修订版线性代数习题三答案.docx

1、修订版线性代数习题三答案AVV *第二早线性方程组、温习巩固X2x2X3X401.求解齐次线性方程组3x-i6x2X33x405x110x2X35x40解：化系数矩阵为行最简式1211120-1A 3613行变换0010510150000因此原方程冋解于X2x2x4令X2k1,X4k2,X3 02 11 0x k1k2,其中k1,k2为任意常数。00014x-|2x2X322.求解非齐次线性方程组3x-iX22x31011x1 3x2 8解：把增广矩阵(A,b)化为阶梯形4212133813-3-8(A,b)312102 31210行变换0-1011341130811308000-6因此R(A

2、) 2 R(代b) 3，所以原方程组无解。3.设 (3, 2, 1,1), ( 3,1, 2,1)。求向量，使 2 3 。1 5 1解： 一( 2 ) 3,-,0,-3 3 34.求 向量组 1 (1, 1,2,4)t, 2 (0,3,1,2)t, 3 (3,0,7,14) T, 4 (1, 1,2,0)t,5 (2,1,5,6)t的秩和一个极大线性无关组。解：将1, 5作为列向量构成矩阵，做初等行变换103121031210312130110330301101A2172501101000004214060224200044所以向量组的秩为3，1, 2曰,4是个极大线性无关组。二、练习提高1.

3、判断题初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。 (V) 设A为m n矩阵，Ax 0是非齐次线性方程组Ax b的导出组，贝U(a) 若Ax 0仅有零解，则Ax b有唯一解。 ()(b) 若Ax 0有非零解，则Ax b有无穷多解。 ()(c) 若Ax b有无穷多解，则Ax 0有非零解。 (V)设A为n阶矩阵,1, 2, 3线性表示，则对于任意常数k，必有1, 2, 3， k 1 2线性相关。()设n维列向量组1, 2, , s线性相关，A是m n矩阵，则A 1, A 2, , A s 线性相关。 (V) 若向量组B能由向量组A线性表示，B和A的秩分别为Rb和Ra，则Rb Ra。

4、() 设A为m n矩阵，R( A) r m n，则A的r 1阶子式不能为0。 () 设n元齐次线性方程组的一个基础解系为1, 2, 3, 4，则1, 1 2, 1 2 3, 1 2 3 4仍为该齐次线性方程组的基础解系。(V) 集合 V x (X1,X2, ,Xn)X1 x2 Xn 0, Xi R是一个向量空间。()2.填空题 齐次线性方程组A43X31 0有非零解的充要条件是 _R(A) 3_=。由向量组 1 (1,3,1, 1)T, 2 (2,成的向量空间的维数为 3 。3.计算题X1 X2 X3 1 取何值时，方程组X1 X2 X3 有唯一解，无解或有无穷多解？在有无X1 X2 X3穷多

5、解时求解。解：对此线性方程组的增广矩阵进行初等行变换可得1 1 Ml1 1MB Ab1 1 Mr1 r：! 11M1 1 M1 1M11M11Mr3 r101 1r3 r201 1M001 1 2M 200 2M所以当0, 1 时，R(A)R(B)3线性方程组有唯一解。111M110 Ml若1BA br002M0r 001M) ，解为002M0000M0X111X2C110 ；X300111M1101M 1若1，BAb r020M0r 010M0 ，解为000M0000M0X111X2C200 。X310a 3,3 3 2 i线性相关，求a的值已知!, 2, 3线性无关，若1 2 2,2 2解

6、：由题意知存在不全为 0的k1,k2,k3，使得ki( i 2 2) k2(2 2 a 3) ks(3 3 2 1) 0，整理得(k1 2k3) 1 (2k1 2k2) 2 (ak2 3k3 ) 3 0k1 2 k3 0因为1, 2, 3线性无关，从而有齐次线性方程组 2k1 2k2 0kt)A 0ak2 3k 3 0设向量1, 2,t是齐次方程组Ax0的一个基础解系，向量不是方程组Ax 0的解，即A0。试证明：向量组， 1 , 2,t线性无关。解：设有一组数k,k1,kt，使得k&( 1) kt(t) 0整理该式得(k k1kt) k1 1kt t 0 由k1,k2,k3不全为0知方程组有非

7、零解，则系数行列式必为 0 a 32用A左乘上式两边，注意 Ai0，故有(k k1因为A0k k1kt0 将代回式，得到k1 1kt t0，因为k1kt0，再由式，可得kk1已知向量组1 (0,1,1)T, 2(a,2,1)T,2(3,0,1)丁3 （9,6, 7）t具有相同的秩，且解：对矩阵 1, 2, 3做初等行变换139139206012 ，所以R317000又因为R1, 23R 1,2,3，所以另一方面3可由1,2 ,3线性表示13 b20 10b531 01, , t线性无关，故必有kt 03 （b,1,0）T 与向量组 i （1,2, 3）t ,1,2, 3线性表示，求a,b的值。

8、2,3 2，且1, 2是一个极大无关组0ab1210a 3b110所以3可由1, 2线性表示，即 设4元齐次线性方程组（I）为1X2的通解为 和0,1,1,0）丁k2( 1,2,2,1)T。求程组（I）和（n）是否有非零公共解？I的系数矩阵为1 A1 0 0R(A)01 0 1 故I的基础解系含有4 22个解向量，可取为n的通解为X1k2,X2k1 2k2, X3k1k2 k1 2k20k2k12 k? k?02 0，又已知某齐次线性方程组（U）4 0:方程组（I）的基础解系；方若有则求出所有的非零公共解。2（0,0,1,0）和（1,1,0,1）2k2, X4 k2，代入I可得设有向量组（I）

9、ki(0,1,1,0) k2( 1,2,21) ki(1, 1, 1, 1)和向量组（n）:1 (1,2,a 3)t, 2 (2,1,a 6)T, 3 (2,1,a 4)T。1 (1,0,2)t, 2 (1,1,3)t, 3 (1, 1,a 2)t试问：当a为何值时，向量组（I）与（n）等价？当a为何值时，向量组（I）与（n）不等价?解解对，构成的矩阵做初等行变换,所以，当a1 时，R( 1, 2, 3) 31 2 2另外，1, 2, 32 1 16 0，所以 R( 1, 2, 3) 3a 3 a 6 a 4故 R( 1, 2, 3,1,2, 3) 3 R( 1,2, 3) R( 1, 2,

10、3)，向量组等价1 1 1 1当 a 1 时，(1, 2, 3, 1)X1X2X30X12x2ax30X14x2a2x3 0x1 2x2 x3 a 1对该方程组的增广矩阵做初等行变换，得到1011a010a1B ，因方程组有解， 故 (a 1)(a 2) 0 a 1或 a 200a11a0 0 0 (a 1)( a 2)101010100，因此公共解为 k 0 ， k 为任意常数。000010000当 a 1 时， B101100101a 2 时， B，因此公共解为 1001110000三、思考与深化r 线性表出，证明表示法唯一的充分必要条件是如果 可以被向量 1 , 21, 2 , , r 线性无关。 证明：略。