(1)当MN//B'D'时,求a的大小.
(2)如图2,对角线B'D'交AC于点H,交直线I于点G,延长C'B'交AB于点E,连接
答案与解析
题型一:
旋转问题中三点共线问题
例1.(2019?
绍兴)如图1是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10.
(1)在旋转过程中,
1当A、D、M三点在同一直线上时,求AM的长.
2当A、D、M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长.
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由厶ABC外的点D1转到其内的点D2处,连接D1D2,如图2,此时/AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长.
【分析】
(1)①根据点D及M的运动轨迹为圆,根据位置关系判断出点A、D、M三
点在同一直线上时有两种情况,点D在A与M之间或点M在A与D之间;②由题意知D、
M均可能为直角顶点,分类讨论求解;
(2)由题意知厶AD1D2是等腰直角三角形,连接CD1,△ABD2BAACD1,由/D1D2C=90°,禾U用勾股定理求得CD1的值,即为BD2的值.
【答案】见解析•
(1)①点D在A与M之间时,AM=AD+DM=30+10=40.
②当/ADIM90。
时,
由勾股定理得AM=・.,AD2DM210、、10;
当/AMD90°时,
由勾股定理得AM=AD2DM220'、2;
(2)v摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由厶ABC外的点Dj转到其内的点D2处,
二AD1=AD2,ZD1AD2=90°,
•••/AD1D2=ZAD2D1=45°,D1D2=30-2
•••/AD2C=135°,
D1D2C=90°,
连接D1C,如下图所示,
•••/BAD2+/D2AC=/CADi+/D2AC=90°,•••/BAD2=ZCADi
•••AB=AC,AD2=ADi,
•△ABD2◎△ACD1
•-BD2=CDi
题型二:
旋转与全等及直角三角形存在性问题
例2.(2019?
金华)如图,在等腰RtAABC中,/ACB=90°,AB=14j2•点D,E分别在边AB,BC上,将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF.
(1)如图1,若AD=BD,点E与点C重合,AF与DC相交于点0,求证:
BD=2DO.
(2)已知点G为AF的中点•
1如图2,若AD=BD,CE=2,求DG的长.
2
若AD=6BD,是否存在点巳使得△DEG是直角三角形?
若存在,求CE的长;若不存在,试说明理由•
【分析】
(1)如图1中,首先证明CD=BD=AD,再证明四边形ADFC是平行四边形即
可解决问题.
DG是厶ABF的中位线,想办法求出
(2)①作DT丄BC于点T,FH丄BC于H.证明
BF即可解决问题.
②分三种情形情形:
如图3-1中,当/DEG=90°时,F,E,G,A共线,作DT丄BC于点T,FH丄BC于H.设EC=x.构建方程解决问题即可.如图3-2中,当/EDG=
90°时,取AB的中点O,连接OG.作EH丄AB于H.构建方程解决问题即可.如图3
-3中,当/DGE=90°时,构造相似三角形,利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可.
【解答】
(1)证明:
如图1中,
•/CA=CB,/ACB=90°,BD=AD,
•••CD丄AB,CD=AD=BD,
•/CD=CF,
•AD=CF,
•//ADC=/DCF=90°,
•AD//CF,
•四边形ADFC是平行四边形,
•OD=OC,
•/BD=2OD.
@2
作DT丄BC于点T,FH丄BC于H.
由题意:
BD=AD=CD=7:
?
BC=V:
;BD=14,•/DT丄BC,
•bt=TC=7,
•/EC=2,
•TE=5,
•//DTE=/EHF=/DEF=90°,
•/DET+/TDE=90°,/DET+/FEH=90°,
•/TDE=/FEH,
•/ED=EF,
•△DTE◎△EHF(AAS),
•FH=ET=5,
•••/DBE=/DFE=45°,
•B,D,E,F四点共圆,
•/DBF+/DEF=90°,
Z
DBF=
=90°,
Z
DBE=
=45°,
Z
FBH=
=45°,
Z
BHF=
=90°,
Z
HBF=
=ZHFB=45
BH=FH=5,
•••BF=5I
•••/ADC=ZABF=90°,
•DG//BF,
•/AD=DB,
•AG=GF,
•DG=丄BF=
②解:
如图3-1中,当/DEG=90°时,F,E,G,A共线,作DT丄BC于点T,FH丄BC于H.设EC=x.
@3-1
•/AD=6BD,
BD=—AB=2:
?
•/DT丄BC,ZDBT=45
•DT=BT=2,
DTE◎△EHF,
•EH=DT=2,
•BH=FH=12-x,
•/FH//AC,
EH
FH
EC
AC,
2
12-z
'■-,
2
整理得:
X2-12x+28=0,
解得x=6±2.\
如图3-2中,当/EDG=90°时,取AB的中点O,连接OG.作EH丄AB于H.
设EC=x,由2①可知BF=^2(12-x),OG=£BF
•••/EHD=ZEDG=ZDOG=90°,
•••/ODG+ZOGD=90°,/ODG+ZEDH=90°,
•••/DGO=/HDE,
•△EHDs\DOG,
DH
EH
0G
DO
¥(12-x)皿
整理得:
x2-36x+268=0,
解得x=18-或18+2/(舍弃),
如图3-3中,当/DGE=90°时,取AB的中点O,连接OG,CG,作DT丄BC于T,
FH丄BC于H,EK丄CG于K.设EC=x.
•••OG//BF,
•••/AOG=ZABF=90
•OG丄AB,
•/OG垂直平分线段AB,vCA=CB,
•O,G,C共线,
0G
0D
EK
GK
由厶DTE◎△EHF,可得EH=DT=BT=2,ET=FH=12-x,BF=^2(12-x),OG=-^-BF=举(12-x),CK=EK=^~x,GK=超—茫(12-x)-李x,
返
23
小芈(12-力一佯
由厶OGDKEG,可得
解得x=2,,综上所述,满足条件的EC的值为6±2「或18-或2.
【点评】本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的性质,平行四边形的判定
和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学
会添加常用辅助线,构造全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考压轴题.
题型三:
旋转问题中线段比值是否变化问题例3.(2019?
德州)
(1)如图1,菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上,且/BAD=60请直接写出HD:
GC:
EB的值;
(2)将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度,如图2,求HD:
GC:
EB;
(3)把图2的菱形都换成矩形,如图3,且AD:
AB=AH:
AE=1:
2,此时HD:
GC:
EB的结果与
(2)小题的结果相比有变化吗?
如果有变化,直接写出变化后的结果;若无变化,说明理
【解析】解:
(1)HD:
GC:
EB=1:
.3:
1;
即AD:
AC=
同理,得AH:
AG=
•AD:
AC=AH:
AG,
又/DAC=/HAG,/DAH+ZHAC=ZCAG+/HAC,即/DAH=ZCAG,
•△DAHCAG,
•-DH:
GC=——
3
•HD:
GC:
EB=1:
.3:
1.
⑶有变化,HD:
GC:
EB=1:
5:
2.
如上图所示,由题意知:
/1+ZHAB=Z2+/HAB=90
•/1=/2,
由AH:
AE=AD:
AB=1:
2,得:
AH:
AD=AE:
AB,
•△ADHABE,
•HD:
EB=1:
2,
连接AG,AC,
由/2+/HAC=/3+/HAC,得:
/2=/3,
AG=,£AH,AC=.5AD,
•••AD:
AC=AH:
AG,
•••△ADHs\ACG,
•HD:
GC=1:
「5,•HD:
GC:
EB=1:
、5:
2.
题型四:
旋转问题中落点规律性问题
例4.(2019?
台州)如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是BA延长线上的一点,连接PC交AD于点F,AP=FD.
AF
(1)求——的值;
AP
(2)如图1,连接EC,在线段EC上取一点M,使EM=EB,连接MF,求证:
MF=PF;
(3)如图2,过点E作EN丄CD于点N,在线段EN上取一点Q,使AQ=AP,连接BQ、BN,将厶AQB绕点A旋转,使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上•请判断旋转后B的对应点B'是否落在线段BN上,请说明理由.
图1E2
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)v四边形ABCD是正方形,边长为2,
•CD//AB,
•••/P=/FCD,
CD
设AF=x,贝UDF=AP=2—x,
解得:
x=3、、5或x=3'、5(舍),
•AF=亦1
AP2
(2)TE是正方形ABCD边AB的中点,AB=2,
•BE=1,
在RtABCE中,由勾股定理得:
CE=,
由
(1)知:
pe=fa+ae=、、51+1=..5,
•••CE=PE,
•••/P=/PCE,
又/P=/DCF,
•••/PCE=ZDCF,
过点F作FH丄CE于H,如下图所示,
(3)过点
ZD=ZFHC=90°
ZFCHZFCD
CFCF
•△CFH◎△CFD,
•CH=CD=2,FH=FD=、,5—1=AP,
•EH=EC—CH=、、5—2,
•HM=EM—EH=3—、、5=AF
•••△APF也厶HFM,
•PF=FM.
在AD上截取AQ'=AQ,在BN上截取AB'AB,连接AB',B'Q',
B'作B'G丄AD于G,交EN于K,如下图所示,
•/tanZNBE=2,AB=AB'=2,
•BB亠
•••B'N=BN—BB'=
由厶NB'Ks\NBE,
1262
得:
B'K=—,KN=—,BG=—,DG=—,
5555
•Q;G=135,
5
在RtAB'GQ'中,由勾股定理得:
B'Q2=BG2+GQ'=66265
5
而5i266265,
5
•B'Q工BQ,
即B'不在BN上.
题型五:
旋转问题中函数及落点问题
k
例5.(2019?
连云港)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=-x+b的图象与函数y=—
x
(XV0)的图象相交于点
A(-1,6),并与x轴交于点C.点D是线段AC上一点,△ODC与厶OAC的面积比为2:
3.
(1)k=,b=;
(2)求点D的坐标;
(3)若将△ODC绕点O逆时针旋转,得到△ODC,其中点D'落在x轴负半轴上,判断点
k
C'是否落在函数y=(xv0)的图象上,并说明理由.
【答案】
(1)-6,5;
(2)(3)见解析.
【解析】解:
(1)将A(-1,6)代入y=-x+b,
得,6=1+b,「.b=5,
k
将A(-1,6)代入y=
x
得k=-6,
故答案为:
-6,5;
(2)如下图所示,过点D作DM丄x轴,垂足为M,过点A作AN丄x轴,垂足为N,
•••△ODC与厶OAC的面积比为2:
3
.dm2
AN3,
又•••点A的坐标为(-1,6),
•••AN=6,
•••DM=4,即点D的纵坐标为4,把y=4代入y=-x+5中,得x=1,
•-D(1,4);
(3)由题意可知,OD'=OD=.17,
如下图所示,过点C'作C'G丄x轴,垂足为G,
■/SaODC=SaOD'C',
•OC?
DM=OD'?
C'G,
即5X4=C'G,
•C'G=
2017
17
在RtAOC'G中,
由勾股定理得:
OG=,
17
•C'的坐标为(
2017
17
),
「(-泄)
17
20.17
17
工-6,
•••点C'不在函数尸-6的图象上.
x
题型六:
几何图形旋转中的类比探究
例6.(2019?
自贡)
(1)如图1,E是正方形ABCD边AB上的一点,连接BD、DE,将/BDE绕点D逆时针旋转90°旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.
1线段DB和DG之间的数量关系是;
2写出线段BE,BF和DB之间的数量关系.
(2)当四边形ABCD为菱形,/ADC=60°点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点,连接BD、DE,将/BDE绕点D逆时针旋转120°旋转后角的两边分别与射线BC交于点F
和点G.
1如图2,点E在线段AB上时,请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系,写出结论并给出证明;
2
如图3,点E在线段AB的延长线上时,DE交射线BC于点M,若BE=1,AB=2,直接写出线段GM的长度.
【答案】
(1)①DB=DG②BEBF.2BD
(2)见解析.
【解析】解:
(1)由旋转知:
/GDB=90°,
•••四边形ABCD是正方形,BD为对角线,
•••/DBG=45°,
•••/DGB=45°,
•DG=DB,
②在△DBE和厶DGF中,
BDDG
•••△DBE◎△DGF,
•BE=GF,
由①知,BD=DG,/BDG=90
即厶BDG是等腰直角三角形,
•BG=.2BD,
即BEBF72BD.
(2)(X>BEBF3BD
理由如下:
1
在菱形ABCD中,/ABD=/CBD=—/ABC=30°,
2由旋转可得,/EDF=/BDG=120°,•••/EDF-ZBDF=ZBDG-ZBDF,即/FDG=/BDE.在厶DBG中,/G=180°-/BDG-ZDBG=30°,
•••/DBG=ZG=30°,
•BD=DG.
在厶BDE和厶GDF中,
GDFBDE
BDDG
DBEDGF
•••△BDE◎△△GDF(ASA),
•BE=GF,
•BE+BF=BF+GF=BG.
过点D作DM丄BG于点M,如下图所示,
•/BD=DG,
•BG=2BM.
在RtABMD中,ZDBM=30°,
•BD=2DM,
设DM=a,贝UBD=2a,BM=3a.
•BG=2..3a,
•BF+BE=,3BD.
②GM的长度为.
3
理由:
24
•/GF=BE=1,FC=2CD=4,CM=2BC=_
33'
419
•••GM=GF+FC+CM=1+4+工=鼻
33
题型六:
几何图形旋转中的计算题目
例7.(2019?
潍坊)如图1,菱形ABCD的顶点A、D在直线上,/BAD=60°,以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转a(0°(1)当MN//B'D'时,求a的大小.
(2)如图2,对角线B'D'交AC于点H,交直线I于点G,延长C'B'交AB于点E,连接EH.当厶HEB'的周长为2时,求菱形ABCD的周长.
b
月c»
f
1舛。
JF
J
D'
卸
【答案】见解析•
【解析】解:
(1)•••四边形ABCD是菱形,
AB=BC=CD=AD',
•••/BAD=/BCD=60°,
•△ABD',△BCD'是等边三角形,
•/MN//BC,
•••/CMN=/CBD=60°/CNM=/CD'B=60°
•••△CMN是等边三角形,
•CM=CN,
•MB=ND:
•••/ABM=ZADN=120°AB=AD',
•△AB'M◎△ADN(SAS),
•ZB'AM=ZDAN,
1
•••ZCAD=丄ZBAD=30°,
2
ZDAD=15°
•a=15°.
(2)CBD=60°,
•ZEBG=120°
•ZEAG=60°
•ZEAG+ZEBG=180°
•四边形EAGB四点共圆,
•ZAEB=ZAGD',
•ZEAB=ZGAD',AB'=AD',
•△AEB'也△AGD'(AAS),
•••EB'=GD',AE=AG,
•/AH=AH,/HAE=ZHAG,
•△AHE◎△AHG(SAS),
•EH=GH,
•/△EHB的周长为2,
•EH+EB,HB'=BH+HG+GD'=B'D'=2,
AB=AB=2,
•菱形ABCD的周长为8.