山东省菏泽市学年高三上学期期末数学试题及答案.docx

1、山东省菏泽市学年高三上学期期末数学试题及答案山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1设集合，则（ ）A BC D2已知角的终边经过点，则（ ）A B C D3已知双曲线的一个焦点为，则其渐近线方程为（ ）A BC D4已知函数的图象可能为（ ）A BC D5设坐标原点为，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则（ ）A B C3 D6已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的为（ ） A B C D7设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的

2、一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（ ）A B C D8瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，点，点，过其“欧拉线”上一点作圆O：的两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）A B C D二、多选题9设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，且直线平面，直线平面，下列命题为真命题的是（ ）A“”是“”的充分条件B“”是“”的必要条件C“”是“”的充要条件D“”是“”的既不充分也不必要条件10已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）A若，则曲线为椭

3、圆B若，则曲线为焦点在轴上的双曲线C若曲线为双曲线，则其焦距是定值D若曲线为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于11设，若为函数的极大值点，则下列关系中可能成立的有（ ）A BC D12函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是( )A函数的图象关于直线对称B当时，的最大值为1C函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为D函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为三、填空题13已知边长为1的正六边形ABCDEF，中心为，则_.14已知是首项为2的等比数列，是

4、其前n项和，且，则数列的前5项和为_.15函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象，则函数_.16如图，等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体的侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥体积的取值范围是_.四、解答题17在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，_，求的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18已知数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，设其公差为，求的前项和.19设函数.(1)求曲线在点

5、处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)求函数在区间上的最大值和最小值.20如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，O为AC的中点，M为内部或边界上的动点，且平面.(1)证明：.(2)设直线PM与平面ABC所成角为，求的最小值.21已知中，曲线E过C点，动点在E上运动，且保持的值不变.(1)求曲线E的方程；(2)过点的直线与曲线交于M，N两点，则在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.22已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.参考答案：1A【解析】【分析】求出集合N、，根据集合的包含关系

6、即可判断正确答案.【详解】或，故选：A.2B【解析】【分析】先根据任意角的三角函数的定义求出，再利用余弦的二倍角公式求值【详解】因为角的终边经过点，所以，所以，故选：B3A【解析】【分析】由已知条件可求出的值，从而可求出双曲线的渐近线方程【详解】因为双曲线的一个焦点为，所以，得，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为，故选：A4C【解析】【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由函数值的变化情况判断【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除AD，当且时， ，当时，所以，所以排除B，故选：C5D【解析】【分析】求出焦点坐标，设直线的方程为代入抛物线方程中化简利用根

7、与系数的关系，再结合向量的数量积公式求解即可【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为，由，得，则，所以，故选：D6C【解析】【分析】连接，由，得到为异面直线与所成的角，结合余弦定理，即可求解.【详解】连接，由，所以为异面直线与所成的角，因为三棱锥的底面是边长为的等边三角形，且侧棱长为，在底面ABC上的射影D为BC的中点，可得,由余弦定理，可得，因为，所以，所以异面直线AB与所成的角的为.故选：C.7C【解析】【分析】根据定义利用函数的定义域和奇偶性，以及当时，是否满足条件，进行判断即可.【详解】解：是偶函数定义域关于原点对称对于选项A：是偶函数，当时，则不满足条件，A错误；对于选项B：当时，无意

8、义，则定义域不满足条件，B错误；对于选项C：是偶函数，当时，满足条件，C正确；对于选项D：当时，无意义，则定义域不满足条件，D错误；故选：C8B【解析】【分析】求中垂线方程，结合点线距离判断“欧拉线”与圆O的位置关系并求出圆心到直线的距离，由几何关系判断的最小时的位置，进而求的最小值.【详解】由题设，中点为，“欧拉线”斜率为，所以“欧拉线”方程为，即，又到的距离为，即“欧拉线”与圆O相离，要使的最小，则在与中最小，即最大，而仅当“欧拉线”时最大，所以，则，且圆O半径 ，所以，即.故选：B9AD【解析】【分析】根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】当时

9、，内的所有直线平行于，故；当时，或相交，故“”是“”的充分条件，A正确；当时，直线平面，直线平面，则或异面，不必要，B错误；当时，或或或与相交，不必要，C错误；当时，或或相交，不充分；当时，或或异面或相交，不必要，D正确.故选：AD.10BD【解析】【分析】取判断A；根据双曲线的定义以及性质判断BCD.【详解】对于A，当时，表示圆，不是椭圆，故A错误；对于B，当曲线为焦点在轴上的双曲线时，解得，故B正确；对于C，当时，此时曲线为焦点在轴上的双曲线，则焦距不是定值，故C错误；对于D，由C选项可知，令，则，故D正确；故选：BD11BC【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近的函数值是

10、否变号，结合极大值的定义，对进行分类讨论，得到，的所满足的关系，即可得到答案【详解】若，则为单调函数，则或，函数单调，无极值点，不符合题意，故，有和两个不同的零点，且在左右是不变号，在左右是变号的，由题意可知，为函数的极大值点，则左右附近都是小于零的，当，即时，由，可得，则，当，即时，由时，则，故选：BC12BCD【解析】【分析】A根据函数是偶函数，进行判断即可B判断当时，函数的单调性即可C求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解D利用两点间的距离公式进行判断求解【详解】当，时，函数.Af(x)的定义域为，且为偶函数，则函数关于对称，故A错误；B其图象如图所示，当，为减函数，则当时，最大为，故

11、B正确；C当时，即函数图象与轴的交点为，其关于原点的对称点为，所以“囧点”为，设，则，设切点为，切线的斜率，当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，解得，切点坐标为，故函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离是，故C正确，D“囧圆”的圆心为要求“囧圆”的面积最小，则只需考虑轴及轴右侧的函数图象当圆过点时，其半径为2，这是和轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值；当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，设（其中，则点到圆心的距离的平方为，令，则，再令，（其中，则，所以当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，最小半径为又，综上可知，在所有的“囧圆”中，半径的最小值为故所有的“

12、囧圆”中，圆的面积的最小值为，故D正确，故选：BCD【点睛】本题主要考查抽象函数及其应用，其中根据“囧圆”的圆心坐标及“囧函数”的解析式，利用函数的奇偶性，单调性以及数形结合是解决本题的关键13#【解析】【分析】根据正六边形性质及向量数量积定义求解【详解】因为正六边形边长为1，其中心为，所以，所以.故答案为：14【解析】【分析】根据等比数列前n项和公式解得公比，再根据等比数列前n项和公式求结果.【详解】若，则由，得，则，不满足题意，故，由，得，所以，故，所以数列是首项，公比均为的等比数列，其前5项和为.故答案为：15【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，

13、可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，得出结论【详解】根据函数的部分图象，可得，再结合五点法作图，可得，将图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象，故答案为：16【解析】【分析】设为的中点，点在以为圆心，1为半径的圆上运动，作出图形，观察求解到平面的最大值和最小值，再计算体积的范围【详解】在图1中，令为的中点，为的中点，则点在以为圆心，1为半径的圆上运动，由图可知当三点共线，且在之间时，三棱锥的体积最大，当运动到的位置时，的体积最小，在中，,设到平面的距离分别为，则，,所以三棱锥体积的最大值为，三棱锥体积的最小值为，所以三棱锥体积的取值范围为，故答案为：17【解析】【分析】若选，由已知条件

14、三角恒等变换可求C，再利用正弦定理边化角求a2b最大值；若选，由已知条件三角恒等变换可求C，再利用正弦定理边化角求a2b最大值；若选，由已知条件、正弦定理、余弦定理可求C，再利用正弦定理边化角求a2b最大值.【详解】若选，ABC，由已知条件得，由，得，由，得，由正弦定理，有，(其中，)，存在A，使得，此时取得最大值为.若选：，ABC，化简得，由，得，.下同；若选：，由正弦定理得，由余弦定理得，.下同.18(1)(2)【解析】【分析】（1）根据题意得到，两式相减求得，进而得到数列是首项为1公比为3的等比数列，即可求解；（2）由题意得到，结合乘公比错位相加法求和，即可求解.(1)解：因为，所以，两

15、式相减可得，所以，令，可得，所以，所以数列是首项为1公比为3的等比数列，所以.(2)解：由题意，可得，所以，所以，两式相减可得所以.19(1)(2)最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）求得，得到，利用直线的点斜式方程，求得切线方程为，进而求得三角形的面积；（2）由，得到，结合，得到在上单调递增，进而求得函数的最值.(1)解：由题意，函数，则，可得，所以曲线在点处的切线方程为，即，可得直线在x轴，y轴上的截距分别为，所以所求三角形的面积为.(2)解：由，则，所以函数为增函数，又因为，所以当时，所以函数在上单调递增，所以函数在区间上的最大值为，最小值为.即函数在区间上的最大值为，最小值为.20

16、(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由题意证明证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论.（2）建立空间直角坐标坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，然后换元求解最小值即可.(1)证明：在三棱锥中，连接OB，OP，因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中点所以，又，所以平面POB因为平面POB，所以.(2)由（1）知，平面平面ABC，平面平面，平面PAC，所以平面ABC.又，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系则，设，则，.设平面的法向量为，则即令，则，同理可求得平面PBC的法向量.因为平面PAB，平面PBC，所以即即所以.又所以.所

17、以，又平面，所以是平面ABC的一个法向量.所以，令，所以当即时，取得最大值为，此时取得最小值为.注：也可以分别取PC，BC的中点E，F，先证明M在线段EF上.21(1)(2)存在点，使得为定值【解析】【分析】（1）根据条件可知动点的运动轨迹满足椭圆定义，由椭圆的方程可的结果.（2）分直线的斜率为零和不为零两种情况分别计算.(1)解：由题意，可得，而，所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为的椭圆，由，得，所以曲线的方程为.(2)当直线的斜率为不为0时，设直线的方程为，设定点联立方程组，消可得，设，可得，所以.要使上式为定值，则，解得此时当直线的斜率为0时，此时，也符合.所以，存在点，使得为定值.

18、22(1)在上单调递增，在上单调递减(2)【解析】【分析】（1）求出导函数，利用的范围，判断导函数的符号，推出函数的单调区间即可.（2）不等式等价于在上恒成立，构造函数，通过函数的导数，利用二次函数的性质，说明极值点一正一负，设函数，利用导函数，结合函数的单调性，转化求解的范围即可.(1)解：（1）因为的定义域为，且.若，则，所以在上单调递增.若，令，得.当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.(2)（2）不等式在上恒成立等价于在上恒成立，令，则.对于函数，所以其必有两个零点.又两个零点之积为-1，所以两个零点一正一负，设其中一个零点，则，即.此时在上单调递增，在上单调递减，故，即.设函数，则.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.又，所以.由在上单调递增，得.故的取值范围为.