对勾函数的性质及应用(史上上最完整版).doc

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对勾函数的性质及应用

一、概念：

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，故称“对勾函数”，也称“耐克函数”或“双勾函数”。

二、对勾函数的图像与性质：

解析式

图像

定义域

值域

特殊点

奇偶性

奇函数

奇函数

奇函数

增区间

减区间

三、对勾函数的应用

【题型1】函数

此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到

【例1】函数的值域为

【解析】显然函数的定义域为，。

①当时,,,当且仅当，即取等号;

②当时,,,当且仅当，即取等号;

综上所述，函数的值域为。

【例2】函数的值域为

【解析】易知函数的定义域为，

。

①当时,,,当且仅当，即时取等号;

②当时,,,当且仅当，即时取等号;

综上所述，函数的值域为。

【题型2】函数。

此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到。

【例3】函数的值域为

【解析】函数的定义域为，

①当时，，当且仅当，即时取等号;

②当时，,当且仅当，即时取等号;

综上所述，函数的值域为.

【题型3】函数。

此类函数定义域为，且可变形为（当时单调考虑。

）

类型

图像

定义域

值域

奇偶性

奇函数

奇函数

单调递增区间

单调递减区间

最值

当时，

当时，

当时，

当时，

【例4】函数的在区间上的值域为

【解析】，，函数在上单调递增，，当且仅当时取等号，即。

【例5】如，，则实数的取值范围是

【解析】由题可知，，令，，，

在上单调递减，，即，，故，得。

【题型4】函数.

可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到。

【例6】已知，求函数的最小值。

【解析】由题可知，，，，，函数的最小值为。

【例7】已知，求函数的最大值。

【解析】由题可知，，，，故，故函数的最大值为。

【题型5】函数

这类型题目，可以令，得，代入原函数，将其转化为关于的函数求解。

【例8】求函数在区间上的最大值。

【解析】由题可知，令，则，，令，故，当且仅当，即，即时取等号。

函数在区间上的最大值。

【例9】求函数在区间上的最大值。

【解析】由题可知，，，令，则，即

，当且仅当，即取等号，故函数在区间上的最大值为。

类型八：

函数.

此类函数可变形为对勾函数的标准形式，即。

【例10】求函数的最小值。

【解析】由题可知，函数的定义域为，

，当且仅当，即时取等号。

【例11】求函数的值域。

【解析】由题可知，函数的定义域为，

①当时，;

②当时，，当且仅当，即时取等号，此时。

综上所述，函数的值域为。

类型九：

函数。

此类函数可变形为标准形式：

.

【例12】求函数的最小值。

【解析】由题可知，函数，令，则，显然在上单调递增，故，此时，故函数的最小值为。

【例13】求函数的值域.

【解析】由题可知，函数，令，故，故函数的值域为。

类型二：

斜勾函数

类型

定义域

值域

奇偶性

奇函数

奇函数

单调性

在上单调递增

在上单调递减

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