高中数学必修五章末检测二 数列解析版附后.docx
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高中数学必修五章末检测二数列解析版附后
2018-2019高中数学必修五章末检测
(二) 数列(解析版附后)
时间:
120分钟 满分:
150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在等差数列{an}中,a3=-6,a7=a5+4,则a1等于( )
A.-10 B.-2
C.2D.10
2.在等比数列{an}中,a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,则a8等于( )
A.1B.-1
C.±1D.不能确定
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,那么它的通项公式an=( )
A.nB.2n
C.2n+1D.n+1
4.若数列{an}满足an=qn(q>0,n∈N*),则以下命题正确的是( )
①{a2n}是等比数列;②
是等比数列;
③{lgan}是等差数列;④{lga
}是等差数列.
A.①③B.③④
C.②③④D.①②③④
5.已知数列2,x,y,3为等差数列,数列2,m,n,3为等比数列,则x+y+mn的值为( )
A.16B.11
C.-11D.±11
6.已知Sn=1-2+3-4+5-6+…+(-1)n+1·n,则S6+S10+S15等于( )
A.-5B.-1
C.0D.6
7.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a7=4a
,a2=2,则a1=( )
A.1B.
C.2D.
8.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d.若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于( )
A.2B.4
C.6D.8
9.计算机的成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低
,现在价格为8100元的计算机,9年后的价格可降为( )
A.900元B.1800元
C.2400元D.3600元
10.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n等于( )
A.12B.16
C.9D.16或9
11.设{an}是公差为-2的等差数列,若a1+a4+a7+…+a97=50,则a3+a6+a9+…+a99的值为( )
A.-78B.-82
C.-148D.-182
12.定义:
称
为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若数列{an}的前n项的“均倒数”为
,则数列{an}的通项公式为( )
A.2n-1B.4n-1
C.4n-3D.4n-5
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上)
13.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,a5=-2,a8=16,则S6等于________.
14.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=________.
15.在等差数列{an}中,Sn为它的前n项和,若a1>0,S16>0,S17<0,则当n=________时,Sn最大.
16.已知函数f(x)=xa的图象过点(4,2),令an=
,n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2016=________.
三、解答题(本大题共有6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.
(1)求an;
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
18.(12分)已知等差数列{an},a6=5,a3+a8=5.
(1)求{an}的通项公式an;
(2)若数列{bn}满足bn=a2n-1,求{bn}的通项公式bn.
19.(12分)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7.问:
b6与数列{an}的第几项相等?
20.(12分)已知等差数列{an}满足:
a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;
(2)令bn=
(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
21.(13分)设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=1-Sn,问:
是否存在a1,使数列{bn}为等比数列?
若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由.
22.(13分)求和:
x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn(x≠0).
2018-2019高中数学必修五章末检测
(二) 数列(解析版)
时间:
120分钟 满分:
150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在等差数列{an}中,a3=-6,a7=a5+4,则a1等于( )
A.-10 B.-2
C.2D.10
解析:
设公差为d,∴a7-a5=2d=4,∴d=2,又a3=a1+2d,∴-6=a1+4,∴a1=-10.
答案:
A
2.在等比数列{an}中,a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,则a8等于( )
A.1B.-1
C.±1D.不能确定
解析:
由题意得,a4+a12=-3<0,a4·a12=1>0,
∴a4<0,a12<0,∴a8<0,
又∵a
=a4·a12=1,∴a8=-1.
答案:
B
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,那么它的通项公式an=( )
A.nB.2n
C.2n+1D.n+1
解析:
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,当n=1时,a1=S1=2,也满足上式,故数列{an}的通项公式为an=2n.
答案:
B
4.若数列{an}满足an=qn(q>0,n∈N*),则以下命题正确的是( )
①{a2n}是等比数列;②
是等比数列;
③{lgan}是等差数列;④{lga
}是等差数列.
A.①③B.③④
C.②③④D.①②③④
解析:
因为an=qn(q>0,n∈N*),所以{an}是等比数列,因此{a2n},
是等比数列,{lgan},{lga
}是等差数列.
答案:
D
5.已知数列2,x,y,3为等差数列,数列2,m,n,3为等比数列,则x+y+mn的值为( )
A.16B.11
C.-11D.±11
解析:
根据等差中项和等比中项知x+y=5,mn=6,所以x+y+mn=11,故选B.
答案:
B
6.已知Sn=1-2+3-4+5-6+…+(-1)n+1·n,则S6+S10+S15等于( )
A.-5B.-1
C.0D.6
解析:
由题意可得S6=-3,S10=-5,S15=-7+15=8,所以S6+S10+S15=0.
答案:
C
7.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a7=4a
,a2=2,则a1=( )
A.1B.
C.2D.
解析:
设{an}的公比为q,则有a1q2·a1q6=4a
q6,解得q=2(舍去q=-2),所以由a2=a1q=2,得a1=1.故选A.
答案:
A
8.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d.若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于( )
A.2B.4
C.6D.8
解析:
∵a
=a1a2k,∴(8+k)2d2=9d(8+2k)d,∴k=4(舍去k=-2).
答案:
B
9.计算机的成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低
,现在价格为8100元的计算机,9年后的价格可降为( )
A.900元B.1800元
C.2400元D.3600元
解析:
把每次降价后的价格看做一个等比数列,首项为a1,公比为1-
=
,则a4=8100×
2=2400.
答案:
C
10.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n等于( )
A.12B.16
C.9D.16或9
解析:
由题意得,120°n+
n(n-1)×5°=180°(n-2),化简整理,得n2-25n+144=0,
解得n=9或n=16.当n=16时,最大角为120°+(16-1)×5°=195°>180°,不合题意.∴n≠16.故选C.
答案:
C
11.设{an}是公差为-2的等差数列,若a1+a4+a7+…+a97=50,则a3+a6+a9+…+a99的值为( )
A.-78B.-82
C.-148D.-182
解析:
∵a1+a4+a7+…+a97=50,d=-2,∴a3+a6+a9+…+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)=(a1+a4+a7+…+a97)+33×2d=50+33×(-4)=-82.
答案:
B
12.定义:
称
为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若数列{an}的前n项的“均倒数”为
,则数列{an}的通项公式为( )
A.2n-1B.4n-1
C.4n-3D.4n-5
解析:
设数列{an}的前n项和为Sn,由已知得
=
=
,∴Sn=n(2n-1)=2n2-n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3,当n=1时,a1=S1=2×12-1=1适合上式,∴an=4n-3.
答案:
C
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上)
13.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,a5=-2,a8=16,则S6等于________.
解析:
∵{an}为等比数列,∴a8=a5q3,∴q3=
=-8,∴q=-2.又a5=a1q4,∴a1=
=-
,∴S6=
=
=
.
答案:
14.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=________.
解析:
设等差数列公差为d,则S3=3a1+
×d=3a1+3d=3,a1+d=1,①
又S6=6a1+
×d=6a1+15d=24,即2a1+5d=8.②
联立①②两式得a1=-1,d=2,故a9=a1+8d=-1+8×2=15.
答案:
15
15.在等差数列{an}中,Sn为它的前n项和,若a1>0,S16>0,S17<0,则当n=________时,Sn最大.
解析:
∵
,
∴a8>0,而a1>0,
∴数列{an}是一个前8项均为正,从第9项起为负值的等差数列,从而n=8时,Sn最大.
答案:
8
16.已知函数f(x)=xa的图象过点(4,2),令an=
,n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2016=________.
解析:
由f(4)=2可得4α=2,解得α=
,
则f(x)=x
.
∴an=
=
=
-
,
S2016=a1+a2+a3+…+a2016
=(
-
)+(
-
)+(
-
)+…+(
-
)
=
-1.
答案:
-1
三、解答题(本大题共有6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.
(1)求an;
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
解析:
(1)设{an}的公比为q,
依题意得
解得
因此an=3n-1.
(2)因为bn=log3an=n-1,且为等差数列,
所以数列{bn}的前n项和Sn=
=
.
18.(12分)已知等差数列{an},a6=5,a3+a8=5.
(1)求{an}的通项公式an;
(2)若数列{bn}满足bn=a2n-1,求{bn}的通项公式bn.
解析:
(1)设{an}的首项是a1,公差为d,
依题意得
∴
∴an=5n-25(n∈N*).
(2)∵an=5n-25,
∴bn=a2n-1=5(2n-1)-25=10n-30,
∴bn=10n-30(n∈N*).
19.(12分)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7.问:
b6与数列{an}的第几项相等?
解析:
(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a4-a3=2,所以d=2.
又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.
所以an=4+2(n-1)=2n+2(n∈N*).
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a3=8,b3=a7=16,
所以q=2,b1=4.
所以b6=4×26-1=128.
由128=2n+2,得n=63.
所以b6与数列{an}的第63项相等.
20.(12分)已知等差数列{an}满足:
a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;
(2)令bn=
(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
解析:
(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意,得
,解得
.
∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1.
Sn=na1+
n(n-1)d=3n+
n(n-1)×2=n2+2n.
(2)由
(1)知an=2n+1,
∴bn=
=
=
·
=
,
∴Tn=
=
=
.
21.(13分)设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=1-Sn,问:
是否存在a1,使数列{bn}为等比数列?
若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由.
解析:
(1)依题意,得2Sn=an+1-a1,
当n≥2时,有
两式相减,得an+1=3an(n≥2).
又因为a2=2S1+a1=3a1,an≠0,
所以数列{an}是首项为a1,公比为3的等比数列.
因此,an=a1·3n-1(n∈N*).
(2)因为Sn=
=
a1·3n-
a1,
bn=1-Sn=1+
a1-
a1·3n.
要使{bn}为等比数列,当且仅当1+
a1=0,即a1=-2,
所以存在a1=-2,使数列{bn}为等比数列.
22.(13分)求和:
x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn(x≠0).
解析:
设Sn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn,
∴xSn=x2+3x3+5x4+…+(2n-3)xn+(2n-1)xn+1.
∴(1-x)Sn=x+2x2+2x3+…+2xn-(2n-1)xn+1
=2(x+x2+x3+…+xn)-x-(2n-1)xn+1
=2
-x-(2n-1)xn+1(x≠1),
当x≠1时,1-x≠0,
Sn=
-
.
当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=
=n2.
所以Sn=