数学题.docx

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数学题

一、五大方法

1.代入法：

代入法时行测第一大法，优先考虑。

2.赋值法：

对于有些问题，若能根据其具体情况，合理巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值，往往能使问题获得简捷有效的解决。

题干中有分数，比例，或者倍数关系时一般采用赋值法简化计算，赋值法经常应用在如工程问题，行程问题，费用问题等题目中。

3.倍数比例法：

若a:

b=m:

n（m、n互质），

则说明:

a占m份，是m的倍数;

b占n份，是n的倍数;

a+b占m+n份，是m+n的倍数;

a-b占m-n份，是m-n的倍数。

4.奇偶特性法：

两个奇数之和/差为偶数，两个偶数之和/差为偶数，一奇一偶之和/差为奇数;

两个数的和/差为奇数，则它们奇偶相反，两个数的和/差为偶数，则它们奇偶相同;

两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数

5.方程法：

很多数学运算题目都可以采用列方程进行求解。

方程法注意事项：

未知数要便于列方程;未知数可以用字母表示，也可以用“份数”，还可以用汉字进行替代。

二、六大题型

1.工程问题：

工作量=工作效率×工作时间

工程问题一般采用赋值法解题。

赋值法有2种应用情况，第一种是题干中已知每个人完成工作的时间，这时我们假设工作量为工作时间的最小公倍数，进而得到每个人的工作效率，从而快速求解;第二种是题干中已知的是每个人工作效率的等量关系，这时我们通过直接赋效率为具体值进行快速求解。

2.行程问题：

路程=速度×时间

行程问题一般要通过数形结合进行快速求解，常见的解法包括列方程，比例法等。

常考的题型包括相遇问题和追及问题。

相遇问题：

路程和=速度和×时间

追及问题：

路程差=速度差×时间

3.溶液问题：

浓度=溶质÷溶液

溶液问题常见的有两种，一种是溶液的混合，这种问题用公式解决;另外一种是单一溶液的蒸发或稀释，这种题目一般用比例法解决，即利用溶质不变进行求解。

4.容斥原理：

两集合型的容斥原理题目，关键是分清题目中的条件I和条件II，然后直接套用公式：

满足条件I的个数+满足条件II的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数

三集合公式型题目，需要大家记住公式核心公式：

A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总个数-三者都不满足的个数

三集合图示型题目，当题目条件不能直接代入标准公式时，我们可以考虑利用图示配合，标数解答。

5.和差倍比问题：

和差倍比问题是研究不同量之间的和、差、倍数、比例关系的数学应用题，是数学运算中比较简单的问题。

但这类问题对计算速度和准确度要求较高，一般采用代入法快速求解。

6.最值问题：

三类

第一，抽屉原理，特征“至少+保证”，方法“最不利原则”，答案“最不利+1”;

第二，多集合问题，特征“至少”，方法“逆向考虑”;这类题目的做法，一般就是将每个集合不满足的个数求出，然后求和得到有不满足集合的个数最多，再用总数减去这个和，得到满足的个数最少为多少。

第三，构造数列，特征“最多最少”，方法“极端思想”这类题目的做法就是在极端思维情况下，构造出满足条件的一个数列，然后数列求和等于题目所给总和，再根据提问方式得到最终结果。

三、八大公式

1.裂项相消公式：

2.植树问题：

单边线型植树公式：

棵数=总长÷间隔+1;

单边环型植树公式：

棵数=总长÷间隔;

单边楼间植树公式：

棵数=总长÷间隔-1;

双边植树问题公式：

相应单边植树问题所需棵树的2倍。

3.方阵问题：

无论是方阵还是长方阵，相邻两圈的人数都满足：

外圈比内圈多8人;

在方阵中：

总人数=N2=（外圈人数¸4+1）2，最外圈为4N-4人

释义：

十字交叉法是利用“交叉十字”来求两个部分混合后平均量的一种简便方法。

适用范围：

十字交叉法一般只用于两个部分相关的平均值问题，且运用的前提已知总体平均值r。

使用原则：

第一部分的平均值为a，第二部分的平均值为b（这里假设a>b），混合后的平均值为r。

释义：

极端法是指通过考虑问题的极端状态，探求解题方向或转化途径的一种常用方法。

在行测考试中运用极端法的情况主要有分析极端状态和考虑极限图形与极限位置两种情况。

适用范围：

极端法一般适用于鸡兔同笼问题、对策分析类问题等。

分类：

1.分析极端状态：

先分析并找出问题的极限状态，再与题干条件相比较，作出相应调整，得出所求问题的解;

2.考虑极限图形与极限位置：

（1）极限图形，主要是利用一些几何知识。

例如，对于空间几何体，当表面积相同时，越趋近于球体的体积越大;同理，当体积相同时，越趋近于球体的表面积越小;

（2）极限位置，首先找到途中满足条件的极端位置，再判断极端位置与题中所求之间的关系，进而求出题目答案。

例题：

小明每天必须做家务，做一天可得3元钱，做得特别好时每天可得5元钱，有一个月（30天）他共得100元，这个月他有几天做得特别好?

A.2B.3C.5D.7

本题答案为C。

鸡兔同笼问题，采用极端法来分析。

本题存在两个极限状态：

（1）每天都得3元;

（2）都做得特别好，每天可得5元。

任选一个状态，再通过比较与实际的差别来求解。

假设每天都得3元，那么一个月得30×3=90元，比所得的100元少了100-90=10元。

小明每多一天做得特别好，他就可多拿5-3=2元，所以有10÷2=5天做得特别好。

在数学运算中很多题目需要运用数学公式计算，对于一些广泛出现的运算题型，这些题型的变化相对较少，且每一题型都有其核心的解题公式，遇到这些题时，只要理清题意，套用公式即可。

下面中公教育行测网总结了几种常见的题型及其相关的核心公式。

例题1：

环保部门对一定时间内的河流水质进行采样，原计划每41分钟采样1次，但在实际采样过程中，第一次和最后一次采样的时间与原计划相同，每两次采样的间隔变成20分钟，采样次数比原计划增加了1倍。

问实际采样次数是多少次?

A.22B.32C.42D.52

【解析】设原计划采样x次，有x-1个时间间隔，总用时为41×（x-1）分钟。

实际采样过程中，第一次和最后一次采样时间与原计划相同说明总用时不变。

采样次数变为2x，有2x-1个时间间隔，总用时为20×（2x-1）分钟。

所以41×（x-1）=20×（2x-1）?

圯x=21次，实际采样次数为42次。

此题答案为C。

例题2：

五年级学生分成两队参加广播操比赛，排成甲、乙两个实心方阵，其中甲方阵最外层每边的人数为8。

如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵最外层每边的人数比乙方阵最外层每边的人数多4人，且甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。

五年级一共有多少人?

A.200B.236C.260D.288

【解析】空心的丙方阵人数=甲方阵人数+乙方阵人数，若丙方阵为实心的，那么实心的丙方阵人数=2×甲方阵人数+乙方阵人数，即实心丙方阵比乙方阵多82×2=128人。

丙方阵最外层每边比乙方阵多4人，则丙方阵最外层总人数比乙方阵多4×4=16人，即多了16÷8=2层。

这两层的人数即为实心丙方阵比乙方阵多的128人，则丙方阵最外层人数为（128+8）÷2=68人，丙方阵最外层每边人数为（68+4）÷4=18人。

那么，共有182-82=260人。

此题答案为C。

例题3：

假设某地森林资源的增长速度是一定的，且不受到自然灾害等原因影响。

那么若每年开采110万立方米，则可开采90年，若每年开采90万立方米则可开采210年。

为了使这片森林可持续开发，则每年最多开采多少万立方米林木?

（）

A.30B.50C.60D.75

【解析】牛吃草问题变形森林每年再生（90×210-110×90）-（210-90）=75万立方米。

如果每年开采的资源超过再生的数量，森林就慢慢减少，无法保证可持续开发。

此题答案为D。

例题4：

某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件支付工资，工人每做出一个合格零件能得到工资10元，每做一个不合格零件将被扣除5元，已知某人一天共做了12个零件，得工资90元，那么他在这一天做了多少个不合格零件?

A.2B.3C.4D.6

【解析】得失问题，求“失”，应当采用“设得求失”的思路。

做出一个合格零件得10元，做出一个不合格零件损失10+5=15元。

若12个零件都合格，那么这个人可以得到12×10=120元，可现在只得了90元，说明做了（120-90）÷15=2个不合格的零件。

此题答案为A。

释义：

分合法就是利用分与合两种不同的思维解答数学运算的方法。

所谓“分”，就是将一个问题拆分成若干个小问题，然后从局部来考虑每个小问题;所谓“合”，就是把若干问题合在一起，从整体上思考这些问题。

也就是说，“分”就是局部考虑，是拆分;“合”是整体考虑，是整合。

分合法一般适用于排列组合与概率问题、解方程等。

分合法常用的两种思路为分类讨论和整体法。

（一）分类讨论

分类讨论，是指当不能对问题所给的对象进行统一研究时，需要对研究对象按某个标准进行分类，逐类研究，最后将结论汇总得解的方法。

在进行分类讨论时，要注意分类标准统一，分类情况不遗漏、不重复，不越级讨论。

分类讨论与加法原理经常一起使用，一般是多种情况分类讨论以后，再利用加法原理求出总的情况数。

（二）整体法

整体法与分类讨论正好相反，它强调从整体上来把握变化，而不是拘泥于局部的处理

整体法有两种表现形式：

1.将某一部分看成一个整体，在问题中总是一起考虑，而不单独求解;

2.不关心局部关系，只关心问题的整体情况，直接根据整体情况来考虑关系。

这种形式经常用于平均数问题。

例题：

某班级去超市采购体育用品时发现买4个篮球和2个排球共需560元，而买2个排球和4个足球则共需500元。

问如果篮球、排球和足球各买1个，共需多少元?

A.250元B.255元C.260元D.265元

【解析】设篮球、排球、足球单价为x、y、z，则4x+2y=560,2y+4z=500。

两式相加得4（x+y+z）=1060，x+y+z=265，此题答案为D。

例题：

有两只相同的大桶和一只空杯子，甲桶装牛奶，乙桶装糖水，先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶，再从乙桶取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶，请问，此时甲桶内的糖水多还是乙桶内的牛奶多?

A.无法判定B.甲桶糖水多

C.乙桶牛奶多D.一样多

【解析】这道题没有具体的数据，只有两次不定量的操作，若通过假设桶和杯子的容积，然后根据溶液混合的公式正常求解，是不可行的。

利用整体思想中的初末态法，问题会变得很简单。

问题的核心是初末态物质的量——都有一桶牛奶和一桶糖水。

初态：

甲，一桶牛奶;乙，一桶糖水

末态：

甲，甲中牛奶+甲中糖水=一桶①

乙，乙中牛奶+乙中糖水=一桶②

由于初末态总量相同，因此有：

甲中糖水+乙中糖水=一桶③

对比②和③得到，甲中糖水=乙中牛奶，即甲桶内的糖水和乙桶内的牛奶一样多。

此题答案为D。

例题3：

一名外国游客到北京旅游。

他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息;要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都呆在旅馆里。

期间，不下雨的天数是12天，他上午呆在旅馆的天数为8天，下午呆在旅馆的天数为12天，他在北京共呆了（）。

A.16天B.20天C.22天D.24天

【解析】不下雨的天数是12天，则有12个半天出去游玩。

在旅馆的天数为8+12=20个半天，故总天数为12+20=32个半天，即16天。

和差倍比问题是研究不同量之间的和、差、倍数、比例关系的数学应用题，在数学运算中比较容易理解。

但此类问题对计算速度和准确度要求较高，考生在平时复习中，应注意培养自己的速算能力。

中公教育专家认为，按照考查形式，和差倍比问题可以分成两大类：

即和差倍的数量关系和比例关系。

其中利用比例问题的基本公式，还可以帮助解决隐含对应比例关系的行程、工程问题。

一、明确和差倍的数量关系

和差倍问题并没有统一的背景概念，通常题干叙述一些条件之间的关系，包括：

和倍、差倍、和差关系三种。

1.和倍关系：

已知两数之和与它们之间的倍数关系，求这两个数。

和÷（倍数+1）=较小数

【示例1】师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个?

中公解析：

根据题意，徒弟加工的少，可将徒弟的看成1倍量。

画出示意图：

从图上可以看出，如果师傅少加工5个，则两人加工的总数少5个，变为100个，这时是整数倍，一共有1+3=4倍。

1倍量=100÷4=25，即徒弟加工了25个。

师傅加工了105-25=80个。

2.差倍关系：

已知两数之差与它们之间的倍数关系，求这两个数。

差÷（倍数-1）=较小数

【示例2】两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，则第一块花布原有多少米?

中公解析：

已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多。

将第一块剩下的看成1倍量，画出示意图：

所剩的布第二块比第一块多31-19=12米。

又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，根据差倍公式，差÷（倍数-1）=1倍量，可知第一块所剩布的长度为12÷（4-1）=4米，则第一块布原有4+31=35米。

3.和差关系：

已知两数之和与差，求这两个数。

（和+差）÷2=较大数（和-差）÷2=较小数

【示例3】甲班和乙班共有图书160本，且甲班的图书比乙班多20本，甲乙两班各有多少本图书?

中公解析：

乙班书较少，将乙班的书看成1倍量，则甲班的书减20本等于1倍量，从而有1+1=2倍量=160-20，所以1倍量为（160-20）÷2=70，即乙班有图书70本。

也可将甲班的书看成1倍量，则乙班的书+20本=1倍量，从而1+1=2倍量=160+20，所以1倍量为（160+20）÷2=90本，即甲班有图书90本。

二、比例问题

比例问题是指分量与总量的比较，或者是分量之间的比较。

因此，解决比例问题的关键是找准各分量、总量以及分量与总量之间的比例关系，再根据对应的公式进行求解。

基本公式：

分量÷总量=所占比例，分量÷所占比例=总量，分量=总量×所占比例

解题时，需注意两点：

（1）题干中，如果有明显的等量关系，且算术方法思路复杂时，可用方程法去解。

设未知数时，要注意结合比例关系，避免分数的出现。

（2）根据题干数字特征，尤其是遇到含分数、百分数的题，可结合选项排除。

【例题1】

中公解析：

此题答案为A。

【例题2】甲、乙、丙、丁四个队共同植树造林，甲队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的，乙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的，丙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的一半。

已知丁队共造林3900亩，问甲队共造林多少亩?

A.9000B.3600C.6000D.4500

中公解析：

此题答案为B。

三、在行程、工程问题中的应用

解决与工程、行程问题相结合的比例问题时，需要利用工程、行程问题中的相关知识，找出其中隐含的比例与对应量之间的关系，再利用比例问题的公式解题。

【例题3】师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。

完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件?

A.200B.400C.500D.600

公务员考试行测考试中的方程问题一般分为两类，一类是定方程，即方程个数等于未知数;而另一种叫做不定方程，即未知数的个数多于方程个数。

其中，不定方程问题的解法繁多，比如利用数奇偶性，质合性、尾数法、范围法、整数特性等各种方法来求解不定方程，在行测考试中，最常出现的是二元一次补丁方程，其形式一般表现为：

ax+by=c。

今天中公教育专家就利用奇偶性解不定方程来为大家进行举例说明。

要想利用奇偶性来解题首先要了解数的奇偶性，比如在加法运算中，奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数。

在乘法运算中，奇数*奇数=奇数，奇数*偶数=偶数，偶数*偶数=偶数中公教育。

例题1：

某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人，平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。

后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?

A.36B.37　C.39D.41

【参考答案】D。

【中公解析】设每位钢琴老师带x人，拉丁老师带y人，根据题意得：

5x+6y=76，首先根据奇偶特性知x必为偶数，而且题目中要求x是质数，而2是所有质数里唯一的偶数，所以x=2，代入解得y=11，因此还剩学员4×2+3×11=41（人）offcn版权。

例题2：

超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。

问两种包装盒相差多少个?

（）

A.3B.4C.7D.13

【参考答案】D。

【中公解析】设大盒x个，小盒y个，根据题意得12x+5y=99，根据奇偶法，12x是偶数，那么5y是一个奇数，那么y只能是1、3、5这些数，代入方程中我们发现只有下面两组值满足要求：

所以选择D。

例题3：

小李用150元钱购买了16元一个的书包、10元一个的计算器和7元一支的钢笔寄给灾区儿童。

如果他买的每一样物品数量都不相同，书包数量最多而钢笔最少，那么他买的计算器数量比钢笔多几个?

（）

A.1B.2C.3D.4

【参考答案】B。

【中公解析】由题得：

16x+10y+7z=150，根据奇偶特性，z只能是偶数，又因为钢笔最少，所以假设z=2，那么7z的尾数为4,10y的尾数为0，所以判断16x的尾数为6，故得：

x=6，进而得到y=4，完全符合题意，所以计算器比钢笔多4-2=2个。

选择B选项。

以上就是中公教育专家讲解的奇偶特性在解不定方程题中的应用，有时候奇偶性在使用的时候不会单独使用，会结合尾数法、范围法一起使用，所以希望考生在备考复习中多多练习，熟练掌握这几种方法。