最新北师大版高中数学必修三学案第二章 1 算法的基本思想.docx

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最新北师大版高中数学必修三学案第二章1算法的基本思想

学习目标

　1.了解算法的含义，体会算法的思想，能够用自然语言叙述算法.2.掌握正确的算法应满足的要求.3.学会将一整数分解成素因数之积，会设计求两整数的最大公因数的算法，了解“韩信点兵”问题及二分法求方程近似解．

知识点一　算法的概念

思考　有一碗酱油，一碗醋和一个空碗．现要把两碗盛的物品交换一下，试用自然语言表述你的操作方法．

梳理　一般地，算法是解决某类问题的一系列____________，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．一般来说，“用算法解决问题”都是可以利用________帮助完成的．

同一个问题可能存在____种算法，一个算法也可以解决某一类问题．

知识点二　算法的特点

思考　设想一下电脑程序需要计算无限多步，会怎么样？

梳理　一般地，算法的特点有：

（1）有穷性

一个算法应包括________的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后________．

（2）确定性

算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯一确定的．

（3）可行性

算法中的每一个步骤都是可以在________的时间内完成的基本操作，并能得到________的结果．

类型一　生活中的算法案例

例1　在电视台的某个娱乐节目中，要求参与者快速猜出物品价格．主持人出示了一台价值在1000元以内的随身听，并开始了竞猜．下面是主持人和参与者之间的一段对话：

参与者：

800元！

主持人：

高了！

参与者：

400元！

主持人：

低了！

参与者：

600元！

主持人：

低了！

……

试把参与者的竞猜策略概括成一系列的步骤．

反思与感悟　按照上述方法，继续判断，直到游戏结束．像这样的一系列步骤通常称为解决这个问题的一个算法．生活中有很多蕴含算法思想的案例．

跟踪训练1　一个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1个大人或两个小孩，他们三人都会划船，但都不会游泳．试问他们怎样渡过河去？

请写出一个渡河方案．

类型二　数学中的算法思想

例2　设计一个算法，求840与1764的最大公因数．

反思与感悟　以上这个算法的思想具有一般性，它可以帮助设计求三个或者三个以上正整数的最大公因数的算法．

跟踪训练2　设计一个算法，求98与63的最大公因数．

例3　“韩信点兵”问题

韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳．据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力．采用下述点兵方法：

先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快就算出了自己部队士兵的总人数．请设计一个算法，求出士兵至少有多少人．

反思与感悟　在完成上述步骤后，就找到了所求的数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法．

跟踪训练3　在例3中，我们颠倒一下3,5,7的顺序，请再设计一个算法．

类型三　用二分法求方程近似解

例4　求方程x3＋x2－1＝0在[0,1]上的近似解，精度为0.1.

反思与感悟　二分法求方程近似解的基本思想：

逐渐缩小有解区间的长度，直到满足精度的要求．虽然看似烦琐，但很适合计算机执行．

跟踪训练4　用二分法设计一个求方程x2－2＝0的近似正根的算法，精度为0.05.

1．下列关于算法的说法，正确的个数为（　　）

①求解某一类问题的算法是唯一的；

②算法必须在有限步操作之后停止；

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；

④算法执行后一定产生确定的结果．

A．1B．2C．3D．4

2．已知一个算法：

（1）给出三个数x、y、z；

（2）计算M＝x＋y＋z；

（3）计算N＝

M；

（4）得出每次计算的结果．

则上述算法是（　　）

A．求和B．求余数

C．求平均数D．先求和再求平均数

3．看下面的四段话，其中不是解决问题的算法是________．

（1）从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；

（2）解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；

（3）方程x2－1＝0有两个实根；

（4）求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15.

4．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：

（1）计算c＝

；

（2）输入直角三角形两直角边长a，b的值；

（3）输出斜边长c的值．

其中正确的顺序是________．

算法是建立在解法基础上的操作过程，算法不一定要有运算结果，答案可以由计算机解决，算法没有一个固定的模式，但有以下几个基本要求：

（1）符合运算规则，计算机能操作；

（2）每个步骤都有一个明确的计算任务；

（3）对重复操作步骤返回处理；

（4）步骤个数尽可能少；

（5）每个步骤的语言描述要准确、简明．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　先把醋倒入空碗，再把酱油倒入原来盛醋的碗，最后把倒入空碗中的醋倒入原来盛酱油的碗，就完成了交换．

梳理　

步骤或程序　计算机　多

知识点二

思考　若有无限步，必将陷入死循环，解决不了问题．故算法必须在有限步内解决问题．

梳理　

（1）有限　结束　（3）有限　确定

题型探究

例1　解　1.报出首次价格T1；

2．根据主持人的回答确定价格区间：

（1）若报价小于商品价格，则商品的价格区间为（T1,1000）；

（2）若报价大于商品价格，则商品的价格区间为（0，T1）；（3）若报价等于商品价格，则游戏结束．

3．如果游戏没有结束，则报出上面确定的价格区间的中点T2.

跟踪训练1　解　1.两个小孩同船过河去；

2．一个小孩划船回来；

3．一个大人划船过河去；

4．对岸的小孩划船回来；

5．两个小孩同船渡过河去．

例2　解　算法步骤如下：

1．先将840进行素因数分解：

840＝23×3×5×7；

2．然后将1764进行素因数分解：

1764＝22×32×72；

3．确定它们的公共素因数：

2,3,7；

4．确定公共素因数的指数：

公共素因数2,3,7的指数分别为2,1,1；

5．最大公因数为22×31×71＝84.

跟踪训练2　解　算法步骤如下：

1．先将98进行素因数分解：

98＝2×72；

2．然后将63进行素因数分解：

63＝32×7；

3．确定它们的公共素因数：

7；

4．确定公共素因数的指数：

公共素因数的指数是1；

5．最大公因数为7.

例3　解　算法步骤如下：

1．首先确定最小的满足除以3余2的正整数：

2；

2．依次加3就得到所有除以3余2的正整数：

2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,

32,35,38,41,44,47,50,53,56，…

3．在上列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：

8；

4．然后依次加上15，得到8,23,38,53，…

不难看出，这些数既满足除以3余2，又满足除以5余3；

5．在第4步得到的一列数中找出满足除以7余4的最小数53，这就是我们要求的数．

跟踪训练3　解　算法步骤如下：

1．首先确定最小的除以7余4的正整数：

4；

2．依次加7就得到所有除以7余4的正整数：

4,11,18,25,32,39,46,53,60，…

3．在第2步得到的一列数中确定最小的除以5余3的正整数：

18；

4．然后依次加上35，得到18,53,88，…

5．在第4步得到的一列数中找出最小的满足除以3余2的正整数：

53.

例4　解　根据上述分析，可以通过下列步骤求得方程的近似解：

设f（x）＝x3＋x2－1，

1．因为f（0）＝－1，f

（1）＝1，f（0）·f

（1）<0，则区间[0,1]为有解区间；

2．取[0,1]的区间中点0.5；

3．计算f（0.5）＝－0.625；

4．由于f（0.5）·f

（1）<0，可得新的有解区间[0.5,1]，

1－0.5＝0.5>0.1；

5．取[0.5,1]的区间中点0.75；

6．计算f（0.75）＝－0.015625；

7．由于f（0.75）·f

（1）<0，可得新的有解区间[0.75,1]，

1－0.75＝0.25>0.1；

8．取[0.75,1]的区间中点0.875；

9．计算f（0.875）＝0.435546875；

10．由于f（0.75）·f（0.875）<0，可得新的有解区间[0.75，0.875]，0.875－0.75＝0.125>0.1；

11．取[0.75,0.875]的区间中点0.8125；

12．计算f（0.8125）＝0.196533203125；

13．由于f（0.75）·f（0.8125）<0，可得新的有解区间[0.75,0.8125]，0.8125－0.75＝0.0625<0.1.

所以，区间[0.75,0.8125]中的任一数值，都可以作为方程的近似解．

跟踪训练4　解　1.因为f

（1）＝－1，f

（2）＝2，f

（1）·f

（2）<0，则区间[1,2]为有解区间，精度2－1＝1>0.05；

2．取[1,2]的中点1.5；

3．计算f（1.5）＝0.25；

4．由于f

（1）·f（1.5）<0，可得新的有解区间[1,1.5]，精度1.5－1＝0.5>0.05；

5．取[1,1.5]的中点1.25；

6．计算f（1.25）＝－0.4375；

7．由于f（1.25）·f（1.5）<0，可得新的有解区间[1.25,1.5]，精度1.5－1.25＝0.25>0.05；

…当得到新的有解区间[1.40625,1.4375]时，

由于|1.4375－1.40625|＝0.03125<0.05，

该区间精度已满足要求，所以取区间[1.40625,1.4375]的任一数值，都可以作为方程的一个近似解．

当堂训练

1．C　2.D　3.（3）　4.

（2）

（1）（3）