修订版线性代数习题三答案.docx
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修订版线性代数习题三答案
AVV*
第二早
线性方程组
、温习巩固
X
2x2
X3
X4
0
1.求解齐次线性方程组
3x-i
6x2
X3
3x4
0
5x1
10x2
X3
5x4
0
解：
化系数矩阵为行最简式
1
2
1
1
1
2
0
-1
A3
6
1
3
行变换
0
0
1
0
5
10
1
5
0
0
0
0
因此原方程冋解于
X
2x2
x4
令X2
k1
X4
k2
X30
21
10
xk1
k2
其中
k1,k2
为任意常数。
0
0
0
1
4x-|
2x2
X3
2
2.求解非齐次线性方程组
3x-i
X2
2x3
10
11x13x28
解：
把增广矩阵（A,b）化为阶梯形
4
2
1
2
1
3
3
8
1
3
-3
-8
（A,b）
3
1
2
10
「23
1
2
10
行变换
0
-10
11
34
11
3
0
8
11
3
0
8
0
0
0
-6
因此R（A）2R（代b）3，所以原方程组无解。
3.设（3,2,1,1）,（3,1,2,1）。
求向量，使23。
151
解：
一
（2）3,-,0,-
333
4.求向量组1（1,1,2,4）t,2（0,3,1,2）t,3（3,0,7,14）T,4（1,1,2,0）t,
5（2,1,5,6）t的秩和一个极大线性无关组。
解：
将1,5作为列向量构成矩阵，做初等行变换
1
0
3
1
2
1
0
3
1
2
1
0
3
1
2
1
3
0
1
1
0
3
3
0
3
0
1
1
0
1
A
2
1
7
2
5
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
4
2
14
0
6
0
2
2
4
2
0
0
0
4
4
所以向量组的秩为
3，
1,2
曰
4是
」个极大线性无关组。
二、练习提高
1.判断题
⑴初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。
（V）
⑵设A为mn矩阵，Ax0是非齐次线性方程组Axb的导出组，贝U
（a）若Ax0仅有零解，则Axb有唯一解。
（）
（b）若Ax0有非零解，则Axb有无穷多解。
（）
（c）
若Axb有无穷多解，则Ax0有非零解。
（V）
⑶设A为n阶矩阵,
1,2,3线性表示，则对于任意常数k，必有1,2,3，k12线性相关。
（）
⑹设n维列向量组1,2,,s线性相关，A是mn矩阵，则A1,A2,,As线性相关。
（V）
⑺若向量组B能由向量组A线性表示，B和A的秩分别为Rb和Ra，则RbRa。
（）
⑻设A为mn矩阵，R（A）rmn，则A的r1阶子式不能为0。
（）
⑼设n元齐次线性方程组的一个基础解系为1,2,3,4，则
1,12,123,1234仍为该齐次线性方程组的基础解系。
（V）
⑽集合V{x（X1,X2,,Xn）X1x2Xn0,XiR}是一个向量空间。
（）
2.填空题
⑴齐次线性方程组A43X310有非零解的充要条件是_R（A）3_=。
由向量组1（1,3,1,1）T,2（2,
成的向量空间的维数为3。
3.计算题
X1X2X31
⑴取何值时，方程组X1X2X3有唯一解，无解或有无穷多解？
在有无
X1X2X3
穷多解时求解。
解：
对此线性方程组的增广矩阵进行初等行变换可得
11Ml
1'
1
M
BA
b
11M
r1r：
!
1
1
M
11M
11
M
1
1
M
1
1
M
r3r1
0
11
r3r2
0
11
M0
0
112
M2
0
02
M
所以当
0,1时，R（A）
R（B）
3线性方程组有唯一解。
1
1
1
M
1
1
0Ml
若
1
B
Ab
r
0
0
2
M0
r0
0
1
M），
解
为
0
0
2
M0
0
0
0
M0
X1
1
1
X2
C1
1
0；
X3
0
0
1
1
1
M
1
1
0
1
M1
若
1，
B
A
br
0
2
0
M0
r0
1
0
M0，
解
为
0
0
0
M0
0
0
0
M0
X1
1
1
X2
C2
0
0。
X3
1
0
a3,332i线性相关，求a的值
⑵已知!
2,3线性无关，若122,22
解：
由题意知存在不全为0的k1,k2,k3，使得
ki（i22）k2（22a3）ks（3321）0，整理得
（k12k3）1（2k12k2）2（ak23k3）30
k12k30
因为1,2,3线性无关，从而有齐次线性方程组2k12k20
kt）A0
ak23k30
⑶设向量1,2,,
t是齐次方程组Ax
0的一个基础解系，向量
不是方程组
Ax0的解，即A
0。
试证明：
向量组，1,2,,
t线性无关。
解：
设有一组数k,k1,
kt，使得
k
&
（1）kt（
t）0
整理该式得（kk1
kt）k11
ktt0①
由k1,k2,k3不全为0知方程组有非零解，则系数行列式必为0a3
2
用A左乘上式两边，注意A
i
0，故有（kk1
因为A
0
kk1
kt
0②
将②代回①式，
得到
k11
ktt
0，因为
k1
kt
0，
再由②式，
可得k
k1
⑷
已知向量组
1（0,1,
1）T,2
（a,2,1）T,
2
（3,0,1）丁
3（9,6,7）t具有相同的秩，且
解：
对矩阵1,2,3做初等行变换
1
3
9
1
3
9
2
0
6
0
1
2，所以R
3
1
7
0
0
0
又因为R
1,2
3
R1,
2,
3，所以
另一
方面
3可
由1,
2,
3线性表示
1
3b
2
01
0
b
5
3
10
1,,t线性无关，故必有
kt0
3（b,1,0）T与向量组i（1,2,3）t,
1,2,3线性表示，求a,b的值。
2,32，且1,2是一个极大无关组
0
a
b
1
2
1
0
a3b
1
1
0
所以3可由1,2线性表示，即
⑸设4元齐次线性方程组（I）为1
X2
的通解为和0,1,1,0）丁
k2（1,2,2,1）T。
求
程组（I）和
（n）是否有非零公共解？
①I的系数矩阵为
1A
100
R（A）
0
101'
故I的基础解系含有
42
2个解向量，
可取为
②n的通解为X1
k2,X2
k12k2,X3
k1
k2k12k2
0
k2
k1
2k?
k?
0
20，又已知某齐次线性方程组（U）
40
:
①方程组（I）的基础解系；②方
若有则求出所有的非零公共解。
2
（0,0,1,0）和（1,1,0,1）
2k2,X4k2，代入I可得
⑹设有向量组（I）
ki（0,1,1,0）k2（1,2,21）ki（1,1,1,1）
和向量组（n）:
1（1,2,a3）t,2（2,1,a6）T,3（2,1,a4）T。
1（1,0,2）t,2（1,1,3）t,3（1,1,a2）t
试问：
当a为何值时，向量组（I）与（n）等价？
当a为何值时，向量组（I）与（n）不等价?
解解对，构成的矩阵做初等行变换,
所以，①当a
1时，R（1,2,3）3
122
另外，
1,2,3
211
60，所以R（1,2,3）3
a3a6a4
故R（1,2,3,
1,
2,3）3R（1,
2,3）R（1,2,3），向量组等价
1111
②当a1时，（1,2,3,1）
X1
X2
X3
0
X1
2x2
ax3
0
X1
4x2
a2x30
x12x2x3a1
对该方程组的增广矩阵做初等行变换，得到
1
0
1
1
a
0
1
0
a
1
B，因方程组有解，故（a1）（a2）0a1或a2
0
0a1
1
a
000（a1）（a2）
1
0
1
0
1
0
1
0
0
，因此公共解为k0，k为任意常数。
0
0
0
0
1
0
0
0
0
当a1时，B
1
0
11
0
0
1
01
a2时，B
，因此公共解为1
0
0
11
1
0
0
00
三、思考与深化
r线性表出，证明表示法唯一的充分必要条件是
如果可以被向量1,2
1,2,,r线性无关。
证明：
略。
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