浙教七年级数学下册第三单元《整式的乘除》培优题.docx
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浙教七年级数学下册第三单元《整式的乘除》培优题
浙教版七年级数学下册第三单元《整式的乘除》培优题
一.选择题(共7小题)
1.=( )
A.1B.C.2D.
2.已知xm=a,xn=b(x≠0),则x3m﹣2n的值等于( )
A.3a﹣2bB.a3﹣b2C.a3b2D.
3.根据图中数据,计算大长方形的面积,通过不同的计算方法,你发现的结论是( )
A.(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2B.(3a+b)(a+b)=3a2+4ab+b2
C.(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2D.(3a+2b)(a+b)=3a2+5ab+2b2
4.使(x2+px+8)(x2﹣3x+q)的乘积不含x3和x2,则p、q的值为( )
A.p=0,q=0B.p=﹣3,q=﹣1C.p=3,q=1D.p=﹣3,q=1
5.已知2a﹣b=2,那么代数式4a2﹣b2﹣4b的值是( )
A.6B.4C.2D.0
6.设0<n<m,m2+n2=4mn,则的值等于( )
A.3B.C.D.2
7.为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值,可令S=1+2+22+23+…+22011+22012,则2S=2+22+23+24+…+22012+22013,因此2S﹣S=22013﹣1,所以1+22+23+…+22012=22013﹣1.仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是( )
A.52013﹣1B.52013+1C.D.
二.填空题(共5小题)
8.若代数式x2+3x+2可以表示为(x﹣1)2+a(x﹣1)+b的形式,则a+b的值是 .
9.有足够多的长方形和正方形的卡片,如图.
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张,可拼成一个长方形(不重叠无缝隙).
(1)请画出如图这个长方形的草图,并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义.这个长方形的代数意义是 .
(2)小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式,那么小明需用2号卡片 张,3号卡片 张.
10.4个数a,b,c,d排列成,我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为:
=ad﹣bc.若=12,则x= .
11.若x=2m﹣1,y=1+4m+1,用含x的代数式表示y为 .
12.若m1,m2,…m2015是从0,1,2这三个数中取值的一列数,若m1+m2+…+m2015=1525,(m1﹣1)2+(m2﹣1)2+…+(m2015﹣1)2=1510,则在m1,m2,…m2015中,取值为2的个数为 .
三.解答题(共3小题)
13.已知a是大于1的实数,且有a3+a﹣3=p,a3﹣a﹣3=q成立.
(1)若p+q=4,求p﹣q的值;
(2)当q2=22n+﹣2(n≥1,且n是整数)时,比较p与(a3+)的大小,并说明理由.
14.归纳与猜想:
(1)计算:
①(x﹣1)(x+1)= ;
②(x﹣1)(x2+x+1)= ;
③(x﹣1)(x3+x2+x+1)= ;
(2)根据以上结果,写出下列各式的结果.
①(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= ;
②(x﹣1)(x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= ;
(3)(x﹣1)(xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1)= (n为整数);
(4)若(x﹣1)•m=x15﹣1,则m= ;
(5)根据猜想的规律,计算:
226+225+…+2+1.
15.杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如图所示,其中每一横行都表示(a+b)n(此处n=0,1,2,3,4,5…)的计算结果中的各项系数.杨辉三角最本质的特征是,它的两条斜边都是数字1组成,而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和.
(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
上面的构成规律聪明的你一定看懂了!
(1)请直接写出(a+b)6的计算结果中a2b4项的系数是 ;
(2)利用上述规律直接写出27= ;
杨辉三角还有另一个特征:
(3)从第二行到第五行,每一行数字组成的数(如第三行为121)都是上一行的数与 的积.
(4)由此你可以写出115= .
(5)由第 行可写出118= .
浙教版七年级数学下册第三单元《整式乘除》
参考答案与试题解析
一.选择题(共7小题)
1.(2012秋•南陵县期末)=( )
A.1B.C.2D.
【分析】根据xa•ya=(xy)a,进行运算即可.
【解答】解:
原式=(×)2004×
=.
故选B.
【点评】此题考查了同底数幂的乘法运算,属于基础题,注意式子:
xa•ya=(xy)a的运用.
2.(2001•乌鲁木齐)已知xm=a,xn=b(x≠0),则x3m﹣2n的值等于( )
A.3a﹣2bB.a3﹣b2C.a3b2D.
【分析】利用同底数幂的除法和幂的乘方的性质的逆运算计算即可.
【解答】解:
∵xm=a,xn=b(x≠0),
∴x3m﹣2n=x3m÷x2n=.
故选D.
【点评】本题考查了同底数幂的除法,幂的乘方的性质,逆用性质是解题的关键.
3.(2016春•苏州期中)根据图中数据,计算大长方形的面积,通过不同的计算方法,你发现的结论是( )
A.(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2B.(3a+b)(a+b)=3a2+4ab+b2
C.(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2D.(3a+2b)(a+b)=3a2+5ab+2b2
【分析】大长方形的长为3a+2b,宽为a+b,表示出面积;也可以由三个边长为a的正方形,2个边长为b的正方形,以及5个长为b,宽为a的长方形面积之和表示,即可得到正确的选项.
【解答】解:
根据图形得:
(3a+2b)(a+b)=3a2+5ab+2b2.
故选:
D.
【点评】此题考查了多项式乘多项式,弄清题意是解本题的关键.
4.(2016秋•简阳市期中)使(x2+px+8)(x2﹣3x+q)的乘积不含x3和x2,则p、q的值为( )
A.p=0,q=0B.p=﹣3,q=﹣1C.p=3,q=1D.p=﹣3,q=1
【分析】根据多项式乘多项式的法则计算,然后根据不含x2项和x3项就是这两项的系数等于0列式,求出p和q的值,从而得出.
【解答】解:
(x2+px+8)(x2﹣3x+q),
=x4+(p﹣3)x3+(8﹣3p+q)x2+(pq﹣24)x+8q,
∵(x2+px+8)(x2﹣3x+q)的展开式中不含x2项和x3项,
∴
解得:
.
故选:
C.
【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算法则,根据不含哪一项就是让这一项的系数等于0列式是解题的关键.
5.(2015春•房山区期末)已知2a﹣b=2,那么代数式4a2﹣b2﹣4b的值是( )
A.6B.4C.2D.0
【分析】根据完全平方公式,可得平方差公式,根据平方差公式,可得答案.
【解答】解:
4a2﹣b2﹣4b=4a2﹣(b2+4b+4)+4=(2a)2﹣(b+2)2+4
=[2a+(b+2)][2a﹣(b+2)]+4
=(2a+b+2)(2a﹣b﹣2)+4
当2a﹣b=2时,原式=0+4=4,
故选:
B.
【点评】本题考查了完全平方公式,利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键.
6.(2012•宁波模拟)设0<n<m,m2+n2=4mn,则的值等于( )
A.3B.C.D.2
【分析】已知等式变形后利用完全平方公式化简得到关系式,代入所求式子计算即可得到结果.
【解答】解:
m2+n2=4mn变形得:
(m﹣n)2=2mn,(m+n)2=6mn,
∵0<n<m,
∴m﹣n>0,m+n>0,
∴m﹣n=,m+n=,
∴原式===2.
故选D.
【点评】此题考查了完全平方公式,以及平方差公式,熟练掌握公式是解本题的关键.
7.(2014•金水区校级模拟)为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值,可令S=1+2+22+23+…+22011+22012,则2S=2+22+23+24+…+22012+22013,因此2S﹣S=22013﹣1,所以1+22+23+…+22012=22013﹣1.仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是( )
A.52013﹣1B.52013+1C.D.
【分析】根据题目所给计算方法,令S=1+5+52+53+…+52012,再两边同时乘以5,求出5S,用5S﹣S,求出4S的值,进而求出S的值.
【解答】解:
令S=1+5+52+53+…+52012,
则5S=5+52+53+…+52012+52013,
5S﹣S=﹣1+52013,
4S=52013﹣1,
则S=.
故选D.
【点评】本题考查了同底数幂的乘法,利用错位相减法,消掉相关值,是解题的关键.
二.填空题(共5小题)
8.(2012•泰州)若代数式x2+3x+2可以表示为(x﹣1)2+a(x﹣1)+b的形式,则a+b的值是 11 .
【分析】利用x2+3x+2=(x﹣1)2+a(x﹣1)+b,将原式进行化简,得出a,b的值,进而得出答案.
【解答】解:
∵x2+3x+2
=(x﹣1)2+a(x﹣1)+b
=x2+(a﹣2)x+(b﹣a+1),
∴a﹣2=3,
∴a=5,
∵b﹣a+1=2,
∴b﹣5+1=2,
∴b=6,
∴a+b=5+6=11,
故答案为:
11.
【点评】此题主要考查了整式的混合运算与化简,根据已知得出x2+3x+2=x2+(a﹣2)x+(b﹣a+1)是解题关键.
9.(2012•杭州模拟)有足够多的长方形和正方形的卡片,如图.
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张,可拼成一个长方形(不重叠无缝隙).
(1)请画出如图这个长方形的草图,并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义.这个长方形的代数意义是 a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b) .
(2)小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式,那么小明需用2号卡片 3 张,3号卡片 7 张.
【分析】
(1)画出相关草图,表示出拼合前后的面积即可;
(2)得到所给矩形的面积,看有几个b2,几个ab即可.
【解答】解:
(1)如图所示:
故答案为:
a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b);
(2)(a+3b)(2a+b)=2a2+ab+6ab+3b2=2a2+7ab+3b2,
需用2号卡片3张,3号卡片7张.
故答案为:
a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b);3;7.
【点评】考查多项式与多项式相乘问题;根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本题的关键.
10.(2015•崇左)4个数a,b,c,d排列成,我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为:
=ad﹣bc.若=12,则x= 1 .
【分析】利用题中的新定义化简已知等式,求出解即可得到x的值.
【解答】解:
利用题中新定义得:
(x+3)2﹣(x﹣3)2=12,
整理得:
12x=12,
解得:
x=1.
故答案为:
1.
【点评】此题考查了整式的混合运算,弄清题中的新定义是解本题的关键.
11.(2014春•苏州期末)若x=2m﹣1,y=1+4m+1,用含x的代数式表示y为 y=4(x+1)2+1 .
【分析】将4m变形,转化为关于2m的形式,然后再代入整理即可
【解答】解:
∵4m+1=22m×4=(2m)2×4,x=2m﹣1,
∴2m=x+1,
∵y=1+4m+1,
∴y=4(x+1)2+1,
故答案为:
y=4(x+1)2+1.
【点评】本题考查幂的乘方的性质,解决本题的关键是利用幂的乘方的逆运算,把含m的项代换掉.
12.(2015•雅安)若m1,m2,…m2015是从0,1,2这三个数中取值的一列数,若m1+m2+…+m2015=1525,(m1﹣1)2+(m2﹣1)2+…+(m2015﹣1)2=1510,则在m1,m2,…m2015中,取值为2的个数为 510 .
【分析】通过m1,m2,…m2015是从0,1,2这三个数中取值的一列数,(m1﹣1)2+(m2﹣1)2+…+(m2015﹣1)2=1510从而得到1的个数,由m1+m2+…+m2015=1525得到2的个数.
【解答】解:
∵(m1﹣1)2+(m2﹣1)2+…+(m2015﹣1)2=1510,
∵m1,m2,…,m2015是从0,1,2这三个数中取值的一列数,
∴m1,m2,…,m2015中为1的个数是2015﹣1510=505,
∵m1+m2+…+m2015=1525,
∴2的个数为(1525﹣505)÷2=510个.
故答案为:
510.
【点评】此题考查完全平方的性质,找出运算的规律.利用规律解决问题.
三.解答题(共3小题)
13.(2015秋•厦门期末)已知a是大于1的实数,且有a3+a﹣3=p,a3﹣a﹣3=q成立.
(1)若p+q=4,求p﹣q的值;
(2)当q2=22n+﹣2(n≥1,且n是整数)时,比较p与(a3+)的大小,并说明理由.
【分析】
(1)根据已知条件可得a3=2,代入可求p﹣q的值;
(2)根据作差法得到p﹣(a3+)=2﹣n﹣,分三种情况:
当n=1时;当n=2时;当n≥3时进行讨论即可求解.
【解答】解:
(1)∵a3+a﹣3=p①,a3﹣a﹣3=q②,
∴①+②得,2a3=p+q=4,
∴a3=2;
①﹣②得,p﹣q=2a﹣3==1.
(2)∵q2=22n+﹣2(n≥1,且n是整数),
∴q2=(2n﹣2﹣n)2,
∴q2=22n+2﹣2n,
又由
(1)中①+②得2a3=p+q,a3=(p+q),
①﹣②得2a﹣3=p﹣q,a﹣3=(p﹣q),
∴p2﹣q2=4,
p2=q2+4=(2n+2﹣n)2,
∴p=2n+2﹣n,
∴a3+a﹣3=2n+2﹣n③,
a3﹣a﹣3=2n﹣2﹣n④,
∴③+④得2a3=2×2n,
∴a3=2n,
∴p﹣(a3+)=2n+2﹣n﹣2n﹣=2﹣n﹣,
当n=1时,p>a3+;
当n=2时,p=a3+;
当n≥3时,p<a3+.
【点评】考查了负整数指数幂:
a﹣p=(a≠0,p为正整数),关键是加减消元法和作差法的熟练掌握.
14.归纳与猜想:
(1)计算:
①(x﹣1)(x+1)= x2﹣1 ;
②(x﹣1)(x2+x+1)= x3﹣1 ;
③(x﹣1)(x3+x2+x+1)= x4﹣1 ;
(2)根据以上结果,写出下列各式的结果.
①(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= x7﹣1 ;
②(x﹣1)(x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= x10﹣1 ;
(3)(x﹣1)(xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1)= xn﹣1 (n为整数);
(4)若(x﹣1)•m=x15﹣1,则m= x14+x13+x12+…+x2+x+1 ;
(5)根据猜想的规律,计算:
226+225+…+2+1.
【分析】
(1)运用乘法公式以及多项式乘多项式的法进行计算即可;
(2)根据
(1)中的计算结果的变换规律进行判断即可;
(3)根据
(1)
(2)中的计算结果总结变换规律即可;
(4)根据(3)中的规律,直接求得m的表达式即可;
(5)根据(3)中的规律列出等式进行变形,求得226+225+…+2+1的值.
【解答】解:
(1)①(x﹣1)(x+1)=x2﹣1;
②(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1;
③(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣1=x4﹣1;
(2)①(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7﹣1;
②(x﹣1)(x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x10﹣1;
(3)(x﹣1)(xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1)=xn﹣1(n为整数);
(4)∵(x﹣1)•m=x15﹣1,
∴m=x14+x13+x12+…+x2+x+1;
(5)∵(2﹣1)(226+225+224+…+22+2+1)=227﹣1,
∴226+225+…+2+1=227﹣1.
【点评】本题主要考查了多项式与多项式相乘的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加.计算时按一定的顺序进行,必须做到不重不漏.
15.(2014春•泰兴市校级期末)杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如图所示,其中每一横行都表示(a+b)n(此处n=0,1,2,3,4,5…)的计算结果中的各项系数.杨辉三角最本质的特征是,它的两条斜边都是数字1组成,而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和.
(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
上面的构成规律聪明的你一定看懂了!
(1)请直接写出(a+b)6的计算结果中a2b4项的系数是 15 ;
(2)利用上述规律直接写出27= 128 ;
杨辉三角还有另一个特征:
(3)从第二行到第五行,每一行数字组成的数(如第三行为121)都是上一行的数与 11 的积.
(4)由此你可以写出115= 161051 .
(5)由第 9 行可写出118= 1 .
【分析】观察图表寻找规律:
三角形是一个由数字排列成的三角形数表,它的两条斜边都是数字1组成,而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和.
【解答】解:
(1)请直接写出(a+b)6的计算结果中a2b4项的系数是15;
(2)利用上述规律直接写出27=128;
杨辉三角还有另一个特征:
(3)从第二行到第五行,每一行数字组成的数(如第三行为121)都是上一行的数与11的积.
(4)由此你可以写出115=161051.
(5)由第9行可写出118=1.
故答案为:
15,128,11,161051,9,1.
【点评】考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力,找出本题的数字规律是正确解题的关键.