同或）运算的逻辑表达式，如果将异或（同或）运算符转换为同或（异或）运算符，则：

奇数个逻辑变量，运算符和⊙互换时，逻辑关系不变；

偶数个逻辑变量，运算符和⊙互换时，变换后的结果取反。

2.2逻辑函数的表示方法及其标准形式

2.2.1逻辑函数的表示方法

逻辑表达式

真值表

卡诺图（邻接真值表）

逻辑图

波形图*

2.1）i

表示方法之间的转换（如：

图

将输入变量的所有取值

组合（可按自然二进制

编码）逐一代入逻辑表

达式，列成表

逻辑表达式

从输入端到

输出端逐级

转化为

写出图形符

号对应的逻

图形符

辑式

号

真值表

找到使逻辑函数Y=1的变量取值

组合所对应的“乘积项”——取

值“1”对应原变量，取值“0”

对应反变量；将乘积项相或，构

成“与或”表达式。

逻辑图

图2.1逻辑函数表达方法之间的转换

2.2.2逻辑函数的两种标准形式

标准“与或”表达式（最小项之和）

标准“或与”表达式（最大项之积）

2.2.2.1最小项

定义（最小项）：

在含有n个变量的逻辑函数中，

包含全部n个变量的乘积项（与项），

其中每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次。

最小项也被称为“标准乘积项”。

最小项的编码——使最小项为1的逻辑变量的取值，即：

将变量的由高到低排列，原变

量对应“1”，反变量对应“0”，最小项以变量所对应的自然二进制数编码，记为：

“mi”。

最小项的性质：

每个最小项与变量的一组取值相对应，只有该组取值才能使其为“1”；

全体最小项之和恒为“1”；

任意两个不同的最小项的乘积恒为“0”。

2.2.2.2标准与或表达式

定义（标准与或表达式）：

每个与项都是最小项的与或表达式。

也被称为“最小项之和表达式”。

从真值表，以及一般与或表达式，转换成标准“与或”表达式的方法如图

2.2。

一般与或

表达式

利用基本公式AA1（互补

律）补全“与项”中的变量

标准与或

真值表

表达式

1）找到使逻辑函数Y=1的变量取值组合所对应的“乘积项”——取值“1”对应原变量，取值“0”对应反变量；

2）这些乘积项应为最小项的形式；

3）将最小项相或，构成标准与或表达式。

图2.2从真值表和一般与或表达式转换为标准与或表达式

对于任意一个逻辑函数，它的标准与或表达式（不考虑与项的顺序）是唯一的。

说明：

熟练后，从一般“与或”表达式转换为标准“与或”表达式，可由最小项的编码

．．．．．．

规则得到。

．．

例如：

YABCBCD

2.2.2.3

最大项

定义（最大项）：

在一个有n个变量的逻辑函数中，

包含全部n个变量的和项（或项），

其中每个变量必须并且只能以原变量或反变量的形式出现一次。

最大项的编码与逻辑变量取值的对应关系——

使最大项为

0的逻辑变量的取值

，即：

对

于或项，

原变量对应取值为“0”，反变量对应取值为“1”。

最大项的性质：

每个最大项与变量的一组取值相对应，只有该组取值才能使其为“

0”；

全体最大项之积恒为“0”，即：

0；

任意两个不同的最大项之和恒为“

1”，即：

j;ij，Mi

1；

最大项和最小项之间的关系：

。

2.2.2.4

标准或与表达式

定义（标准或与表达式）：

每个或项都是最大项的“或与”表达式被称为标准“或与”表达式，也被称为最大项之积表达式。

2.2.2.4.1从真值表求标准或与表达式

步骤（求标准或与表达式）：

1）在真值表中找出使逻辑函数Y为0的行，

2）对于Y=0的行，由变量的取值“0”、“1”对应最大项“原”、“反”变量的关系，写出逻辑变量表达得标准或与表达式，

3）确定最大项的编号——

方法一、由最大项定义，根据最大项编号与变量取值的对应关系，

方法二、真值表中Y=0的行对应的是mi，利用Mimi关系，对应得到最大

项Mi的编号，。

说明：

真值表中变量取值组合隐含着与最小项的对应关系，得到最大项的编号只不过根

据Mimi的对应关系。

说明：

也可以先根据Mimi的对应关系，确定所含最大项的编号，再根据最大项编

号和变量取值的对应关系，写出以逻辑变量表达的最大项之积表达式。

2.2.2.4.2从一般逻辑表达式得到标准或与表达式

一般逻辑

逻辑代数

一般与或

参见

标准与或

参见

表达式

运算规则

表达式

§2.2.2.2

表达式

§2.2.2.5

图2.3从一般逻辑表达式得到标准或与表达式

标准或与

表达式

2.2.2.5标准与或表达式/标准或与表达式的转化

如果函数的标准与或表达式为：

mi，则函数的标准或与表达式则为：

Mk。

推导：

mi，由最小项的性质1

mi，则：

1=YY

由DeMorgan公式，Y

Mk，可由标准与或表达式，求标准或

与表达式。

2.3逻辑函数的化简

逻辑函数的最简形式

公式法化简逻辑函数

卡诺图法化简逻辑函数

卡诺图

卡诺图化简法——化简为最简与或表达式

用卡诺图化简法求最简或与表达式

具有无关项的逻辑函数的化简

逻辑函数形式的转换

2.3.1逻辑函数的最简形式

与或表达式是最常用的表达式，由它容易推导出其它表达形式。

判别条件——与或表达式为最简的条件：

乘积项（与项）的数目最少，（首要条件）

每个乘积项中的因子（逻辑变量）最少。

2.3.2公式法化简逻辑函数

化简为最简与或式。

公式法化简没有固定的方法，这些方法归纳起来大致可以包括“并项、吸收、消因子、

消项、配项”（这些名称是杜撰的，切不可生搬硬套，掌握基本思想即可），化简的方法不是唯一的。

2.3.2.1并项法

利用互补律，将两项合为一项，合并时消去一个逻辑变量（一个原变量，一个反变量）

例如：

ABCABCABCABC

2.3.2.2吸收法

利用公式A+AB=A，吸收掉冗余的乘积项。

例如：

AABC（ABCD）BC

2.3.2.3消因子法

利用公式AABAB，消去多余的因子。

例如：

ABACBC

2.3.2.4消项法

利用常用公式ABACBCABAC和ABACBCDABAC，消去多余

的乘积项

例如：

Y1ACABBC

例如：

Y2ABCDABEACDE

2.3.2.5配项法

根据基本公式A+A=A，在式中重复某项，再化简；或者根据基本公式AA1，在

式中某项乘以AA，再化简。

例如：

YABCABCABC

本例只是演示，实际上如果先对后两项并项，然后消因子，更加简单。

2.3.3卡诺图法化简逻辑函数

2.3.3.1卡诺图

卡诺图是由美国工程师维奇（Veitch）和卡诺（KarnaughM）于1953年分别从不同角度提出的。

定义（卡诺图，最小项卡诺图）将n个变量的所有最小项（miniterm）分别以一个个方格的形式表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何上也“相邻”地排列，所得的图形被称为最小项卡诺图2。

2卡诺图构成的解说：

卡诺图以二维图形的方式来表示逻辑变量的取值。

（1）纵横两侧分别标注逻辑变量（与

项）的取值，，取值以格雷循环码的顺序排列，对于给定的取值，纵横相交对应一个小方格，这个小方格对

应一个最小项（即：

使最小项为1的逻辑变量取值）；

（2）对于最小项中的因子，取值为“1”对应逻辑变量

卡诺图也是一种特殊的真值表——邻接真值表：

几何相邻（在几何位置上，应将卡诺图看成上下/左右、四角闭合的图形）的小方格具有逻辑相邻性。

（便于用互补律以作图的方式化简）

定义（最小项的逻辑相邻性）两个最小项只有一个逻辑变量的取值不同。

2.3.3.1.1卡诺图的构成与特点

例如：

（四变量卡诺图，如图

2.4）

图2.4四变量卡诺图

例如：

（五变量卡诺图，如图

2.5）

CDE

图2.5五变量卡诺图

此时，仅用几何图形在二维空间的相邻性来表达逻辑相邻性已经不够了，在五变量卡诺

图中，（两个4×4卡诺图的）分界线为轴的轴对称的小方格也具有逻辑相邻性。

卡诺图的特点：

卡诺图中的小方格数等于最小项总数，若逻辑变量的数目为n，则小方格数为

2n个——

纵横两侧标注是逻辑变量的取值组合，“0”和“1”表示使方格对应的最小项为1的变量取值；同时，

取值组合“0”、“1”的自然二进制数值就是最小项的编号。

的原变量；取值为“0”对应逻辑变量的反变量；（3）纵横取值所组成的二进制数值（自然二进制数）就是最小项的序号。

任何一个n变量3的逻辑函数均可以由n变量最小项卡诺图表示——

逻辑函数等于卡诺图中填入“1”的小格（即：

“1格”）所对应的最小项之和。

卡诺图是“邻接真值表”，

变量的取值按照格雷循环码排列，因此

卡诺图的逻辑相邻性与几何位置相邻性是一致的；

注意，在几何位置上，应将卡诺图看成上下/左右，四角闭合的图形。

（五变量包括分界轴对称）

2.3.3.1.2根据逻辑函数填写卡诺图

步骤一（得到标准与或表达式）、若已知逻辑函数的表达式，可首先把函数写成最小项之和的形式（标准与或表达式）；然后，

步骤二（填写卡诺图）、在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，在其

余位置上填入0，这样就可以得到该逻辑函数的卡诺图。

例2.5:

（根据逻辑函数填写卡诺图）Y（ABABC）AB

解:

（步骤1-1）反复使用反演律，脱去“非”号，直到最后只有单变量上有非号；

（步骤1-2）用乘对加的分配律，脱去括号，直到最后得到一个“与或”表达式；

（步骤1-3）在“与或”表达式中，若一个乘积项缺少某变量因子，则利用互补律配项，

并用所配的项去乘该项；如缺少两个以上的项，则要反复用互补律配项，直到得到最小项之和的表达式（还要删除重复的最小项）。

（步骤2-1）逻辑变量按照位置计数法排列，以自然二进制数对应最小项的编号；

（步骤2-2）最小项为1的取值组合，会使逻辑函数为1，所以在存在的最小项的对应

方格中标注“1”（其余方格填“0”）。

说明：

熟练后，可以根据与或表达式“看图说话”地直接填写卡诺图，不仅效率高，而且不容易出错。

例2.6:

（根据逻辑函数填写卡诺图）YABCDABDACDAB

解ii:

3由卡诺图的能力，n5。

2.3.3.1.3由卡诺图得到标准或与表达式

根据卡诺图既可写出标准“与或”表达式，也可写出标准“或与”表达式（参见§2.3.3）。

2.3.3.2卡诺图化简法

卡诺图化简逻辑函数的依据：

由于卡诺图上几何位置的相邻性与逻辑相邻性是一致的，

因而从卡诺图上能直观地找出具有相邻性的最小项，并根据互补律将其合并化简。

．．

几何相邻的两个方格（包括上下闭合、左右闭合、轴对称）所代表的最小项

只有一个变量不同；

根据互补律，当方格为1（“1”格），且两个“1”格相邻时，对应的最小项就

可以加以合并，消去一对原变量与反变量，合并后只剩公共因子。

．．．．．．．．．

多于多个相邻的方格，反复利用合并法则，保留相同变量，消除相反变量。

问题：

如何“直观地”找到可以合并的最小项？

如何选择可以合并的最小项，以达到最简？

2.3.3.2.1最小项卡诺图逻辑化简规则

问题1、如何“直观地”找到可以合并的最小项？

理论：

合并化简的理论支持（互补律）。

技巧：

圈定卡诺圈的技巧。

规则1：

卡诺图中两个相邻的“1格”的最小项可以合并成一个与项，并消去一个变量。

例如：

00011110

0111

化简为：

00011110

化简为：

00011110

001

101

化简为：

规则2：

卡诺图中四个相邻“1格”的最小项可以合并成一个与项，并消去两个变量。

1111

化简为：

1化简为：

化简为：

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