中考数学动态问题旋转问题探究含答案.docx

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中考数学动态问题旋转问题探究含答案

专题08动点类题目旋转问题探究

题型一：

旋转问题中三点共线问题

例1.（2019?

绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底

边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，

（1）在旋转过程中，

1当A、D、M三点在同一直线上时，求AM的长.

2当A、D、M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长.

（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由厶ABC外的点Dj转到其内的点D2处，连接D1D2,如图2，此时/AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长.

题型二：

旋转与全等及直角三角形存在性问题

例2.（2019?

金华）如图，在等腰RtAABC中，/ACB=90°,AB=14』2•点D,E分

别在边AB,BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF.

（1）如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O,求证：

BD=2DO.

（2）已知点G为AF的中点•

①如图2,若AD=BD,CE=2，求DG的长.

②若AD=6BD,是否存在点巳使得△DEG是直角三角形？

若存在，求CE的长；若不存

在，试说明理由

题型三：

旋转问题中线段比值是否变化问题例3.（2019?

德州）

（1）如图1,菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且/BAD=60

请直接写出HD:

GC:

EB的值；

（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD:

GC:

EB;

（3）把图2的菱形都换成矩形，如图3,且AD:

AB=AH:

AE=1:

2，此时HD:

GC:

EB的结果与

题型四：

旋转问题中落点规律性问题

例4.（2019?

台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F,AP=FD.

AF

（1）求―匚的值；

AP

（2）如图1,连接EC,在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证：

MF=PF;

（3）如图2,过点E作EN丄CD于点N，在线段EN上取一点Q,使AQ=AP，连接BQ、

BN,将厶AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上•请判断旋转后B的对题型五：

旋转问题中函数及落点问题

k

例5.（2019?

连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=-x+b的图象与函数y=

x

（XV0）的图象相交于点

A（-1,6）,并与x轴交于点C.点D是线段AC上一点，△ODC与厶OAC的面积比为2:

3.

（1）k=,b=;

（2）求点D的坐标；

（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△ODC,其中点D'落在x轴负半轴上，判断点

k

C'是否落在函数y=（xv0）的图象上，并说明理由.

题型六：

几何图形旋转中的类比探究

例6.（2019?

自贡）

（1）如图1,E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将/BDE绕点D逆时针旋转90°旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.

1线段DB和DG之间的数量关系是;

2写出线段BE,BF和DB之间的数量关系.

（2）当四边形ABCD为菱形，/ADC=60°点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE,将/BDE绕点D逆时针旋转120°旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.

1如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；

2如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1,AB=2，直接写出线段GM的长度.

G

F

C

B

题型六：

几何图形旋转中的计算题目

例7.（2019?

潍坊）如图1，菱形ABCD的顶点A、D在直线上，/BAD=60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转a（0°

（1）当MN//B'D'时，求a的大小.

（2）如图2,对角线B'D'交AC于点H，交直线I于点G,延长C'B'交AB于点E,连接

答案与解析

题型一：

旋转问题中三点共线问题

例1.（2019?

绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10.

（1）在旋转过程中，

1当A、D、M三点在同一直线上时，求AM的长.

2当A、D、M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长.

（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由厶ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2,如图2，此时/AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长.

【分析】

（1）①根据点D及M的运动轨迹为圆，根据位置关系判断出点A、D、M三

点在同一直线上时有两种情况，点D在A与M之间或点M在A与D之间；②由题意知D、

M均可能为直角顶点，分类讨论求解；

（2）由题意知厶AD1D2是等腰直角三角形，连接CD1,△ABD2BAACD1,由/D1D2C=90°,禾U用勾股定理求得CD1的值，即为BD2的值.

【答案】见解析•

（1）①点D在A与M之间时，AM=AD+DM=30+10=40.

②当/ADIM90。

时,

由勾股定理得AM=・.，AD2DM210、、10;

当/AMD90°时，

由勾股定理得AM=AD2DM220'、2；

（2）v摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由厶ABC外的点Dj转到其内的点D2处，

二AD1=AD2,ZD1AD2=90°,

•••/AD1D2=ZAD2D1=45°,D1D2=30-2

•••/AD2C=135°,

D1D2C=90°,

连接D1C，如下图所示,

•••/BAD2+/D2AC=/CADi+/D2AC=90°,•••/BAD2=ZCADi

•••AB=AC,AD2=ADi,

•△ABD2◎△ACD1

•-BD2=CDi

题型二：

旋转与全等及直角三角形存在性问题

例2.（2019?

金华）如图，在等腰RtAABC中，/ACB=90°,AB=14j2•点D,E分别在边AB,BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF.

（1）如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点0,求证：

BD=2DO.

（2）已知点G为AF的中点•

1如图2,若AD=BD,CE=2，求DG的长.

2

若AD=6BD,是否存在点巳使得△DEG是直角三角形？

若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由•

【分析】

（1）如图1中，首先证明CD=BD=AD，再证明四边形ADFC是平行四边形即

可解决问题.

DG是厶ABF的中位线，想办法求出

（2）①作DT丄BC于点T,FH丄BC于H.证明

BF即可解决问题.

②分三种情形情形：

如图3-1中，当/DEG=90°时，F,E,G,A共线，作DT丄BC于点T,FH丄BC于H.设EC=x.构建方程解决问题即可.如图3-2中，当/EDG=

90°时，取AB的中点O,连接OG.作EH丄AB于H.构建方程解决问题即可.如图3

-3中，当/DGE=90°时，构造相似三角形，利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可.

【解答】

（1）证明：

如图1中，

•/CA=CB,/ACB=90°,BD=AD,

•••CD丄AB,CD=AD=BD,

•/CD=CF,

•AD=CF,

•//ADC=/DCF=90°,

•AD//CF,

•四边形ADFC是平行四边形，

•OD=OC,

•/BD=2OD.

@2

作DT丄BC于点T,FH丄BC于H.

由题意：

BD=AD=CD=7:

？

BC=V：

；BD=14,•/DT丄BC,

•bt=TC=7,

•/EC=2,

•TE=5,

•//DTE=/EHF=/DEF=90°,

•/DET+/TDE=90°,/DET+/FEH=90°,

•/TDE=/FEH,

•/ED=EF,

•△DTE◎△EHF（AAS）,

•FH=ET=5,

•••/DBE=/DFE=45°,

•B,D,E,F四点共圆，

•/DBF+/DEF=90°,

Z

DBF=

=90°,

Z

DBE=

=45°,

Z

FBH=

=45°,

Z

BHF=

=90°,

Z

HBF=

=ZHFB=45

BH=FH=5,

•••BF=5I

•••/ADC=ZABF=90°,

•DG//BF,

•/AD=DB,

•AG=GF,

•DG=丄BF=

②解：

如图3-1中，当/DEG=90°时，F,E,G,A共线，作DT丄BC于点T,FH丄BC于H.设EC=x.

@3-1

•/AD=6BD,

BD=—AB=2：

?

•/DT丄BC,ZDBT=45

•DT=BT=2,

DTE◎△EHF,

•EH=DT=2,

•BH=FH=12-x,

•/FH//AC,

EH

FH

EC

AC，

2

12-z

'■-，

2

整理得：

X2-12x+28=0,

解得x=6±2.\

如图3-2中，当/EDG=90°时，取AB的中点O,连接OG.作EH丄AB于H.

设EC=x,由2①可知BF=^2（12-x）,OG=£BF

•••/EHD=ZEDG=ZDOG=90°,

•••/ODG+ZOGD=90°,/ODG+ZEDH=90°,

•••/DGO=/HDE,

•△EHDs\DOG,

DH

EH

0G

DO

¥（12-x）皿

整理得：

x2-36x+268=0,

解得x=18-或18+2/（舍弃），

如图3-3中，当/DGE=90°时，取AB的中点O,连接OG,CG,作DT丄BC于T,

FH丄BC于H,EK丄CG于K.设EC=x.

•••OG//BF,

•••/AOG=ZABF=90

•OG丄AB,

•/OG垂直平分线段AB,vCA=CB,

•O,G,C共线，

0G

0D

EK

GK

由厶DTE◎△EHF，可得EH=DT=BT=2,ET=FH=12-x,BF=^2（12-x）,OG=-^-BF=举（12-x）,CK=EK=^~x,GK=超—茫（12-x）-李x,

返

23

小芈（12-力一佯

由厶OGDKEG，可得

解得x=2,，综上所述，满足条件的EC的值为6±2「或18-或2.

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定

和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

题型三：

旋转问题中线段比值是否变化问题例3.（2019?

德州）

（1）如图1,菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且/BAD=60请直接写出HD:

GC:

EB的值；

（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD:

GC:

EB;

（3）把图2的菱形都换成矩形，如图3,且AD:

AB=AH:

AE=1:

2，此时HD:

GC:

EB的结果与

（2）小题的结果相比有变化吗？

如果有变化，直接写出变化后的结果；若无变化，说明理

【解析】解：

（1）HD:

GC:

EB=1:

.3:

1；

即AD:

AC=

同理，得AH:

AG=

•AD:

AC=AH:

AG,

又/DAC=/HAG，/DAH+ZHAC=ZCAG+/HAC，即/DAH=ZCAG,

•△DAHCAG,

•-DH:

GC=——

3

•HD:

GC:

EB=1:

.3:

1.

⑶有变化，HD:

GC:

EB=1:

5:

2.

如上图所示，由题意知：

/1+ZHAB=Z2+/HAB=90

•/1=/2,

由AH:

AE=AD:

AB=1:

2，得：

AH:

AD=AE:

AB,

•△ADHABE,

•HD:

EB=1:

2,

连接AG,AC,

由/2+/HAC=/3+/HAC，得：

/2=/3,

AG=,£AH,AC=.5AD,

•••AD:

AC=AH:

AG,

•••△ADHs\ACG,

•HD:

GC=1:

「5,•HD:

GC:

EB=1:

、5:

2.

题型四：

旋转问题中落点规律性问题

例4.（2019?

台州）如图，正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP=FD.

AF

（1）求——的值；

AP

（2）如图1,连接EC,在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证：

MF=PF;

（3）如图2,过点E作EN丄CD于点N，在线段EN上取一点Q,使AQ=AP，连接BQ、BN,将厶AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上•请判断旋转后B的对应点B'是否落在线段BN上，请说明理由.

图1E2

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）v四边形ABCD是正方形，边长为2,

•CD//AB,

•••/P=/FCD,

CD

设AF=x，贝UDF=AP=2—x,

解得：

x=3、、5或x=3'、5（舍）,

•AF=亦1

AP2

（2）TE是正方形ABCD边AB的中点，AB=2,

•BE=1,

在RtABCE中，由勾股定理得：

CE=,

由

（1）知：

pe=fa+ae=、、51+1=..5,

•••CE=PE,

•••/P=/PCE,

又/P=/DCF,

•••/PCE=ZDCF,

过点F作FH丄CE于H，如下图所示,

（3）过点

ZD=ZFHC=90°

ZFCHZFCD

CFCF

•△CFH◎△CFD,

•CH=CD=2,FH=FD=、,5—1=AP,

•EH=EC—CH=、、5—2,

•HM=EM—EH=3—、、5=AF

•••△APF也厶HFM,

•PF=FM.

在AD上截取AQ'=AQ,在BN上截取AB'AB，连接AB',B'Q',

B'作B'G丄AD于G,交EN于K，如下图所示，

•/tanZNBE=2,AB=AB'=2,

•BB亠

•••B'N=BN—BB'=

由厶NB'Ks\NBE,

1262

得：

B'K=—,KN=—,BG=—,DG=—,

5555

•Q；G=135,

5

在RtAB'GQ'中，由勾股定理得：

B'Q2=BG2+GQ'=66265

5

而5i266265,

5

•B'Q工BQ,

即B'不在BN上.

题型五：

旋转问题中函数及落点问题

k

例5.（2019?

连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=-x+b的图象与函数y=—

x

（XV0）的图象相交于点

A（-1,6）,并与x轴交于点C.点D是线段AC上一点，△ODC与厶OAC的面积比为2:

3.

（1）k=,b=;

（2）求点D的坐标；

（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△ODC,其中点D'落在x轴负半轴上，判断点

k

C'是否落在函数y=（xv0）的图象上，并说明理由.

【答案】

（1）-6,5;

（2）（3）见解析.

【解析】解：

（1）将A（-1,6）代入y=-x+b,

得，6=1+b,「.b=5,

k

将A（-1,6）代入y=

x

得k=-6,

故答案为：

-6,5;

（2）如下图所示，过点D作DM丄x轴，垂足为M，过点A作AN丄x轴，垂足为N,

•••△ODC与厶OAC的面积比为2:

3

.dm2

AN3，

又•••点A的坐标为（-1,6）,

•••AN=6,

•••DM=4,即点D的纵坐标为4,把y=4代入y=-x+5中，得x=1,

•-D（1,4）;

（3）由题意可知，OD'=OD=.17,

如下图所示，过点C'作C'G丄x轴，垂足为G,

■/SaODC=SaOD'C',

•OC?

DM=OD'?

C'G,

即5X4=C'G,

•C'G=

2017

17

在RtAOC'G中,

由勾股定理得：

OG=,

17

•C'的坐标为（

2017

17

）,

「（-泄）

17

20.17

17

工-6,

•••点C'不在函数尸-6的图象上.

x

题型六：

几何图形旋转中的类比探究

例6.（2019?

自贡）

（1）如图1,E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将/BDE绕点D逆时针旋转90°旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.

1线段DB和DG之间的数量关系是;

2写出线段BE,BF和DB之间的数量关系.

（2）当四边形ABCD为菱形，/ADC=60°点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE,将/BDE绕点D逆时针旋转120°旋转后角的两边分别与射线BC交于点F

和点G.

1如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；

2

如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1,AB=2，直接写出线段GM的长度.

【答案】

（1）①DB=DG②BEBF.2BD

（2）见解析.

【解析】解：

（1）由旋转知：

/GDB=90°,

•••四边形ABCD是正方形，BD为对角线，

•••/DBG=45°,

•••/DGB=45°,

•DG=DB,

②在△DBE和厶DGF中，

BDDG

•••△DBE◎△DGF,

•BE=GF,

由①知，BD=DG，/BDG=90

即厶BDG是等腰直角三角形，

•BG=.2BD,

即BEBF72BD.

（2）（X>BEBF3BD

理由如下：

1

在菱形ABCD中，/ABD=/CBD=—/ABC=30°,

2由旋转可得，/EDF=/BDG=120°,•••/EDF-ZBDF=ZBDG-ZBDF，即/FDG=/BDE.在厶DBG中，/G=180°-/BDG-ZDBG=30°,

•••/DBG=ZG=30°,

•BD=DG.

在厶BDE和厶GDF中，

GDFBDE

BDDG

DBEDGF

•••△BDE◎△△GDF（ASA）,

•BE=GF,

•BE+BF=BF+GF=BG.

过点D作DM丄BG于点M，如下图所示，

•/BD=DG,

•BG=2BM.

在RtABMD中，ZDBM=30°,

•BD=2DM,

设DM=a，贝UBD=2a,BM=3a.

•BG=2..3a,

•BF+BE=,3BD.

②GM的长度为.

3

理由：

24

•/GF=BE=1,FC=2CD=4,CM=2BC=_

33'

419

•••GM=GF+FC+CM=1+4+工=鼻

33

题型六：

几何图形旋转中的计算题目

例7.（2019?

潍坊）如图1，菱形ABCD的顶点A、D在直线上，/BAD=60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转a（0°

（1）当MN//B'D'时，求a的大小.

（2）如图2,对角线B'D'交AC于点H，交直线I于点G,延长C'B'交AB于点E,连接EH.当厶HEB'的周长为2时，求菱形ABCD的周长.

b

月c»

f

1舛。

JF

J

D'

卸

【答案】见解析•

【解析】解：

（1）•••四边形ABCD是菱形，

AB=BC=CD=AD',

•••/BAD=/BCD=60°,

•△ABD',△BCD'是等边三角形，

•/MN//BC,

•••/CMN=/CBD=60°/CNM=/CD'B=60°

•••△CMN是等边三角形，

•CM=CN,

•MB=ND:

•••/ABM=ZADN=120°AB=AD',

•△AB'M◎△ADN（SAS）,

•ZB'AM=ZDAN,

1

•••ZCAD=丄ZBAD=30°,

2

ZDAD=15°

•a=15°.

（2）CBD=60°,

•ZEBG=120°

•ZEAG=60°

•ZEAG+ZEBG=180°

•四边形EAGB四点共圆，

•ZAEB=ZAGD',

•ZEAB=ZGAD',AB'=AD',

•△AEB'也△AGD'（AAS）,

•••EB'=GD',AE=AG,

•/AH=AH,/HAE=ZHAG,

•△AHE◎△AHG（SAS）,

•EH=GH,

•/△EHB的周长为2,

•EH+EB，HB'=BH+HG+GD'=B'D'=2,

AB=AB=2,

•菱形ABCD的周长为8．