复习误差 有效数字 长度的测量.docx

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复习误差有效数字长度的测量

讲义编号：

一、误差和有效数字

1．实验误差：

误差：

测量值与真实值的差异叫做误差．

根据误差产生的来源（原因）不同，误差可分成系统误差和偶然误差两种．从计算分析数据看，误差分为绝对误差和相对误差．

（1）系统误差和偶然误差

①系统误差：

是由于仪器本身不精密（如天平两臂不严格相等或砝码不准）、或实验方法粗略（如做热学实验未考虑散热损失）、或实验原理不完善而产生的．

②偶然误差：

是由于各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的．

（2）绝对误差和相对误差

①绝对误差：

测量值与真实值之差（取绝对值），反映测量值偏离真实值的大小．

②相对误差：

等于绝对误差与真实值之比（通常用百分数表示），反映测量结果的准确程度．

2．有效数字

（1）定义：

有效数字是带有一位不可靠数字的近似数字叫有效数字，因为测量总有误差，测得的数值只能是近似数字，如用带毫米刻度的尺子量得某书本长184.2mm，最末一位数字“2”是估读出来的，是不可靠数字，但仍有意义，一定要写出来．

（2）有效数字位数的确定：

①从左往右数，从第一个不为零的数字起，数到右边最末一位估读数字为止，包括末位为零的数字都是有效数字．如1.006m、21.60m均为四位有效数字．②有效数字的位数与小数点的位置无关，如21.65cm、0.2165m均为四位有效数字．③乘方不算有效数字，如3.6×103kg是两位有效数字.5400m与5.4×103m所表示的有效数字位数是不同的，前者为四位有效数字，而后者为两位有效数字；所表示的意义也不相同，前者末位的“0”是估读的，后者“4”是估读的；前者所用的测量工具的最小单位为10m，后者所用的测量工具的最小单位为1000m.

④注意：

作为有效数字的“0”，无论是在数字的中间，还是在数字的末尾，均不能随意省略．例如：

1.0cm和1.00cm的意义是不同的，1.0cm为两位有效数字，1.00cm为三位有效数字；两者的误差也不同，前者cm为准确位，mm为估读位，后者mm为准确位，mm的十分位为估读位，因此其准确度也不同．

（3）有效数字的读数规则：

①有些测量工具能直接读出最小分度的准确数，不需要估读，也不需要在有效数字末位补“0”．如游标卡尺、机械秒表、电阻箱等．

②最小分度是“1”的仪器，测量误差出现在下一位，应按最小分度的

估读．如最小刻度为1mm的刻度尺，测量误差出现在mm的十分位上，估读到十分之几毫米．③最小分度是“2”或“5”的仪器，测量误差出现在同一位上，应按最小分度的

或

估读．如：

学生使用电流表的0.6A量程时，最小分度为0.02A，误差出现在电流的百分位上，只需读到电流的百分位，即只需估读半小格，不足半小格的舍去，超过半小格的按半小格估读．

二、刻度尺和游标卡尺的使用

1．刻度尺的使用

测量时直尺应与被测部分平行，读数时应估读一位，即最小刻度的下一位．

【特别提醒】要使刻度尺的刻度线紧贴被测物体，眼睛应正对刻度线读数，以避免视差．

2．游标卡尺

①构造：

主要部分是主尺和可以沿着主尺滑动的游标尺，也称游标．如图所示．

②用途：

在图中，上边是内测量爪，用来测槽宽或管的内径，下边是外测量爪，用来测物体的厚度或管的外径，深度尺和游标尺固定在一起可以沿主尺滑动，用来测量深度．

③原理：

常见的游标尺按游标尺刻度的格数分成以下三种.

游标尺（mm）

精度（mm）

测量结果（游标尺上第n个格与主尺上的刻度线对齐时）（mm）

刻度格数

刻度总长度

每小格与1毫米差

10

20

50

9

19

49

0.1

0.05

0.02

0.1

0.05

0.02

主尺上读的毫米数＋0.1n

主尺上读的毫米数＋0.05n

主尺上读的毫米数＋0.02n

上表可用公式表示为s＝L＋n·A，式中s为被测物体长度的测量值，L为主尺读数，A为游标卡尺的精确度，n为游标上与主尺重合的第n条刻度线．

④注意事项：

1）对游标尺的末位数不要求再作估读，如遇游标尺上没有哪一根刻度线与主尺刻度线对齐的情况，则选择靠最近的一根线读数．有效数字的末位与游标卡尺的精确度位对齐．

2）测量物不可在钳口间移动或压得太紧，以免磨损钳口或损坏工件．

3）测量物上被测距离的连线必须平行于主尺．

4）读数时，在测脚夹住被测物后适当旋紧紧固螺钉．

三、螺旋测微器的使用

1．螺旋测微器主要构造的名称：

如图所示，①测砧、②测微螺杆、③固定刻度、④可动刻度、⑤旋钮、⑥微调旋钮、⑦尺架．

2．螺旋测微器的工作原理：

固定刻度上的最小刻度为0.5mm（在中线的上侧）；可动刻度每旋转一圈前进（或后退）0.5mm.在可动刻度的一周上平均刻有50条刻线，所以相邻两条刻线间表示0.01mm.即精度为0.01mm.

3．使用时注意事项

在使用时②快要接触被测物体时，要停止使用旋钮⑤，改用微调旋钮⑥，这样就不至于在①②和被测物体间产生过大的压力，可以保护仪器又能保证测量结果的准确．

考点1.游标卡尺的读数

1.读数原理

（1）先读整数部分：

整数部分由主尺上读得，即游标尺零刻度线在主尺的多少毫米刻度线的右边，该毫米刻度就是应读得的以毫米为单位的整数部分L.

（2）再读小数部分：

小数部分由游标尺上第n条刻度线与主尺上某一刻度线对齐后读出，即游标卡尺的精确度k·n＝读出的小数部分（可记为通式k·n）．

（3）测量值为上述两部分读数之和，并按有效数字的规则记录，通用公式可写为s＝L＋k·n.

【例1】　有一游标卡尺，主尺的最小分度是1mm，游标上有20个小的等分刻度．现用它测量一工件长度，如图所示，其示数为__________________mm.

【解析】　一般读法是先读出整数毫米，再看游标尺上哪条刻度线与主尺上某条刻度线对齐，乘以精确度得出读数的小数部分，然后相加即可．本题解析使用上面介绍的新的读数方法．

①游标上一格长

mm，精度为0.05mm；

②对齐刻度线为游标上第1条（0除外）；

③主尺零刻度线到对齐线：

L1＝10.5cm＝105mm

游标零刻度线到对齐线：

L2＝1×

mm

所以L＝L1－L2＝105mm－

mm＝104.05mm.

【答案】　104.05

【反思】　这种办法简单易行，易于接受，但一定别忘了检验．

变式探究1

（1）某实验中需要测量一根钢丝的直径（约0.5mm）．为了得到尽可能精确的测量数据，应从实验室提供的米尺、螺旋测微器和游标卡尺（游标尺上有10个等分刻度）中，选择____________进行测量．

（2）用游标卡尺（游标尺上有50个等分刻度）测定某工件的宽度时，示数如下图所示，此工件的宽度为______mm.

【解析】　

（1）米尺的精确度为1mm，可以估读到0.1mm，测量范围较大，为0～1000mm.螺旋测微器的精确度为0.01mm，可以估读到0.001mm，测量范围较小，一般只有0～几十毫米．游标卡尺（10等分刻度）的精确度为0.1mm，测量范围一般为0～200mm；要尽可能准确地测量一根钢丝的直径，选用螺旋测微器最合适．

（2）游标卡尺的游标尺上有50个等分刻度，其总长度为49mm，因此每格与主尺上每一小格相差1/50mm，即精度为0.02mm.若游标尺上的0刻线自主尺上的某刻线向后移m格，第n条刻线与主尺上某刻线对齐，则说明游标尺共向后移了（m＋n×1/50）mm.现游标尺上0刻线之前的整数读数为23mm，而游标尺上的第11条刻线与主尺上某刻线对齐，则读数应为23mm＋11×0.02mm＝23.22mm.

【答案】　

（1）螺旋测微器　

（2）23.22

考点2.螺旋测微器的读数

螺旋测微器的读数

1．读数时，从固定刻度上读取整、半毫米数．要注意固定刻度尺上表示半毫米的刻线是否已露出，如果已经露出，则从固定刻度上读出整毫米数＋0.5mm.

2．然后从可动刻度上读取剩余部分．由于可动刻度是10分度，所以在最小刻度后必须再估读一位．因为要估计一位读数，所以以毫米为单位时读数的小数点后应有3位，其中最后1位是估读值．

3．再把上述两部分读数相加，得测量值．

【例2】　图中各螺旋测微器的读数为_______________________________________________：

【解析】　从左到右读数依次为：

9mm＋21.5×0.01mm＝9.215mm；

9．5mm＋19.7×0.01mm＝9.697mm；

6mm＋21.1×0.01mm＝6.211mm.

【答案】　9.215mm　9.697mm　6.211mm

变式探究2（2008·高考全国卷Ⅱ）某同学用螺旋测微器测量一铜丝的直径，测微器的示数如图所示，该铜丝的直径为__________mm.

【解析】　螺旋测微器的读数＝固定刻度＋可动刻度×0.01mm得出（读数时要注意固定刻度的半毫米刻度线是否露出，可动刻度要估读一位）．由本题图可得铜丝直径，即螺旋测微器读数＝（4.5＋9.3×0.01）mm＝4.593mm

【答案】　4.593（4.592或4.594也可）

【反思】　螺旋测微器读数分两步：

第一步是读固定刻度，要注意0.5mm刻度线是否露出．第二步读可动刻度值，要估计到毫米的千分位.

考点3.创新实验设计

【例3】　在一些实验中需要较准确地测量物体转过的角度，为此人们设计了一个可转动的圆盘，在圆盘的边缘标有刻度（称为主尺），圆盘外侧有一个固定不动的圆弧状的游标尺，如右图所示（图中画出了圆盘的一部分和游标尺）．圆盘上刻有对应的圆心角，游标尺上把与主尺上9°对应的圆心角等分为10格．根据图中所示的情况读出此时游标尺上的零刻度线与圆盘的零刻度线之间所夹的角度为____________．

【解析】　本题是在实验“练习使用游标卡尺”的基础上进行拓宽、创新的一道实验信息题，解题的关键是在理解游标卡尺的原理及读数方法的基础上进行情景迁移．因为游标尺上把与主尺上9°对应的圆心角等分为10格，所以，将精确度为0.1mm的游标卡尺的原理和读数方法迁移到这里，就可得到该游标尺的精确度为d′＝（1/10）°＝0.1°，主尺上的整数部分为19°，游标尺上的第7条刻度线与主尺上的第26条刻度线相重合，则其小数部分为7×0.1°＝0.7°，故总的读数为19°＋0.7°＝19.7°.

【答案】　19.7°

1．用精密方法测得某工件长度为1.63812cm，若用毫米刻度尺测该工件的长度为__________________cm；用游标为10分度的游标卡尺测出它的长度，示数为__________________cm；用螺旋测微器测出它的长度，示数为__________cm.

【解析】　毫米刻度尺可以估读到0.1mm,10分度游标卡尺，可读到0.1mm，螺旋测微器可估读到0.001mm.测量结果为1.64,1.64,1.6381

【答案】　1.64　1.64　1.6381

2．有一种游标卡尺，它的主尺最小分度是1mm，游标上有50个等分刻度，此游标尺的总长是__________mm，用这种游标卡尺测长度时可以准确到__________mm，用此尺测铁球直径时，游标尺零刻线在2.2cm到2.3cm两刻度线之间，游标尺的第19条刻度线与主尺上某条线对齐，则此球的直径为__________cm.

【答案】　49　0.02　2.238

3.用螺旋测微器测一小球的直径，结果如图所示，则球的直径为__________mm

【解析】　2.5mm＋19.8×0.01mm＝2.698mm

【答案】　2.698

1．关于测量，下列说法错误的是（　　）

A．测量长度要有估计数字，估计数字的位数越多，误差就越小

B．在记录测量结果时，只写数值，不写单位是毫无意义的

C．记录测量的结果，所用单位不同时，不会影响测量结果的准确程度

D．为了减小误差，进行任何一个测量，都要采取多次测量求平均值的方法

【解析】　估计数字只有一位，故选项A错．

【答案】　A

2．用某刻度尺测得的某物体的长度为0.623m，则该工具的精确度为（　　）

A．1m　　　B．0.1m　　　C．0.01m　　　D．0.001m

【解析】　据读数规则，最后一位为估读，可知精确度为0.01m.

【答案】　C

3．准确度为0.1mm的游标卡尺，游标卡尺刻度总长度为9mm，若其最末一个刻度线与主尺的44mm刻度线对齐，则游标尺的第5条刻度线所对着的主尺刻度为（　　）

A．35.0mmB．39.5mmC．43.4mmD．35.4mm

【解析】　游标尺上每刻度为0.9mm，第5条刻线与最末一条刻线的距离为0.9×5＝4.5mm，所以第5条刻线对齐的是与44mm差4.5mm的刻度，故为39.5mm.

【答案】　B

4．以千米为单位记录的某次测量结果为5.4km，若以米为单位记录这一结果，可写为（　　）

A．5400mB．5.4×103m

C．5.4×10－3mD．5.400×103m

【解析】　在一次测量中，有效数字的位数是确定的，不受所采用的单位的影响，在进行单位变换时要保证有效数字的位数不变．

【答案】　B

5．现用最小分度为1mm的米尺测量金属丝长度，如图所示，图中箭头所指位置是拉直的金属丝两端在米尺上相对应的位置，测得的金属丝长度为________mm.在测量金属丝直径时，如果受条件限制，身边只有米尺1把和圆柱形铅笔1支．如何较准确地测量金属丝的直径？

请简述测量方法：

【解析】　本题主要考查毫米刻度尺的读数；放大法测量物体的长度．本题是一道考查考生基本素质的基础题目．

观察本题图示，注意金属丝的起点不在“0”处，所以测得金属丝的长度为：

982.0mm－10.0mm＝972.0mm

由于一根金属丝的直径太小，用mm刻度尺不易测量，故采用放大法测量：

在铅笔上紧密排绕N匝金属丝，用毫米刻度尺测出该N匝金属丝的长度D.由此可以算出金属丝的平均直径为D/N.

【答案】　见解析

6．在“用单摆测重力加速度”的实验中，先用刻度尺测出悬点到小球底端的长度如右图所示，则悬线和小球直径的总和为____________厘米．

【解析】　测量时，悬点与刻度尺零刻度对齐，此时三角尺直角点对应的刻度x＝88.38cm，即悬线和小球直径的总和为88.38cm.

【答案】　88.38

7．一种游标卡尺，它的游标尺上有50个小的等分刻度，总长度为49mm.用它测量某物体长度，卡尺示数如下图所示，则该物体的长度是____________cm.

【解析】　该游标卡尺的精确度为

mm＝0.02mm，所以其读数为41mm＋10×0.02mm＝41.20mm＝4.120cm.

【答案】　4.120

8．一游标尺为10等分，游标卡尺上的读数为5.7mm，则游标尺上第__________条刻度线与主尺上第__________________mm刻度对齐．

【解析】　据游标尺10等分的原理可知：

游标的零刻度线在主尺5mm再向后延0.7mm,0.7mm的读数是第7游标的刻线与主尺上面某一刻线对齐，7个游标的刻线的实际长度7×0.9＝6.3mm，再加上前面后延的0.7mm，实际总长为7mm，故游标尺上第7条刻度线与主尺上第12mm刻度对齐．

【答案】　7　12

【反思】　由记录数据推算刻线对齐问题，可作一般性推导：

若记录数为X、Y，则Y＝精确度×n，解出的n为游标尺上第几条刻度线与主尺上某刻度对齐．主尺上的刻度线为X＋n.

9．（2009·宁夏高考）某同学用游标卡尺测量一圆柱体的长度l，用螺旋测微器测量该圆柱体的直径d，示数如图所示，由图可读出l＝____________cm，d＝____________cm.

【解析】　该游标尺的精度为0.1mm，所以其读数为22mm＋0.1×5mm＝22.5mm＝2.25cm.

该螺旋测微器的读数为6.5mm＋0.01×36.0mm＝6.860mm.

【答案】　2.25　6.860

10．

（1）有一种在工厂实际使用的游标卡尺如图甲所示，它是普通游标卡尺的变形．它把普通游标卡尺两个卡脚改成了斜的．两个斜卡脚与主尺都成126°52′12″（图中的∠DAC＝∠EBC＝126°52′12″），已知tan63°26′06″＝2.000，其他部分未作改动，这种卡尺专门用来测量圆柱形或球形工件的外径．两个斜卡脚之间不放被测工件时，游标尺的“0”刻线恰与主尺的“0”刻线对齐，图甲中的A、B两点重合．两个斜卡脚之间放上被测圆柱形或球形工件，使工件与主尺、两斜卡脚都相切，即共有三个切点，如图中的D、C、E.如图所示，游标卡尺的读数为____________mm，被测圆形工件的直径为____________mm.

（2）如果用螺旋测微器测一圆形工件的读数如图乙所示，读数为____________mm.

【解析】　

（1）游标卡尺的读数为12mm＋0.05×6mm＝12.30mm.如图所示，tanθ＝R/d＝tan63°26′06″＝2.000，所以R＝2d＝AB,20分度游标卡尺的读数等于AB间距离，所以被测圆形工件的直径为24.60mm.

（2）螺旋测微器的读数为4mm＋0.01×10.0mm＝4.100mm

【答案】　

（1）12.30　24.60　

（2）4.100

11．（2009·河北石家庄）

（1）测量玻璃管内径时，应该用如图（甲）中游标卡尺的A、B、C三部分的________部分来进行测量（填代号）．

（2）图（乙）中玻璃管的内径d＝________mm.

【解析】　

（2）5mm＋5×0.05mm＝5.25mm.

【答案】　

（1）A　

（2）5.25

12．（2008·高考四川理综卷）一水平放置的圆盘绕过其圆心的竖直轴匀速转动，盘边缘上固定一竖直的挡光片．盘转动时挡光片从一光电数字计时器的光电门的狭缝中经过，如图甲所示．乙为光电数字计时器的示意图．光源A中射出的光可照到B中的接收器上，若A、B间的光路被遮断，显示器C上可显示出光线被遮住的时间．

挡光片的宽度用螺旋测微器测得，结果如图丙所示．圆盘直径用游标卡尺测得，结果如图丁所示，由图可知

（1）挡光片的宽度为________mm；

（2）圆盘的直径为________cm；

（3）若光电数字计时器所显示的时间为50.0ms，则圆盘转动的角速度为________弧度/秒（保留3位有效数字）．

【解析】　

（1）螺旋测微器的固定尺上读数为10mm.可动尺上的读数为24.3，其中最后一位是估读数字，其大小

读2、3、4都正确．螺旋测微器的精确度为0.01mm，则挡光片宽度为L＝10mm＋24.3×0.01mm＝10.243mm.

（2）游标卡尺为20分度，其精确度为0.05mm.固定尺读数为242mm.游标尺读数为4，圆盘直径R＝242mm＋4×0.05mm＝242.20mm＝24.220mm.

（3）因显示时间t＝50.0ms，则转动角速度

ω＝

＝

≈1.69rad/s.

【答案】　

（1）10.243　

（2）24.220　（3）1.69

13．有一根横截面为正方形的薄壁管（如图所示），现用游标为20分度（测量值可准确到0.05mm）的游标卡尺测量其外部的边长l，卡尺上部分刻度的示数如下图甲所示；用螺旋测微器测得其壁厚d的情况如下图乙所示．则此管外部横截面边长的测量值为l＝_______cm；管壁厚度的测量值为d＝________mm.

【答案】　2.440　1.000

15．某同学使用20分度的游标卡尺测量一物体的尺寸，而另一同学却故意遮挡住了一部分刻度，使其只能看到游标卡尺的后半部分，如图所示，问该同学还能得到的物体的尺寸大小吗？

说说你的观点．

【答案】　能得到物体的尺寸大小．

由图可知，游标尺的第7条刻度线与主尺上2.7cm的刻度线正好对齐，而20分度游标尺每一刻度的长度为0.95mm，故7个刻度的总长度为7×0.95mm＝6.65mm，游标尺上“0”刻度线所对主尺的长度即为测量值，l测＝27mm－6.65mm＝20.35mm.