基本逻辑电路的化简方法.docx

1、基本逻辑电路的化简方法第二章 逻辑代数基础2.1 逻辑代数运算提纲：逻辑变量与逻辑函数，逻辑代数运算，逻辑代数的公理和基本公式，逻辑代数的基本定理（三个） ，逻辑代数的常用公式。2.1.1 逻辑变量与逻辑函数采用逻辑变量表示数字逻辑的状态，逻辑变量的输入输出之间构成函数关系。逻辑常量：逻辑变量只有两种可能的取值： “真”或 “假”，习惯上，把“真”记为“ 1”，“假”记为“ 0”，这里“ 1”和“ 0”不表示数量的大小，表示完全对立的两种状态。2.1.2 逻辑代数运算基本逻辑运算与、或、非；复合逻辑运算。描述方法：逻辑表达式、真值表、逻辑符号（电路图） 。定义：真值表描述各个变量取值组合和函数

2、取值之间的对应关系。逻辑电平正逻辑与负逻辑。2.1.3 逻辑代数的公理和基本公式2.1.3.1 逻辑代数公理有关逻辑常量的基本逻辑运算规则，以及逻辑变量的取值。(1)常量的“非”逻辑运算(24) 常量的与、或逻辑运算(5)逻辑状态只有 ”0”和 ”1”两种取值2.1.3.2 逻辑代数的基本公式（基本定律）所谓“公式” ，即“定律” ，如表 2. 1 ：1表 2. 1 逻辑代数的公式（基本公式部分）组 名称 对偶的公式对 备注1 01 律 变量与常量2重叠律同一个变量3互补律原变量与反变量之间4还原律的关系5交换律6结合律7分配律8 反演律 DeMorgan 公式2.1.3.3 逻辑代数的三个基

3、本定理所谓“定理” ，即代数运算规则。基本的三个定理：代入定理在任何一个包含逻辑变量 A 的逻辑等式中，若以另外的逻辑式代入式中的所有 A 的位置，则等式依然成立。 ，反演定理，对偶定理。2.1.3.3.1 反演定理所谓“反演定理” ，得到逻辑函数的“反”的定理。定义（反演定理） ：将函数 Y 式中的所有 （基本运算符号） “与”换成“或” ，“或”换成“与” ；（逻辑常量） “ 0”换成“ 1”，“ 1”换成“ 0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量；注意：变换时要保持原式中逻辑运算的优先顺序；不属于单个变量上的反号应保持不变 ；则，所得到的表达式是 Y 的表达式。2例2.1: 已知Y A

4、 B (CD EF)，求。 Y解：（利用反演定理）例2.2:已知Z A B C D E，求Z。解：（利用反演定理）例 2.3 : （反演律和反演定理） ，已知 Y=A(B+C)+CD ，求 Y 。解：（方法一、用反演定理）解：（方法二、反复用反演律）注意：对等式两端根据反演定理进行操作是整体性的 “原子操作” ，不允许在进行操作的同时，对局部的逻辑项进行所谓的“代入” 、“反演律”等操作。2.1.3.3.2 对偶定理定义（对偶定理） ：若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。定义（ 对偶式 ）：将逻辑式中的 （基本运算符号） “与”换成“或” ，“或”换成“与” ；（逻辑常量） “ 0”换成“

5、 1”，“ 1”换成“ 0”；变量保持不变 ；注意：原表达式中的运算优先顺序保持不变。2.1.4 逻辑代数常用公式如表 2. 2：3表 2. 2 逻辑代数的公式（常用公式部分）组 杜撰的名称 对偶的公式对 备注和注记标记A+AB=A 吸收冗余项9吸收法10消元法推广的消元11/吸收法推广的消元12/吸收法两个乘积项相或，其中一项以另一项作为因子，则该项是多余的。消除冗余因子反用消元法，再用吸收法另一种形式13的吸收法另一种形式14的消元法说明 ：（常用公式的语言叙述）“吸收法”两个与项（ “乘积项” ）相或（“加”），如果其中一项中以另一项为因子，则该项为冗余项；“消元（因子） 法”两个与项相

6、或， 如果其中一项取反后为另一项的因子，则该因子是多余的；推广的消元 /吸收法三个与项相或，其中两个乘积项分别包含原变量与反变量作为因子， 并且它们的其余部分作为因子组成第三个乘积项 （或作为第三个乘积项的部分因子） ，则第三个乘积项是多余的。2.1.4.1 案例研究逻辑代数常用公式的证明证明的手段 1 ：1回顾：基本公式的证明采用：公理和运算法则，真值表。对于较复杂的公式，用真值表手工证明较为繁琐，故采用“公式法” （公理、法则、定理、基本公式、常用公式） ，另不多于 5 个变量的逻辑表达式，也可以用特种的真值表“邻接真值表”即4公理和运算法则，定理代入、反演、对偶，基本公式和常用公式。例如

7、：公式 (9) “吸收法”A+AB=A(1+B)=AB ，分配律、 01 律例如：公式 (10) 证法一A AB (A A)(A B) A B采用：反用 或对与的分配律例如：公式 (10) 证法二AA B 的对偶式A(A B)由： A(A B)AB ，AB 的对偶式 A+B，则根据 对偶定理 ： AAB A B成立。例如：公式 (11)ABAC (AA ) BC -( 代入定理意义下的吸收律 ) = ABAC2.1.5 异或代数三种基本逻辑运算“与” 、“或”、“非”（复合使用）可以表示出任何逻辑问题；基本的复合逻辑“与非” 、“或非”、“与或非”，用其中的任何一种就能描述任何逻辑问题；异或代

8、数“异或” （ exclusive-OR ）和“同或” (coincidence-OR) 逻辑，虽然仅用它们不能描述所有的逻辑问题，但是它们是两种重要的复合逻辑。2.1.5.1 “异或”和“同或”的性质异或（同或）代数的基本公式：(1)交换律(2)结合律(3)“分配律”“与”对“异或”的分配律： A (B C) AB AC“或”对“同或”的分配律： A+B C=( A+B) (B+C)(4)反演律A B A B =ABAB(取反) =A B=A B“卡诺图”表示。5(5)调换律（因果互换关系）两个逻辑变量 （可以推广到多个， 并且可以是常量） 异或（同或） 运算得到的输出结果，以另一个逻辑变量

9、表示（即： “果”），构成逻辑等式，该逻辑变量与异或（同或）运算中的任意逻辑变量的位置相调换，得到的逻辑等式仍成立。例如：奇校验的编码端，校验比特为 C，C=bn-1 bn-2 b1 1奇校验的校验端，如果校验成功，应有1= bn-1 bn-2 b1 C(6)移非律（特例： “消非律”）(7)换门律A B =ABAB=A B不用死记，异或（同或）运算的定义决定，也可使用 01 律证明。(8) 01 律0 A=A，1 A= A （模 2 加 1 相当于求反 ）1 A=A， 0 A= A(9)奇偶律对于异或：A A=0A A A=A对于同或A A=1A A A=A(10)异或逻辑和同或逻辑的关系多

10、个逻辑变量进行异或（同或）运算的逻辑表达式，如果将异或（同或）运算符转换为同或（异或）运算符，则：奇数个逻辑变量，运算符 和互换时，逻辑关系不变；偶数个逻辑变量，运算符 和互换时，变换后的结果取反。62.2 逻辑函数的表示方法及其标准形式2.2.1 逻辑函数的表示方法逻辑表达式真值表卡诺图（邻接真值表）逻辑图波形图 *2. 1）i表示方法之间的转换（如：图将输入变量的所有取值组合（可按自然二进制编码）逐一代入逻辑表达式，列成表逻辑表达式从输入端到输出端逐级转化为写出图形符号对应的逻图形符辑式号真值表找到使逻辑函数 Y=1的变量取值组合所对应的“乘积项”取值“ 1”对应原变量，取值“ 0”对应反

11、变量；将 乘积项 相或，构成“与或”表达式。逻辑图图 2. 1 逻辑函数表达方法之间的转换2.2.2 逻辑函数的两种标准形式标准“与或”表达式（最小项之和）标准“或与”表达式（最大项之积）2.2.2.1 最小项定义（最小项） ：在含有 n 个变量的逻辑函数中，包含全部 n 个变量的乘积项（与项） ，7其中每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次。最小项也被称为“标准乘积项” 。最小项的编码使最小项为 1 的逻辑变量的取值， 即：将变量的由高到低排列， 原变量对应“ 1”，反变量对应“ 0”，最小项以变量所对应的自然二进制数编码，记为： “mi”。最小项的性质：每个最小项与变量的一组取

12、值相对应，只有该组取值才能使其为“ 1”；全体最小项之和恒为“ 1”；任意两个不同的最小项的乘积恒为“ 0”。2.2.2.2 标准与或表达式定义（标准与或表达式） ：每个与项都是最小项的与或表达式。也被称为“最小项之和表达式” 。从真值表，以及一般与或表达式，转换成标准“与或”表达式的方法如图2. 2。一般与或表 达 式利用基本公式 A A 1 （互补律）补全“与项”中的变量标准与或真 值 表表 达 式1)找到使逻辑函数Y=1的变量取值组合所对应的“乘积项”取值“1”对应原变量，取值“0”对应反变量；2)这些乘积项应为最小项的形式；3)将最小项相或，构成标准与或表达式。图 2. 2 从真值表和

13、一般与或表达式转换为标准与或表达式对于任意一个逻辑函数，它的标准与或表达式（不考虑与项的顺序）是唯一的。说明 ：熟练后，从一般“与或”表达式转换为标准“与或”表达式，可由最小项的编码规则 得到。例如： Y ABC BC D82.2.2.3最大项定义（最大项） ：在一个有 n 个变量的逻辑函数中，包含全部 n 个变量的和项（或项） ，其中每个变量必须并且只能以原变量或反变量的形式出现一次。最大项的编码与逻辑变量取值的对应关系使最大项为0 的逻辑变量的取值，即：对于或项，原变量对应取值为“ 0”，反变量对应取值为“ 1”。最大项的性质：每个最大项与变量的一组取值相对应，只有该组取值才能使其为“0”

14、；n12全体最大项之积恒为“ 0”，即：M i0 ；i0任意两个不同的最大项之和恒为“1”，即： i ,j ; ij ， M iM j1 ；最大项和最小项之间的关系：M imi。2.2.2.4标准或与表达式定义（标准或与表达式） ：每个或项都是最大项的“或与”表达式被称为标准“或与”表达式，也被称为最大项之积表达式。2.2.2.4.1 从真值表求标准或与表达式步骤（求标准或与表达式） ：1) 在真值表中找出使逻辑函数 Y 为 0 的行，2)对于 Y=0 的行，由变量的取值“ 0”、“ 1”对应最大项“原” 、“反”变量的关系，写出逻辑变量表达得标准或与表达式，3)确定最大项的编号方法一、由最大

15、项定义，根据最大项编号与变量取值的对应关系，方法二、 真值表中 Y=0 的行对应的是 m i ，利用 M i mi 关系， 对应得到最大项 Mi 的编号，。说明 ：真值表中变量取值组合隐含着与最小项的对应关系， 得到最大项的编号只不过根据 M i mi 的对应关系。说明 ：也可以先根据 M i m i 的对应关系，确定所含最大项的编号，再根据最大项编号和变量取值的对应关系，写出以逻辑变量表达的最大项之积表达式。92.2.2.4.2 从一般逻辑表达式得到标准或与表达式一般逻辑逻辑代数一般与或参 见标准与或参 见表 达 式运算规则表 达 式2.2.2.2表 达 式2.2.2.5图 2. 3 从一般

16、逻辑表达式得到标准或与表达式标准或与表 达 式2.2.2.5 标准与或表达式 /标准或与表达式的转化如果函数的标准与或表达式为： Ymi ， 则 函 数 的 标 准或 与 表 达 式则 为 ：iYM k 。k i推导： Ym i ，由最小项的性质 1mi ，则： 1= Y Ym im kiik i由 DeMorgan 公式， Ymkm kM k ，可由标准与或表达式，求标准或k ik ik i与表达式。2.3 逻辑函数的化简逻辑函数的最简形式公式法化简逻辑函数卡诺图法化简逻辑函数卡诺图卡诺图化简法化简为最简与或表达式用卡诺图化简法 求 最简或与表达式具有无关项的逻辑函数的化简逻辑函数形式的转换

17、2.3.1 逻辑函数的最简形式与或表达式是最常用的表达式，由它容易推导出其它表达形式。判别条件与或表达式为最简的条件：乘积项（与项）的数目最少， （首要条件）每个乘积项中的因子（逻辑变量）最少。102.3.2 公式法化简逻辑函数化简为最简与或式。公式法化简没有固定的方法，这些方法归纳起来大致可以包括“并项、吸收、消因子、消项、配项”（这些名称是杜撰的，切不可生搬硬套，掌握基本思想即可） ，化简的方法不是唯一的。2.3.2.1 并项法利用互补律，将两项合为一项，合并时消去一个逻辑变量（一个原变量，一个反变量）例如： ABC AB C AB C ABC2.3.2.2 吸收法利用公式 A+AB=A，

18、吸收掉冗余的乘积项。例如： A A BC(A BC D) BC2.3.2.3 消因子法利用公式 A AB A B ，消去多余的因子。例如： AB AC BC112.3.2.4 消项法利用常用公式 AB AC BC AB AC 和 AB AC BCD AB AC ，消去多余的乘积项例如：Y1 AC AB B C例如： Y2 ABCD ABE ACDE2.3.2.5 配项法根据基本公式 A+A=A ，在式中重复某项，再化简；或者根据基本公式 A A 1 ，在式中某项乘以 A A ，再化简。例如： Y AB C ABC ABC本例只是演示，实际上如果先对后两项并项，然后消因子，更加简单。2.3.3

19、卡诺图法化简逻辑函数2.3.3.1 卡诺图卡诺图是由美国工程师维奇（ Veitch ）和卡诺（ Karnaugh M ）于 1953 年分别从不同角度提出的。定义（卡诺图， 最小项卡诺图 ）将 n 个变量的所有最小项（ miniterm ）分别以一个个方格的形式表示， 并使具有 逻辑相邻性 的最小项在 几何 上也“ 相邻 ”地排列， 所得的图形被称为最小项卡诺图 2 。2 卡诺图构成的解说： 卡诺图以二维图形的方式来表示逻辑变量的取值。 (1)纵横两侧分别标注逻辑变量 （与项）的取值，取值以格雷循环码的顺序排列，对于给定的取值，纵横相交对应一个小方格，这个小方格对应一个最小项（即：使最小项为

20、1 的逻辑变量取值） ；(2) 对于最小项中的因子，取值为“ 1”对应逻辑变量12卡诺图也是一种特殊的真值表邻接真值表：几何相邻（在几何位置上，应将卡诺图看成上下 /左右、四角闭合的图形）的小方格具有逻辑相邻性。 （便于用互补律以作图的方式化简）定义（ 最小项的逻辑相邻性 ）两个最小项只有一个逻辑变量的取值不同。2.3.3.1.1 卡诺图的构成与特点例如：（四变量卡诺图，如图2. 4）CDA B图 2. 4 四变量卡诺图例如：（五变量卡诺图，如图2. 5）CD EAB图 2. 5 五变量卡诺图此时，仅用几何图形在二维空间的相邻性来表达逻辑相邻性已经不够了， 在五变量卡诺图中，（两个 4 4 卡

21、诺图的）分界线为轴的轴对称的小方格也具有逻辑相邻性。卡诺图的特点：卡诺图中的小方格数等于最小项总数，若逻辑变量的数目为 n，则小方格数为2n 个纵横两侧标注是逻辑变量的取值组合， “ 0”和“ 1”表示使方格对应的最小项为 1 的变量取值；同时，取值组合“ 0”、“ 1”的自然二进制数值就是最小项的编号。的原变量；取值为“ 0”对应逻辑变量的反变量； (3) 纵横取值所组成的二进制数值（自然二进制数）就是最小项的序号。13任何一个 n 变量 3的逻辑函数均可以由 n 变量最小项卡诺图表示逻辑函数等于卡诺图中填入“ 1”的小格（即： “ 1 格 ”）所对应的最小项之和。卡诺图是“邻接真值表” ，

22、变量的取值按照格雷循环码排列，因此卡诺图的逻辑相邻性 与 几何位置相邻性是一致的；注意，在几何位置上，应将卡诺图看成上下 /左右，四角闭合的图形。 （五变量包括分界轴对称）2.3.3.1.2 根据逻辑函数填写卡诺图步骤一（得到标准与或表达式） 、若已知逻辑函数的表达式，可首先把函数写成最小项之和的形式（标准与或表达式） ；然后，步骤二（填写卡诺图） 、在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入 1，在其余位置上填入 0，这样就可以得到该逻辑函数的卡诺图。例 2.5 : （根据逻辑函数填写卡诺图） Y ( A B A B C ) A B解 :（步骤 1-1）反复使用反演律，脱去“非”号，直到最后只有

23、单变量上有非号；（步骤 1-2）用乘对加的分配律，脱去括号，直到最后得到一个“与或”表达式；（步骤 1-3）在“与或”表达式中，若一个乘积项缺少某变量因子，则利用互补律配项，并用所配的项去乘该项； 如缺少两个以上的项， 则要反复用互补律配项， 直到得到最小项之和的表达式（还要删除重复的最小项） 。（步骤 2-1）逻辑变量按照位置计数法排列，以自然二进制数对应最小项的编号；（步骤 2-2）最小项为 1 的取值组合，会使逻辑函数为 1，所以在存在的最小项的对应方格中标注“ 1”（其余方格填“ 0”）。说明 ：熟练后，可以根据与或表达式“看图说话”地直接填写卡诺图，不仅效率高，而且不容易出错。例2.

24、6: （根据逻辑函数填写卡诺图） Y A B C D A B D A C D A B解 ii :3 由卡诺图的能力， n 5。14CDA B2.3.3.1.3 由卡诺图得到标准或与表达式根据卡诺图既可写出标准 “与或” 表达式， 也可写出标准 “或与” 表达式（参见 2.3.3）。2.3.3.2 卡诺图化简法卡诺图化简逻辑函数的依据：由于卡诺图上 几何位置的相邻性与逻辑相邻性是一致的 ，因而从卡诺图上能直观 地找出具有相邻性的最小项，并根据 互补律 将其合并化简。几何相邻的两个方格（包括 上下闭合、左右闭合、轴对称）所代表的最小项只有一个变量不同；根据互补律，当方格为 1（“ 1”格），且两个

25、“ 1”格相邻时，对应的最小项就可以加以合并，消去一对原变量与反变量，合并后 只剩公共因子 。 多于多个相邻的方格， 反复利用合并法则，保留相同变量，消除相反变量 。问题：如何“直观地”找到可以合并的最小项？如何选择可以合并的最小项，以达到最简？2.3.3.2.1 最小项卡诺图逻辑化简规则问题 1、如何“直观地”找到可以合并的最小项？理论：合并化简的理论支持（互补律） 。技巧：圈定卡诺圈的技巧。规则 1：卡诺图中两个相邻的 “ 1 格” 的最小项可以合并成一个与项， 并消去一个变量。例如：BC00 01 11 10A1121Y=15CD00 01 11 10AB0001 1 11110化简为：BC00 01 11 10A0111化简为：CD00 01 11 1000 1011110 1化简为：规则 2：卡诺图中四个相邻“ 1 格”的最小项可以合并成一个与项，并消去两个变量。BC00011110C D00011110AAB01111001 1化简为：10111化简为：1110BC00011110AC D00011110011AB11 化简为：1110001化简为：11