人教版八年级数学上册单元培优练习第十二章《全等三角形》.docx

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人教版八年级数学上册单元培优练习第十二章《全等三角形》

单元培优练习：

第十二章《全等三角形》

一．选择题

1．下列说法正确的是（　　）

A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

B．面积相等的两个三角形全等

C．有一个角是30°的两个等腰三角形全等

D．斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等

2．在下列条件下，不能判定△ABC≌△AB′C′（　　）

A．∠A＝∠A′，AB＝A′B′，BC＝B′C′

B．∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，AC＝A′C′

C．∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，AC＝A′C′

D．BA＝B′A′，BC＝B′C′，AC＝A′C′

3．△ABC中，AB＝AC，三条高AD，BE，CF相交于O，那么图中全等的三角形有（　　）

A．5对B．6对C．7对D．8对

4．如图，△ABC≌△ADC，∠BAC＝60°，∠ACD＝23°，那么∠D＝（　　）

A．87°B．97°C．83°D．37°

5．如图，ABC中，AD是它的角平分线，AB＝4，AC＝3，那么△ABD与△ADC的面积比是（　　）

A．1：

1B．3：

4C．4：

3D．不能确定

6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC＝6cm，则BD+DE的和为（　　）

A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm

7．如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么AE的长是（　　）

A．6cmB．5cmC．7cmD．无法确定

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠DAC交CD于点F，点E为AB上一点，AE＝AC，连接EF，若∠B＝56°，则∠AEF＝（　　）

A．34°B．46°C．56°D．60°

9．点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（　　）

A．1B．2C．3D．4

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥AB于E点，下列四个结论中正确的有（　　）

①DE＝DC；②BE＝BC；③AD＝DC；④△BDE≌△BDC．

A．1个B．2个C．3个D．4个

二．填空题

11．如图，△ABC平移得到△A'B′C′，则　　≌　　，因此它们的对应边是　　，对应角是　　．

12．如图，△ABC≌△AED，∠C＝40°，∠EAC＝30°，∠B＝30°，则∠D＝　　．

13．AB是四边形ACBE的对角线，AB＝AC，过点C作CD∥AE交BE于D．若AE＝DE，∠ACD＝45°，BD＝1，CD＝5，则AE＝　　．

14．如图，已知△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，AD＝9cm，BC＝5cm，AB的长为　　cm．

15．如图，△ABC中，AD⊥BC于D要用“HL”定理判定△ABD≌△ACD，还需加条件　　．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是　　．

17．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动　　秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．

三．解答题

18．如图，已知CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD＝CD．

（1）求证：

点D在∠BAC的平分线上；

（2）若把条件“BD＝CD”与

（1）中的结论交换位置，所得到的命题是真命题吗？

请说明理由．

19．在△ABC中AB＝AC，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，交AC、AB于点D、E．

（1）如图①，求证：

BD＝CE；

（2）如图②，BD、CE交于点F，作AG∥CE交BD延长线于点G，若AE＝CE，请直接写出图中与BE相等的线段．

20．如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠3，BE＝EF，试说明BC＝FC的理由．

解：

因为AB＝AC，又∠1＝∠2

所以AD⊥BC（　　）

所以∠ADC＝90°（垂直的意义）

因为∠ADC+∠2+∠ACD＝180°

∠BEC+∠3+∠BCE＝180°（　　）

所以∠ADC+∠2+∠ACD＝∠BEC+∠3+∠BCE

又∠2＝∠3（已知）

所以∠BEC＝∠　　＝90°（等式性质）

因为∠BEC+∠FEC＝180°（邻补角的意义）

所以∠FEC＝90°（等式性质）

所以∠BEC＝FEC（等量代换）

在△BEC与△FEC中，

所以△BEC≌△FEC（　　）

得BC＝FC（　　）

21．在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．

（1）如图1，若AM＝3，MC＝2，AB＝3

，求△ABC中AB边上的高．

（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：

∠BDF＝∠CEF．

22．如图，已知∠ABC＝90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．试说明：

（1）△ABP≌△AEQ；

（2）EF＝BF．

23．已知射线AP是△ABC的外角平分线，AB＜AC，连结PB、PC．

（1）如图1，若BP平分∠ABC，且∠ACB＝30°，请直接写出：

∠APB＝　　；

（2）如图2，若过点P作PM⊥BA交BA延长线于M点，且∠BAC＝∠BPC，求：

的值．

参考答案

一．选择题

1．解：

A、如图：

AC＝CD，BC＝BC，∠B＝∠B，但△BDC和△ABC不全等，故本选项错误；

B、△ABC的面积是

×2×1＝1，△EFG的面积是

×1×2＝1，但△ABC和△EFG不全等，故本选项错误；

C、当一个是底角是30°，而另一个是顶角是30°时，两等腰三角形不全等，故本选项错误；

D、根据HL即可得出结论，故本选项正确；

故选：

D．

2．解：

A、若AB＝A'B'，BC＝B'C'，∠B＝∠B'，根据SAS推出△ABC≌△AB′C′，故本选项正确；

B、根据ASA即可推出△ABC≌△AB′C′，故本选项错误；

C、根据AAS即可推出△ABC≌△AB′C′，故本选项错误；

D、根据SSS即可推出△ABC≌△AB′C′，故本选项错误．

故选：

A．

3．解：

∵AB＝AC，AD是高，

∴BD＝CD，又AD＝AD，∠ADB＝∠ADC＝90°，

∴△ADB≌△ADC，

∴△ODC≌△ODB

同理有：

△COE≌△BOF、△AOC≌△AOB、△AOE≌△AOF、△CBE≌△BCF、△ACF≌△ABE．

共7对．

故选：

C．

4．解：

∵△ABC≌△ADC，∠BAC＝60°，

∴∠DAC＝∠BAC＝60°，

∵∠ACD＝23°，

∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝97°，

故选：

B．

5．解：

如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∵AD是它的角平分线，

∴DE＝DF，

而S△ABD：

S△ADC＝

AB•DE：

AC•DF

＝AB：

AC

＝4：

3．

故选：

C．

6．解：

CD＝DE，

∴BD+DE＝BD+CD＝BC＝AC＝6cm．

故选：

B．

7．解：

∵△ABC≌△ADE，

∴AE＝AC，

∵AC＝6cm，

∴AE＝6cm．

故选：

A．

8．解：

∵AF平分∠DAC，

∴∠CAF＝∠EAF，

又∵AC＝AE，AF＝AF，

∴△ACF≌△AEF，

∴∠AEF＝∠ACF，

又∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，

∴∠B+∠BAC＝90°＝∠ACD+∠DAC，

∴∠B＝∠ACD，

∴∠AEF＝∠B＝56°，

故选：

C．

9．解：

如图所示，过O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，

∵点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，

∴OE＝OD＝OF，

∵△ABC的面积是12，周长是8，

∴

AB×OE+

BC×OD+

AC×OF＝12，

即

×8×OD＝12，

即OD＝3，

故选：

C．

10．解：

∵∠ACB＝90°，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，

∴DE＝DC，故①正确；

又∵∠C＝∠BEC＝90°，BD＝BD，

∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），故④正确；

∴BE＝BC，故②正确；

∵Rt△ADE中，AD＞DE＝CD，

∴AD＝DC不成立，故③错误；

故选：

C．

二．填空题（共7小题）

11．解：

∵△ABC平移得到△A'B′C′，

∴△ABC≌△A'B'C'，

∴它们的对应边是：

AB＝A'B'，BC＝B'C'，AC＝A'C'，

对应角是：

∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'．

故答案为：

△ABC，△A'B'C'；AB＝A'B'，BC＝B'C'，AC＝A'C'；∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'．

12．解：

△ABC中，∠C＝40°，∠B＝30°，

∵△ABC≌△AED，

∴∠D＝∠C＝40°．

故答案为：

40°．

13．解：

连接AD，过A分别作DC、BE的垂线，垂足分别为F、G，过E作EH⊥AD于H，

∵AE＝DE，

∴∠ADE＝∠DAE，

∵CD∥AE，

∴∠CDA＝∠DAE，

∴∠ADE＝∠CDA，

∵AG⊥BE，AF⊥CD，

∴AG＝AF，

∵∠AGD＝∠AFD＝90°，AD＝AD

，

∴△AGD≌△AFD，

∴DG＝FD，

∵∠AGB＝∠AFC＝90°，AB＝AC，

∴△AGB≌△AFC，

∴∠ABG＝∠ACD＝45°，

∴∠FAC＝45°，

∴∠FAC＝∠ACF，

∴AF＝CF，

∵DC＝DF+CF＝DF+AF＝DG+AG＝5，

设DG＝t，则AG＝5﹣t，AG＝BG＝5﹣t，

∵BG＝BD+DG＝1+t，

5﹣t＝1+t，

t＝2，

∴DG＝2，AG＝3，

∴AD＝

＝

＝

，

在△ADE中，AE＝DE，EH⊥AD，

∴AH＝

AD＝

，

在Rt△AEH中，cos∠DAE＝

，

在Rt△ADG中，cos∠ADE＝

，

∴

，

∴

，

AE＝

．

14．解：

∵△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，

∴CA＝BD，

∴CA﹣BC＝DB﹣BC，

即AB＝CD，

∴AB+CD＝2AB＝AD﹣BC＝9﹣5＝4（cm），

∴AB＝2（cm）．

故答案为：

2．

15．解：

还需添加条件AB＝AC，

∵AD⊥BC于D，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），

故答案为：

AB＝AC．

16．解：

如图，作DE⊥AB于E，

由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，

∵∠C＝90°，DE⊥AB，

∴DE＝DC＝3，

∴△ABD的面积＝

×AB×DE＝

×10×3＝15，

故答案为：

15．

17．解：

①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，

∵AC＝2，

∴BP＝2，

∴CP＝6﹣2＝4，

∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；

②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，

这时BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为0秒；

③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，

∵AC＝2，

∴BP＝2，

∴CP＝2+6＝8，

∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；

④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，

∵BC＝6，

∴BP＝6，

∴CP＝6+6＝12，

点P的运动时间为12÷1＝12（秒），

故答案为：

0或4或8或12．

三．解答题（共6小题）

18．

（1）证明：

∵CE⊥AB，BF⊥AC，

∴∠BED＝∠CFD＝90°，

在△BDE和△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF（AAS），

∴DE＝DF，

又∵CE⊥AB，BF⊥AC，

∴D在∠BAC的平分线上；

（2）若把条件“BD＝CD”与

（1）中的结论交换位置，所得到的命题是真命题，理由如下：

∵点D在∠BAC的平分线上，CE⊥AB，BF⊥AC，

∴DE＝EF，

在△BDE和△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF（ASA），

∴BD＝CD．

19．解：

（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

又∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，

∴∠DBC＝

∠ABC＝

∠ACB＝∠ECB，

又∵BC＝CB，

∴△BCD≌△CBE（ASA），

∴BD＝CE；

（2）图中与BE相等的线段为BF，CF，CD，GD．

设∠BAC＝α，

∵AE＝CE，

∴∠ACE＝∠BAC＝α，

∵∠ABC＝∠ACB，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，

∴∠ABC＝∠DBC＝∠BCE＝α，

∴∠BEF＝2α＝∠BFE，BF＝CF，

∴BF＝BE＝CF，

由

（1）可得，CD＝BE，

∵AG∥CE，

∴∠G＝∠DFC＝2α＝∠DCB，

又∵∠ADG＝∠BDC，AD＝BD，

∴△ADG≌△BDC（AAS），

∴DG＝DC，

∴BE＝BF＝CF＝CD＝GD．

20．解：

因为AB＝AC，又∠1＝∠2

所以AD⊥BC（三线合一）

所以∠ADC＝90°（垂直的意义）

因为∠ADC+∠2+∠ACD＝180°

∠BEC+∠3+∠BCE＝180°（三角形内角和定理）

所以∠ADC+∠2+∠ACD＝∠BEC+∠3+∠BCE

又∠2＝∠3（已知）

所以∠BEC＝∠ADC＝90°（等式性质）

因为∠BEC+∠FEC＝180°（邻补角的意义）

所以∠FEC＝90°（等式性质）

所以∠BEC＝∠FEC（等量代换）

在△BEC与△FEC中，

所以△BEC≌△FEC（SAS）

得BC＝FC（全等三角形的对应边相等）

故答案为：

三线合一；三角形内角和定理；ADC；SAS；全等三角形的对应边相等．

21．解：

（1）∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，

∴AM＝BM＝ABcos45°＝3，

∵MC＝2，

∴BC＝5，

∴AC＝

，

∴△ABC中AB边上的高＝

；

（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．

，

∴△BMD≌△AMC（SAS），

∴AC＝BD，

又∵CE＝AC，

因此BD＝CE，

，

∴△BFG≌△CFE（SAS），

故BG＝CE，∠G＝∠E，

所以BD＝CE＝BG，

因此∠BDG＝∠G＝∠E．

22．解：

（1）∵△ABE和△APQ是等边三角形，

∴AB＝AE，AP＝AQ，∠BAE＝∠PAQ＝∠ABE＝∠AEB＝60°，

∴∠BAE﹣∠PAE＝∠PAQ﹣∠PAE，

∴∠BAP＝∠EAQ．

在△ABP和△AEQ中，

，

∴△QAE≌△PAB（SAS）；

（2）∵△QAE≌△PAB

∴∠ABP＝∠AEQ＝90°．

∴∠AEF＝90°，

∴∠ABP＝∠AEF

∴∠ABP﹣∠AEB＝∠AEF﹣∠ABE，

∴∠BEF＝∠EBF，

∴BF＝EF．

23．解：

（1）

∵AP平分∠DAC，PB平分∠ABC，

∴∠DAP＝

∠DAC，∠ABP＝

∠ABC，

∵∠DAC＝∠ABC+∠ACB，∠DAP＝∠ABP+∠APB，

∴∠APB＝∠DAP﹣∠ABP＝

∠DAC﹣

∠ABC＝

∠ACB＝15°，

故答案为：

15°；

（2）过点P作PN⊥AC于N，

∵AP平分∠MAN，PM⊥BA，

∴PM＝PN，

在Rt△APM与Rt△APN中，

，

∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），

∴AM＝AN，

∵∠BAC＝∠BPC，

∴由“8字形”得：

∠MBP＝∠PCN，

在△PMB与△PNC中，

，

∴BM＝CN，

∵AM＝AN，

∴AC﹣AB＝2AM，

∴

＝

．