商务数学52不定积分的性质及基本积分公式.docx

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商务数学52不定积分的性质及基本积分公式

第五章

不定积分

IndefiniteIntegral

§2不定积分的性质及基本积分公式

2.1不定积分的性质

Properties1（Seep.109）不定积分的导数等于被积函数或不定积分的微分等于被积表达式，即或.

证明设是的一个原函数，则，所以

，

（最后一个式子也可这样来证：

）.

Properties2（Seep.109）一个函数的导数（或微分）的不定积分等于这个函数加上任意常数，即或.

证明因为是的一个原函数，所以

或.

【Note】Properties1＆2告诉我们，求导数或微分的运算（简称微分运算[differentialoperation]，以记号“”表示）与求不定积分的运算（简称积分运算[integraloperation]，以记号“”表示）是互逆的（即微分运算与积分运算互为逆运算[inverseoperation]）.当记号“”与“”连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数.

积分运算

微分运算

微分运算

积分运算

积分运算

微分运算

微分运算

积分运算

Properties3（Seep.110）被积函数中的非零常数因子可以提到积分号外，即（为非零常数）.

证明因为,由不定积分定义，得

.

Properties4（Seep.110）两个函数代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，即

.

证明因为

.由不定积分定义，有

.

【Note】此性质可以推广到有限多个函数代数和的情形，即

2.2基本积分公式

如前所述，由于求不定积分的积分运算与求导数的微分运算互为逆运算，所以不定积分的基本公式可由导数的基本公式直接写出：

⑴（为常数）

⑵（）

⑶

⑷

⑸（＞，）

⑹

⑺

⑻

⑼

⑽

⑾

⑿

⒀（＜）

（＜）

⒁

⒂（＞）

（＞）

【Note】关于公式，我们作如下说明：

显然，当＞时，有；而当＜时，有.总之，不论＞或＜，恒有，故.

我们知道，求导数的工具有二：

基本导数公式和求导数的法则（四则运算求导法则、复合运算求导法则）.现在，也许有的同学会想，我们已经有了基本积分公式，要是再掌握了求积分的法则（四则运算求积分法则、复合运算求积分法则）不就可以求出任何一个函数的不定积分了吗？

真要是这样就好了，可惜这是做不到的.第一是没有通用的求积分的法则（没有两函数之积[商]的求积分法则也没有复合运算的求积分法则）.第二是有些函数的不定积分是算不出来的.这里所说的“算不出来”（cannotbecalculated）是指函数的原函数存在（从而）但不能表为有限形式（cannotformalimitedformof,即不是初等函数）.比如由于函数是初等函数，从而存在，但数学上可以证明的原函数不是初等函数，所以是“算不出来”的（还有很多形式上看并不复杂的积分，如，，，，等，也都是“算不出来”的）.

求

导

数

运

算

求导公式

基本导数公式（√）

求导法则

四则运算求导法则（√）

复合运算求导法则（√）

求

积

分

运

算

积分公式

基本积分公式（√）

积分法则

四则运算积分法则（？

）

复合运算积分法则（×）

初等函数

求导数

导数均为初等函数

（均可以表为有限形式）

均能算出来

初等函数

求积分

积分或非初等函数

（或不能表为有限形式）

或算不出来

这样看来，积分运算比微分运算要难得多（就像减法运算比加法运算难、除法运算比乘法运算难、开方运算比乘方运算难）.原因就在于“”是“”的逆运算（就像“”是“”的逆运算、“”是“”的逆运算、“”是“”的逆运算，逆运算都比原运算难）.那么，为什么逆运算比原运算要难呢？

其实，根本原因在于，加法运算、乘法运算、乘方运算、微分运算这些原运算的定义都是构造性的（constructive[不仅告诉“是什么”，而且告诉“怎样求”]），而减法运算、除法运算、开方运算、积分运算这些逆运算的定义都是非构造性的（nonconstructive[仅仅告诉“是什么”，而未告诉“怎样求”]）.比如，“导数”的定义就是构造性的：

，定义不仅告诉我们什么是导数，同时还告诉我们如何求导数；而“不定积分”的定义则是非构造性的：

如果，那么，定义本身只是告诉我们什么是不定积分（所有原函数），而并未告诉我们如何求不定积分（即如何求原函数）.

原运算

易

加法运算

乘法运算

乘方运算

微分运算

构造性定义

减法运算

除法运算

开方运算

积分运算

非构造性定义

逆运算

难

积分运算由于其定义的非构造性，先天性地决定了它比微分运算这种定义为构造性的运算要难得多，复杂得多，对此我们要有足够的心理准备.当然，尽管难，我们也不必太“畏难”，我们还是有很多办法来求不定积分的.在下一节中，我们将学习到不定积分的基本运算方法.这里先告诉大家，在本课程中，我们不会遇到“算不出来”的不定积分.

特别需要提醒大家的是，做为逆运算，积分学的熟练程度在很大程度上取决于微分学的熟练程度——就像不知道就不可能会知道一样，不知道也就不可能会知道.所以，即使我们现在已开始学习积分学的内容，大家还是要进一步熟悉微分学的内容.

最后要强调一点，不仅孤立地看，“不定积分”是本课程的一个重点内容，而且它对后续内容（Chapter6，即“定积分”）的学习也至关重要.