山东省菏泽市学年高三上学期期末数学试题及答案.docx
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山东省菏泽市学年高三上学期期末数学试题及答案
山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．设集合
，
，则（）
A．
B．
C．
D．
2．已知角
的终边经过点
，则
（）
A．
B．
C．
D．
3．已知双曲线
的一个焦点为
，则其渐近线方程为（）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
的图象可能为（）
A．
B．
C．
D．
5．设坐标原点为
，抛物线
与过焦点的直线交于A、B两点，则
（）
A．
B．
C．3D．
6．已知三棱柱
的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，
在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与
所成的角的为（）
A．
B．
C．
D．
7．设函数
，
的定义域分别为F，G，且
.若对任意的
，都有
，则称
为
在G上的一个“延拓函数”.已知函数
，若
为
在
上的一个延拓函数，且
是偶函数，则函数
的解析式是（）
A．
B．
C．
D．
8．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：
三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作
，
，点
，点
，过其“欧拉线”上一点Р作圆O：
的两条切线，切点分别为M，N，则
的最小值为（）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．设m，n是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，且直线
平面
，直线
平面
，下列命题为真命题的是（）
A．“
”是“
”的充分条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充要条件
D．“
”是“
”的既不充分也不必要条件
10．已知曲线
：
，则下列说法正确的是（）
A．若
，则曲线
为椭圆
B．若
，则曲线
为焦点在
轴上的双曲线
C．若曲线
为双曲线，则其焦距是定值
D．若曲线
为焦点在
轴上的双曲线，则其离心率小于
11．设
，若
为函数
的极大值点，则下列关系中可能成立的有（）
A．
B．
C．
D．
12．函数
的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当
，
时，下列结论正确的是（）
A．函数
的图象关于直线
对称
B．当
时，
的最大值为－1
C．函数
的“囧点”与函数
图象上的点的最短距离为
D．函数
的所有“囧圆”中，面积的最小值为
三、填空题
13．已知边长为1的正六边形ABCDEF，中心为
，则
___________.
14．已知
是首项为2的等比数列，
是其前n项和，且
，则数列
的前5项和为___________.
15．函数
的部分图象如图所示，若将
图象上的所有点向左平移
个单位得到函数
的图象，则函数
___________.
16．如图，等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体
的侧棱，
，直角边AE绕斜边AB旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥
体积的取值范围是___________.
四、解答题
17．在①
，②
，③
，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：
已知
内角A，B，C的对边分别是a，b，c，
，____________，求
的最大值.
注：
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．已知数列
的前
项和为
，且
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）在
与
之间插入
个数，使得包括
与
在内的这
个数成等差数列，设其公差为
，求
的前
项和
.
19．设函数
.
（1）求曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）求函数
在区间
上的最大值和最小值.
20．如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
，O为AC的中点，M为
内部或边界上的动点，且
平面
.
（1）证明：
.
（2）设直线PM与平面ABC所成角为
，求
的最小值.
21．已知
中，
，
，
，
，曲线E过C点，动点Р在E上运动，且保持
的值不变.
（1）求曲线E的方程；
（2）过点
的直线
与曲线
交于M，N两点，则在
轴上是否存在定点
，使得
的值为定值？
若存在，求出点
的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.
22．已知函数
，
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若关于
的不等式
在
上恒成立，求
的取值范围.
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
求出集合N、
、
，根据集合的包含关系即可判断正确答案.
【详解】
或
，
，
，
∴
，
故选：
A.
2．B
【解析】
【分析】
先根据任意角的三角函数的定义求出
，再利用余弦的二倍角公式求值
【详解】
因为角
的终边经过点
，
所以
，
所以
，
故选：
B
3．A
【解析】
【分析】
由已知条件可求出
的值，从而可求出双曲线的渐近线方程
【详解】
因为双曲线
的一个焦点为
，
所以
，得
，
所以双曲线方程为
，
所以双曲线的渐近线方程为
，
故选：
A
4．C
【解析】
【分析】
利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由函数值的变化情况判断
【详解】
的定义域为
，
因为
，
所以
为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除AD，
当
且
时，
，
当
时，
，所以
，所以排除B，
故选：
C
5．D
【解析】
【分析】
求出焦点坐标，设直线
的方程为
代入抛物线方程中化简利用根与系数的关系，再结合向量的数量积公式求解即可
【详解】
抛物线
的焦点为
，设直线
的方程为
，
，
由
，得
，
则
，
所以
，
故选：
D
6．C
【解析】
【分析】
连接
，由
，得到
为异面直线
与
所成的角，结合余弦定理，即可求解.
【详解】
连接
，由
，所以
为异面直线
与
所成的角，
因为三棱锥
的底面是边长为
的等边三角形，且侧棱长为
，
在底面ABC上的射影D为BC的中点，
可得
由余弦定理，可得
，
因为
，所以
，
所以异面直线AB与
所成的角的为
.
故选：
C.
7．C
【解析】
【分析】
根据定义利用函数的定义域和奇偶性，以及当
时，
是否满足条件，进行判断即可.
【详解】
解：
是偶函数
定义域关于原点对称
对于选项A：
是偶函数，当
时，
，则不满足条件，A错误；
对于选项B：
当
时，
无意义，则定义域不满足条件，B错误；
对于选项C：
是偶函数，当
时，
，满足条件，C正确；
对于选项D：
当
时，
无意义，则定义域不满足条件，D错误；
故选：
C
8．B
【解析】
【分析】
求
中垂线方程，结合点线距离判断“欧拉线”与圆O的位置关系并求出圆心到直线的距离，由几何关系判断
的最小时
的位置，进而求
的最小值.
【详解】
由题设，
中点为
，“欧拉线”斜率为
，
所以“欧拉线”方程为
，即
，
又
到
的距离为
，即“欧拉线”与圆O相离，
要使
的最小，则在
△
与
△
中
最小，即
最大，而仅当
“欧拉线”时
最大，
所以
，则
，且圆O半径
，
，
所以
，即
.
故选：
B
9．AD
【解析】
【分析】
根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.
【详解】
当
时，
内的所有直线平行于
，故
；当
时，
或
相交，故“
”是“
”的充分条件，A正确；
当
时，直线
平面
，直线
平面
，则
或
异面，不必要，B错误；
当
时，
或
或
或
与
相交，不必要，C错误；
当
时，
或
或
相交，不充分；当
时，
或
或
异面或
相交，不必要，D正确.
故选：
AD.
10．BD
【解析】
【分析】
取
判断A；根据双曲线的定义以及性质判断BCD.
【详解】
对于A，当
时，
表示圆，不是椭圆，故A错误；
对于B，当曲线
为焦点在
轴上的双曲线时，
，解得
，故B正确；
对于C，当
时，
，此时曲线
为焦点在
轴上的双曲线，
，则焦距
不是定值，故C错误；
对于D，由C选项可知，
，
，令
，则
，故D正确；
故选：
BD
11．BC
【解析】
【分析】
先考虑函数
的零点情况，注意零点左右附近的函数值是否变号，结合极大值的定义，对
进行分类讨论，得到
，
的所满足的关系，即可得到答案．
【详解】
若
，则
为单调函数，
，
则
或
，函数
单调，无极值点，不符合题意，故
，
∴
有
和
两个不同的零点，且在
左右是不变号，在
左右是变号的，
由题意可知，
为函数
的极大值点，
则
左右附近都是小于零的，
当
，即
时，由
，可得
，
则
，
，
∴
，
当
，即
时，由
时，
，
则
，
，
∴
，
故选：
BC．
12．BCD
【解析】
【分析】
A．根据函数是偶函数，进行判断即可．
B．判断当
时，函数的单调性即可．
C．求函数
的导数，利用导数的几何意义进行求解．
D．利用两点间的距离公式进行判断求解．
【详解】
当
，
时，函数
.
A．f（x）的定义域为
，
，且为偶函数，则函数关于
对称，故A错误；
B．其图象如图所示，当
，
为减函数，则当
时，
最大为
，故B正确；
C．当
时，
，即函数图象与
轴的交点为
，其关于原点的对称点为
，
所以“囧点”为
，
设
，则
，设切点为
，
，
切线的斜率
，
当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，
，
解得
，
切点坐标为
，
故函数
的“囧点”与函数
图象上的点的最短距离是
，故C正确，
D．“囧圆”的圆心为
．要求“囧圆”的面积最小，则只需考虑
轴及
轴右侧的函数图象．当圆
过点
时，其半径为2，这是和
轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值；
当圆
和
轴上方且
轴右侧的函数图象有公共点
时，设
（其中
，
则点
到圆心
的距离的平方为
，
令
，
，则
，
再令
，（其中
，
则
，
所以当圆
和
轴上方且
轴右侧的函数图象有公共点时，最小半径为
．
又
，
综上可知，在所有的“囧圆”中，半径的最小值为
．
故所有的“囧圆”中，圆的面积的最小值为
，故D正确，
故选：
BCD．
【点睛】
本题主要考查抽象函数及其应用，其中根据“囧圆”的圆心坐标及“囧函数”的解析式，利用函数的奇偶性，单调性以及数形结合是解决本题的关键．
13．
##
【解析】
【分析】
根据正六边形性质及向量数量积定义求解．
【详解】
因为正六边形
边长为1，其中心为
，所以
，
，所以
.
故答案为：
．
14．
【解析】
【分析】
根据等比数列前n项和公式解得公比，再根据等比数列前n项和公式求结果.
【详解】
若
，则由
，得
，则
，不满足题意，故
，
由
，得
，所以
，故
，
，所以数列
是首项，公比均为
的等比数列，其前5项和为
.
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出
，由周期求出
，由五点法作图求出
的值，可得
的解析式，再根据函数
的图象变换规律，得出结论．
【详解】
根据函数
的部分图象，
可得
，
，
．
再结合五点法作图，可得
，
，
．
将
图象上的所有点向左平移
个单位得到函数
的图象，
故答案为：
．
16．
【解析】
【分析】
设
为
的中点，点
在以
为圆心，1为半径的圆上运动，作出图形，观察求解
到平面
的最大值和最小值，再计算体积的范围
【详解】
在图1中，令
为
的中点，
为
的中点，则点
在以
为圆心，1为半径的圆上运动，
由图可知当
三点共线，且
在
之间时，三棱锥
的体积最大，当运动到
的位置时，
的体积最小，
在
中，
设
到平面
的距离分别为
，则
，
所以三棱锥
体积的最大值为
，
三棱锥
体积的最小值为
，
所以三棱锥
体积的取值范围为
，
故答案为：
17．
【解析】
【分析】
若选①，由已知条件三角恒等变换可求∠C，再利用正弦定理边化角求a＋2b最大值；
若选②，由已知条件三角恒等变换可求∠C，再利用正弦定理边化角求a＋2b最大值；
若选③，由已知条件、正弦定理、余弦定理可求∠C，再利用正弦定理边化角求a＋2b最大值.
【详解】
若选①，∵A＋B＋C＝π，∴由已知条件得
，
由
，得
，
由
，得
，
∵
，∴
，
，
由正弦定理，有
，
∴
，
，
∴
，（其中
，
）
∵
，∴存在A，使得
，
此时
取得最大值为
.
若选②：
，
∵A＋B＋C＝π，
∴
，
，
化简得
，
由
，得
，∵
，∴
.
下同①；
若选③：
，
，
由正弦定理得
，
∴由余弦定理得
，
∵
，∴
.
下同①.
18．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到
，两式相减求得
，进而得到数列
是首项为1公比为3的等比数列，即可求解；
（2）由题意得到
，结合乘公比错位相加法求和，即可求解.
（1）
解：
因为
，所以
，
两式相减可得
，所以
，
令
，可得
，所以
，
所以数列
是首项为1公比为3的等比数列，所以
.
（2）
解：
由题意，可得
，所以
，
所以
，
，
两式相减可得
所以
.
19．
（1）
（2）最大值为
，最小值为
【解析】
【分析】
（1）求得
，得到
，利用直线的点斜式方程，求得切线方程为
，进而求得三角形的面积；
（2）由
，得到
，结合
，得到
在
上单调递增，进而求得函数的最值.
（1）
解：
由题意，函数
，
则
，可得
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
，可得直线
在x轴，y轴上的截距分别为
，
，
所以所求三角形的面积为
.
（2）
解：
由
，
则
，所以函数
为增函数，
又因为
，所以当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，
所以函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
.
即函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
.
20．
（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意证明证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论.
（2）建立空间直角坐标坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，然后换元求解最小值即可.
（1）
证明：
在三棱锥
中，连接OB，OP，因为
是以AC为斜边的等腰直角三角形，
，O为AC中点
所以
，
又
，所以
平面POB
因为
平面POB，所以
.
（2）
由
（1）知
，平面
平面ABC，平面
平面
，
平面PAC，所以
平面ABC.
又
，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系
则
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，
则
即
令
，则
，
同理可求得平面PBC的法向量
.
因为
平面PAB，
平面PBC，
所以
即
即
所以
.
又
所以
.
所以
，又
平面
，
所以
是平面ABC的一个法向量.
所以
，
令
，
，所以
当
即
时，
取得最大值为
，
此时
取得最小值为
.
注：
也可以分别取PC，BC的中点E，F，先证明M在线段EF上.
21．
（1）
（2）存在点
，使得
为定值
【解析】
【分析】
（1）根据条件可知动点
的运动轨迹满足椭圆定义，由椭圆的方程可的结果.
（2）分直线的斜率为零和不为零两种情况分别计算.
（1）
解：
由题意，可得
，
而
，
所以点Р的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为
的椭圆，
由
，
，得
，
，
所以曲线
的方程为
.
（2）
当直线
的斜率为不为0时，设直线
的方程为
，设定点
联立方程组
，消
可得
，
设
，
，
可得
，
，
所以
.
要使上式为定值，则
，解得
此时
当直线
的斜率为0时，
，
，此时，
也符合.
所以，存在点
，使得
为定值
.
22．
（1）
在
上单调递增，在
上单调递减
（2）
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，利用
的范围，判断导函数的符号，推出函数的单调区间即可.
（2）不等式
等价于
在
上恒成立，构造函数，通过函数的导数，利用二次函数的性质，说明极值点一正一负，设函数
，利用导函数，结合函数的单调性，转化求解
的范围即可.
（1）
解：
（1）因为
的定义域为
，且
.
①若
，则
，所以
在
上单调递增.
②若
，令
，得
.
当
时，
；
当
时，
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）
（2）不等式
在
上恒成立等价于
在
上恒成立，令
，则
.
对于函数
，
，所以其必有两个零点.
又两个零点之积为-1，所以两个零点一正一负，
设其中一个零点
，则
，即
.
此时
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，即
.
设函数
，则
.
当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
又
，所以
.
由
在
上单调递增，得
.
故
的取值范围为
.
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