最新新北师大版八年级下册数学教案名师优秀教案.docx
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最新新北师大版八年级下册数学教案名师优秀教案
新北师大版八年级下册数学教案
第一章三角形的证明
1.等腰三角形
（一）
一、教学目标如:
1（知识目标:
理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理;熟悉证明的基本步骤和书写格式。
2（能力目标:
经历―探索,发现,猜想,证明‖的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力;
3（情感与价值目标:
启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系;
二（教学重、难点
重点:
探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法;
难点:
明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
三、教学过程分析
第一环节:
回顾旧知导出公理
请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实。
其中证明三角形全等的有以下三条:
.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）;
.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）;
三边对应相等的两个三角形全等（SSS）;
在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件:
1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明;
2.回忆全等三角形的性质。
AD
已知:
如图，?
A=?
D,?
B=?
E,BC=EF.
求证:
?
ABC?
?
DEF.
BEFC证明:
?
?
A=?
D,?
B=?
E（已知），
又?
A+?
B+?
C=180?
，?
D+?
E+?
F=180?
（三角形内角和等于180?
），
?
?
C=180?
-（?
A+?
B），
?
F=180?
-（?
D+?
E），
?
?
C=?
F（等量代换）。
又BC=EF（已知），?
?
ABC?
?
DEF（ASA）。
第二环节:
折纸活动探索新知
提问:
―等腰三角形有哪些性质,如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗,并根据
1
折纸过程，得到这些性质的证明吗,‖
第三环节:
明晰结论和证明过程
让学生明晰证明过程。
（1）等腰三角形的两个底角相等;
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合第四环节:
随堂练习巩固新知
第五环节:
课堂小结
第六环节:
布置作业
四、教学反思
1.等腰三角形
（二）
一、教学目标:
（知识目标:
探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步1
骤和书写格式，体会证明的必要性;
2（能力目标:
?
经历―探索,发现,猜想,证明‖的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延
续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力;
?
在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能
力，提高学生学习的主体性;
?
在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质:
对称性，发展学生的几何直觉;
3（情感与价值观要求?
鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲（
?
体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性（
二（教学重、难点
重点:
经历―探索——发现一一猜想——证明‖的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论（
三、教学过程分析
第一环节:
提出问题，引入新课
在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗?
你能证明
你的结论吗?
例1证明:
等腰三角形两底角的平分线相等
2
已知:
如图，在?
ABC中，AB=AC，BD、CE是?
ABC的角平分线（
求证:
BD=CE（A
证明:
?
AB=AC，
?
?
ABC=?
ACB（等边对等角）（DE
11?
?
1=?
ABC，?
2=?
ABC，224321?
?
1=?
2（CB
在?
BDC和?
CEB中，
?
ACB=?
ABC，BC=CB，?
1=?
2（
?
?
BDC?
?
CEB（ASA）（
?
BD=CE（全等三角形的对应边相等）
第三环节:
经典例题变式练习
活动内容:
提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等,并在
学生思考的基础上，研究课本―议一议‖:
—4的等腰三角形ABC中，在课本图1
11
（1）如果?
ABD=?
ABC，?
ACE=?
ACB呢?
由此，你能得到一个什么结论?
34
1111
（2）如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?
如果AD=AC，AE=AB呢?
由此你得到什么结论?
2233
第四环节:
拓展延伸，探索等边三角形性质
活动内容:
提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质:
等边三角形
三个内角都相等并且每个内角都等于60?
.
已知:
ΔABC中，AB=BC=AC（
求证:
?
A=?
B=?
C=60?
.
证明:
在ΔABC中，?
AB=AC，?
?
B=?
C（等边对等角）（
同理:
?
C=?
A，?
?
A=?
B=?
C（等量代换）（
又?
?
A+?
B+?
C,180?
（三角形内角和定理），?
?
A=?
B=?
C,60?
（
第五环节:
随堂练习及时巩固
第六环节:
探讨收获课时小结
课外作业
四、教学反思
3
1.等腰三角形（三）
一（教学目标:
1（探索等腰三角形判定定理（
2（理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明（
3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。
4.培养学生的逆向思维能力。
二（教学过程分析
第一环节:
复习引入
活动过程:
通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。
问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么,这个命题的题设和结论分别是什么,
问题2.我们是如何证明上述定理的,
问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么,如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等,
第二环节:
逆向思考，定理证明
A教师:
上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以―反过来‖思考问题，这也是获得数学结论的一条途径（例如―等边对等角‖，反过来成立吗?
在?
ABC中，?
B=?
C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了（你BC是怎样构造的,
第三环节:
巩固练习
例2已知:
如图，?
CAE是?
ABC的外角，AD?
BC且?
1=?
2（
1AD求证:
AB=AC（2
证明:
BC第四环节:
适时提问导出反证法
我们类比归纳获得一个数学结论，―反过来‖思考问题也获得了一个数学结论（如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?
我们一起来―想一想‖:
A
小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的
边也不相等（你认为这个结论成立吗?
如果成立，你能证明它吗?
我们来看一位同学的想法:
BC
4
如图，在?
ABC中，已知?
B?
?
C，此时AB与Ac要么相等，要么不相等（
假设AB=AC，那么根据―等边对等角‖定理可得?
C=?
B，但已知条件是?
B?
?
C（―?
C=?
B‖与已知条件―?
B?
?
C‖相矛盾，因此AB?
AC
你能理解他的推理过程吗?
再例如，我们要证明?
ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设?
A=90?
，?
B=90?
，可得?
A+?
B=180?
，但?
AB?
A+?
B+?
C=180?
―?
A+?
B=180?
‖与―?
A+?
B+?
C=180?
‖相矛盾，因此?
ABC中不可能有两个直角（
引导学生思考:
上一道面的证法有什么共同的特点呢?
引出反证法。
都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立（这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法（
第五环节:
拓展延伸
现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数?
第六环节:
课堂小结
课外作业
教学反思:
1.等腰三角形（四）
一、教学目标:
1（知识目标:
理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。
2（能力目标:
?
经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程
?
经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力;
3（情感与价值观要求:
?
积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲（
?
在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
二（教学重难点
重点?
等边三角形判定定理的发现与证明.
?
含30?
角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
5
教学难点:
含30?
角的直角三角形性质定理的探索与证明.
三、教学过程分析
第一环节:
提问问题，引入新课
回顾等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题:
等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢,又如何判别一个三角形是等腰三角形呢,从而引入新课。
第二环节:
自主探索
活动内容:
学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表:
性质判定的条件
等腰三角形（含等边对等角等角对等边
等边三角形）―三线合一‖即等腰三角形顶角平分线，底有一角是60?
边上的中线、高互相重合
等边三角形三个角都相等，且每个角都是三个角都相等的三角形是等边三角
60?
形
第三环节:
实际操作提出问题
提出问题:
用含30?
角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?
能拼出一个等边三角形吗?
在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论,说说你的理由（
定理:
在直角三角形中，如果一个锐角等于30?
，那么它所对的直角边等于斜边的一半（
已知:
如图，在Rt?
ABC中，?
C=90?
，?
BAC=30?
（
1求证:
BC=AB（2
A证明:
在?
ABC中，?
ACB=90?
，?
BAC=30?
?
B=60?
.
延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如图所示）（
?
?
ACB=90?
?
?
ACB=90?
?
AC=AC，?
?
ABC?
?
ADC（SAS）（
B?
AB=AD（全等三角形的对应边相等）（DC
?
?
ABD是等边三角形（有一个角是60?
的等腰三角形是等边三角
形）（
D11?
BC=BD=AB（22A
第四环节:
变式训练巩固新知
BC6
[例题]等腰三角形的底角为15?
，腰长为2a，求腰上的高CD的长.
解:
?
?
ABC=?
ACB=15?
?
?
DAC=?
ABC+?
ACB=15?
+15?
=30?
11?
CD=AC=×2a=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30?
，那么它所对的直角边等于斜边的一22
半）（
第五环节:
畅谈收获课时小结
第六环节:
布置作业
四、教学反思
2（直角三角形
（一）一、教学目标
1（知识目标:
（1）掌握直角三角形的性质定理及判定定理的证明方法。
（2）会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立（
2（能力目标:
（1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思
维（
（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力（
3（教学重点、难点
重点?
了解勾股定理及其逆定理的证明方法（?
了解逆命题的概念，识别两个互逆命题（
难点:
勾股定理及其逆定理的证明方法（
二、教学过程
1:
创设情境，引入新课
请同学们打开课本P18，阅读―读一读‖，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股
定理的方法（
2:
讲述新课
阅读完毕后，针对―读一读‖中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课
7
后阅读（
（1）（勾股定理及其逆定理的证明（
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（
反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出―这个三角形是直角三角形‖的结论（你能证明此结论吗?
222已知:
如图:
在?
ABC中，AB+AC,BC
求证:
?
ABC是直角三角形（
证明:
作Rt?
A′B′C′，使?
A′,90?
，A′B′,AB，A′C′、AC（如图），
22则A′B′，A′C′.（勾股定理）（
'222A?
AB，AC,BC，A′B′,AB，A′C′
22?
BC,B′C′
?
BC,B′C′'B'C
?
?
ABC?
?
A′B′C′（SSS）
?
?
A,?
A′,90?
（全等三角形的对应角相等）（
ABC是直角三角形（因此，?
勾股逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（
（2）（互逆命题和互逆定理（
观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?
通过观察，学生会发现:
上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件（
3:
议一议:
观察下面三组命题:
:
如果两个角是对顶角，那么它们相等（如果两个角相等，那么它们是对顶角（
如果小明患了肺炎，那么他一定发烧（如果小明发烧，那么他一定患了肺炎（
三角形中相等的边所对的角相等（三角形中相等的角所对的边相等（
不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件（
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题（
请同学们判断每组原命题的真假（逆命题呢?
在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题（在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题（在第三组中，原命题和逆命题都是真命题（
由此我们可以发现:
原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题（
8
4:
想一想
请学生写出―如果两个有理数相等，那么它们的平方相等‖的逆命题吗?
它们都是真命题吗,
5:
随堂练习
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;
（1）四边形是多边形;
（2）两直线平行，内旁内角互补;6:
课时小结
7:
课后作业
四、教学反思
2（直角三角形
（二）
一、教学目标:
1（知识目标:
?
能够证明直角三角形全等的―HL‖的判定定理，进一步理解证明的必要性
?
利用―HL’’定理解决实际问题
2（能力目标:
?
进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力二、教学过程分析
1:
复习提问
1.判断两个三角形全等的方法有哪几种,
2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。
想一想，怎么画,同学们相互交流。
3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗,如果其中一个角是直角呢,请证明你的
结论。
2:
引入新课
（1）（―HL‖定理（由师生共析完成
已知:
在Rt?
ABC和Rt?
A′B′C′中，?
C=?
C′=90?
，AB=A′B′，
'AABC=B′C′（
求证:
Rt?
ABC?
Rt?
A′B′C′
22证明:
在Rt?
ABC中，AC=AB一BC（勾股定理）（
22又?
在Rt?
A'B'C'中，A'C'=A'C'=A'B'一B'C'（勾股定理）（
'B'CBCAB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'（
?
Rt?
ABC?
Rt?
A'B'C'（SSS）（
定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（
9
这一定理可以简单地用―斜边、直角边‖或―HL‖表示（3:
例题学习
如图，在?
ABC?
?
A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是
C'C高，并且AC,A'C'，CD=C'D'（?
ACB=?
A'C'B'（
求证:
?
ABC?
?
A'B'C'（
AB''证明:
?
CD、C'D'分别是?
ABC?
A'B'C'的高（已知），'DABD
?
?
ADC=?
A'D'C'=90?
（
在Rt?
ADC和Rt?
A'D'C'中，
AC=A'C'（已知），
CD=C'D'（已知），
?
Rt?
ADC?
Rt?
A'D'C'（HL）（
?
A=?
A'，（全等三角形的对应角相等）（
在?
ABC和?
A'B'C'中，
?
A=?
A'（已证），
AC=A'C'（已知），
?
ACB=?
A'C'B'（已知），
?
?
ABC?
?
A'B'C'（ASA）（
6:
课时小结
7:
课后作业
四、教学反思
3（线段的垂直平分线
（一）
一、教学目标:
1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理（2（经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力（丰富对几何图形的认识。
3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果二（教学重点、难点
重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。
难点是垂直平分线的性质定理在实
际问题中的运用。
10
三、教学过程分析
第一环节:
性质探索与证明
定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知:
如图，直线MN?
AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点（
求证:
PA=PB（
M证明:
?
MN?
AB，
P?
?
PCA=?
PCB=90?
?
AC=BC，PC=PC,
ACB?
?
PCA?
?
PCB（SAS）（;N
?
PA=PB（全等三角形的对应边相等）（
第三环节:
逆向思维，探索判定
你能写出上面这个定理的逆命题吗?
它是真命题吗?
定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知:
线段AB，点P是平面内一点且PA=PB（
P求证:
P点在AB的垂直平分线上（
证明:
过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，
?
Rt?
PAC?
Rt?
PBC（HL定理）（ACB
?
AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上（
第四环节:
巩固应用
例1已知:
如图1-18，在?
ABC中，AB=AC，O是?
ABC内一点，且OB=OC.
求证:
直线AO垂直平分线段BC。
（
证明:
?
AB=AC，
?
点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
?
直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.第五环节:
随堂练习课本P23;习题1.7:
第1、2题
第六环节:
课堂小结:
通过这节课的学习你有哪些新的收获,还有哪些困惑,第七环节:
课后作业
四、教学反思
11
3（线段的垂直平分线
（二）
一、教学目标:
1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点
2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形（
3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力（体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识（
4.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果（
二（教学重点、难点
重点:
?
能够证明与线段垂直平分线相关的结论（
?
已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形（
难点:
证明三线共点。
三、教学过程分析
1:
求证:
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
已知:
在?
ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，A
CP（BP，
求证:
P点在AC的垂直平分线上（O
证明:
?
点P在线段AB的垂直平分线上，
?
PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）（CB
同理PB=PC（
?
PA=PC（
?
P点在AC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上）（
?
AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P（
2.引申拓展
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?
如果能，能
M作几个?
所作出的三角形都全等吗?
（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?
能A作几个?
3例题学习
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形（
已知:
线段a、hDBC
N12
求作:
?
ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法:
1（作BC=a;
2（作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D点;
3（以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点;
4（连接AB、AC
?
?
ABC就是所求作的三角形（如图所示）（
3.动手操作
（1）:
已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.
学生先独立思考完成，然后交流:
说出做法并解释作图的理由。
（2）拓展:
如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l的垂线，使它经过点P呢,说说你的作法，并与同伴交流.
5.随堂练习:
:
习题1.8第1、2题。
6.课时小结
本节课通过推理证明了―到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点‖的结论，并能根据此结论―已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形‖（
7.课后作业
四、教学反思
（角平分线
（一）
一、教学目标:
1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理（
2（进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言（转化为符号语言、图形语言的能力（
3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。
13
二.教学难点:
正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。
三、教学过程分析
1:
情境引入
提问:
还记得角平分线上的点的性质吗,你是怎样得到的,
即角平分线上的点到角两边的距离相等（
你能证明它吗?
2:
探究新知
（1）定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知:
如图，OC是?
AOB的平分线，点P在OC上，PD
?
OA，PE?
OB，垂足分别为D、E（A
D求证:
PD=PE（
证明:
?
?
1=?
2，OP=OP，P1O2C?
PDO=?
PEO=90?
，
?
?
PDO?
?
PEO（AAS）（
E
?
PD=PE（全等三角形的对应边相等）（B2）你能写出这个定理的逆命题吗?
（
在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上（
它是真命题吗?
你能证明它吗?
已知:
在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE?
OB，D、E为垂足且PD=PE，
求证:
点P在么AOB的角平分线上（
证明:
PD?
OA，PE?
OB，
?
?
PDO=?
PEO=90?
（
在Rt?
ODP和Rt?
OEP中
OP=OP，PD=PE，?
Rt?
ODP?
Rt?
OEP（HL定理）（
?
?
1=?
2（全等三角形对应角相等）（
逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理（我们就把它叫做角平分线的判定定理。
（3）用直尺和圆规画已知角的平方线及作图的依据讨论。
3.巩固练习
例题:
在?
ABC中，?
BAC=60?
，点D在BC上，AD=10，DE?
AB，DF?
AC，垂足分别为E，
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F，且DE=D
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