d=r
d>r
公共点个数
2
1
0
公共点名称
交点
切点
无
直线名称
割线
切线
无
2、有关定理和概念
切线的判定定理:
判定方法:
①②③
切线的性质定理及推论:
切线长定理:
三角形的内切圆和内心:
【典型例题】
例1、如图80303,已知AB是⊙O的直径,C在AB的延长线上,CD切⊙O于D,DE⊥AB于E,求证:
∠EDB=∠CDB。
例2、如图80304,已知AB是⊙O的一条直
径,过A作圆的切线AC,连结OC交⊙O于D;连结BD并延长交AC于E,AC=AB
①求证:
CD是ΔADE外接圆的切线。
②若CD的延长线交⊙O于F,求证:
=
③若⊙O的直径AB=2,求tg∠CDE的值。
④若AC≠AB结论①还成立吗?
【基础训练】
1、若⊙O的半径为3cm,点P与圆心O的距离为6cm,则过点P和⊙O相切的两条切线的夹角为度。
2、已知圆的直径为13cm,如果直线和圆只有一个公共点,那么直线和圆心的距离为。
3、已知PA与⊙O相切于A点,PA=
∠APO=45°,则PO的长为。
4、已知ΔABC中,∠A=70°,点O是内心,则∠BOC的度数为。
5、已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点,⊙D与OA相切于点E且DE=2cm,则点D到OB的距离为。
6、如图80301,AE、AD和BC分别切⊙O于E、D、F,如果AD=20,则ΔABC的周长为。
7、如图80302,梯形ABCD中,AD∥BC,过A、B、D三点的⊙O交BC于E,且圆心O在BC上,①四边形ABED是什麽四边形?
请证明你的结论。
②若∠B=60°,AB:
AD:
BC=1:
1:
3则有哪些结论?
至少写出两个并加以证明。
【发展探究】
1、如图80305,设PMN是⊙O通过圆心的一条割线,①若PT切⊙O于点T,求证:
=
②若将PT绕点P逆时针旋转使其与⊙O相交于A、B两点,试探求
与
间的关系。
2、如果上题中的割线PMN不通过圆心,上述结论是否仍然成立?
【优化评价】
1、⊙O的半径是8,⊙O的一条弦AB长为8
以4为半径的同心圆与AB的位置关系是。
2、在RtΔABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心,R为半径新作的圆与斜边AB只有一个公共点,则R的取值范围是。
3、在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,以CD为直径的圆切AB于E点,AD=3,BC=4,则⊙O的直径为。
4、RtΔABC中,∠A=90°,⊙O分别与AB、AC相切于点E、F,圆心O在BC上,若AB=a,AC=b,则⊙O的半径等于()。
A、
B、
C、
D、
5、如图80306,ΔABC是⊙O的内接三角形,DE切圆于F点,且DE∥BC,那么图中与∠BFD相等的角的个数是()。
A、5B、3C、4D、2
6、如图80307,AB⊥BC,且AB=BC,以AB为直径作半圆O交AC于D,则图中阴影部分的面积是ΔABC面积的()。
A、1倍B、
倍C、
倍D、
倍
7、如图80308,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上的任一点,BP的延长线交⊙O于点Q,点R在OA的延长线上,且RP=RQ。
①求证:
RQ是⊙O的切线。
②求证:
OB2=PB·PQ+OP2。
③当RA≤OA时,试确定∠B的范围。
8、如图80309,点A在⊙O外,射线AO与⊙O交于F,G两点,点H在⊙O上,弧FH=弧GH,点D是弧FH上一个动点(不运动至F),BD是⊙O的直径,连结AB,交⊙O于点C,连结CD,交AO于点E,且OA=
OF=1,设AC=x,AB=y。
①求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
②若DE=2CE,求证:
AD是⊙O的切线。
③当DE,DC的长是方程x2-ax+2=0的两根时,
求sin∠DAB的值。
第三节与圆有关的角
【知识回顾】
与圆有关的角:
⑴圆心角定义(等对等定理)
⑵圆周角定义(圆周角定理,与圆心角的关系)
⑶弦切角定义(弦切角定理)
【考点分析】
圆心角定理,圆周角定理,弦切角定理,圆内接四边形定理以及相关概念,能熟练地运用这些知识进行有关证明与计算。
【典型例题】
例1、⑴已知:
A、B、C、D、E、F、G、H顺次是⊙O的八等分点,则∠HDF=_______.
⑵如图1,AC是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,EC∥AB交⊙O于E,则图中与∠BOC的一半相等的角共有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
例2、⑴下列命题正确的是()
A.相等的角是对顶角;B.相等的圆周角所对的弧相等;
C.等弧所对的圆周角相等角;D.过任意三点可能确定一个圆。
⑵如图2,经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P,
若∠CAP=40°,∠ACP=100°,则∠BAC所对的弧的度数为()
A.40°B.100°C.120°D.30°
⑶如图3,AB、AC是⊙O的两条弦,延长CA到D,使AD=AB,若∠ADB=35°,则∠BOC=____.
例3、⑴如图4,CD是⊙O的直径,AE切⊙O于B点,DC的延长线交AB于点A,∠A=20°,则∠DBE=_________.
⑵如图5,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,CD与⊙O切于C,那么∠CAB=_____度。
例4、已知,如图6,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连结AC,过点C作直线CD⊥AB于D(AD<DB=,点E是DB上任意一点(点D、B除外),直线CE交⊙O于点F,连结AF与直线CD交于点G。
⑴求证:
AC2=AG·AF;⑵若点E是AD(点A除外)上任意一点,上述结论是否任然成立?
若成立,请画出图形并给予证明;若不成立,请说明理由。
【基础练习】
1、填空题:
⑴如图7,OA、OB是⊙O的两条半径,BC是⊙O的切线,
且∠AOB=84°,则∠ABC的度数为___________.
⑵如图8,C是⊙O上的一点,AB为100°,则∠AOB=_____度,
∠ACB=_______度。
⑶圆内结四边形ABCD中,如果∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
4,那么∠D=_____度。
⑷如图9,△ABC中,∠C=90°,⊙O切AB于D,切BC于E,切AC于F,则∠EDF=_____。
2、选择题:
⑴如图10,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,E为AB延长线上一点,∠CBE=40°,∠AOC等于()
A.20°B.40°C.80°D.100°
⑵△ABC内接于⊙O,∠A=30°,若BC=4cm,则⊙O的直径为()
A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm
⑶如图11,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,则tan∠BPD等于()
A.
B.
C.
D.
⑷如图12,AB是半圆O的直径,C、D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P,∠PCB=29°,则∠ADC=()
A.109°B.119°C.120°D.129°
3、如图13,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线XY切⊙O于点C,弦BD∥XY,AB、BD相交于点E。
⑴求证:
△ABD≌△ACD;⑵若AB=6cm,BC=4cm,求AE的长。
【能力创新】
5、如图14,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于P。
⑴已知:
CD=8cm,
∠B=30°,求⊙O的半径;⑵如果弦AE交CD于F,求证:
AC2=AF·AE.
.
第四节与圆有关的比例线段
【知识回顾】
与圆有关的比例线段
1.相交弦定理
2.切割线定理
【考点分析】
1、和圆有关的线段间的比例关系可列表如下:
相交弦定理及推论1
切割线定理及推论2
条件
弦AB,CD相交于P点
弦CD⊥直径AB交于P点
PT是⊙O的切线,PAB是⊙O的割线
PAB、PCD均为⊙O的割线
图形
图80401
图80402
图80403
图80404
结论
PA·PB=PC·PD
PC2=PA·PB
PT2=PA·PB
PA·PB=PC·PD
2、可深化得出的结论:
PA·PB为常数。
设⊙O的半径为R,对于相交弦则有PA·PB=R2-OP2,对于切割线则有PA·PB=OP2-R2。
3、解题方法:
①直接应用相交弦定理,切割线定理及其推论;②找相似三角形,当不能直接运用定理和推论时,通常用添加辅助线的方式以证明三角形相似得证。
【典型例析】
例1、如图80406,已知ΔABC是⊙O的内接三角形,PA是切线,PB交AC于E点,交⊙O于D点,且PE=PA,∠ABC=60°,PD=1,BD=8。
求CE的长。
例2、如图80407,已知PA切⊙O于A点,PBC为割线,弦CD∥AP,AD交BC于E点,F在CE上,且ED2=EF·EC。
求证:
①∠EDF=∠P②求证:
CE·EB=EF·EP
③若CE:
EB=3:
2,DE=6,EF=4,求PA的长。
【基础训练】
1、已知:
AB·CD为⊙O得两条弦,AB与CD交于点P且点P为CD得中点,PC=4,则PA·PB=。
2、已知RtΔABC的两条直角边AC,BC得长分别为3cm,4cm。
以AC为直径作圆于斜边AB交于点D,则BD得长为。
3、已知割线PBC与⊙O交于点B点C且PB=BC。
如果OP与⊙O交于点A,且OA=7,AP=2,则PC的长为。
4、已知PA为⊙O的切线,A为切点,PBC时过点O得割线,PA=10cm,PB=5cm,则⊙O的半径为。
5、⊙O的一弦AB=10cm,P是AB上一点,PA=4cm,OP=5cm,则⊙O的直径为。
6、如图80405,已知ΔABC中,AD平分∠BAC,过A、B、D作⊙O,EF切⊙O于D点,交AC于E点。
求证:
CD2=CE·AC。
【发展探究】
如图80408,正方形ABCD的边长为2a,H是以BC为直径的半圆上的一点,过H与半圆相切的直线交AB于点E,交CD于点F,①当H在半圆上移动时,切线EF在AB、CD上的两个交点分别在AB、CD上移动(E与A不重合,F与D不重合),试问四边形AEFD的周长是否也在变化?
请证明你的结论;②若∠BEF=60°,求四边形BCFE的周长;③设四边形BCFE的面积为S1,正方形ABCD的面积为S。
当H在什么位置时,S1=
S。
【优化评价】
1、已知AEB、ADC是⊙O的两条割线,且AB>AE,AC>AD,AT切⊙O于T,若AD=4,DE=2,AE=3,AT=6,则BC=。
2、已知P为圆外一点,PA切⊙O于A点,PA=8,直线PCB交圆于C、B且PC=4,AD⊥BC于D点,∠ABC=χ,∠ACB=β,则
的值为。
3、等边三角形的内切圆半径,外接圆半径和高的比为()。
A、1:
:
B、1:
:
2
C、1:
2:
3D、1:
2:
4、已知梯形ABCD外切于⊙O,AD∥BC,∠B=60°,∠C=45°,⊙O的半径为10,则梯形的中位线长为()。
A、10B、
+10
C、20D、20
5、在半径为r的⊙O中,一条弦AB等于r,则以O为圆心,
r为半径的圆与AB的位置关系是()。
A、相离B、相切C、相交D、不能确定
6、如图80409,PT为⊙O的切线,T为切点,PA为割线,它与⊙O的交点是B、A与直线CT的交点是D,已知DD=2,AD=3,BD=4,求PB的长。
7、如图80410,PA是⊙O的直径,PC是⊙O的弦,过弧AC中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B。
若HB=6,BC=4。
求⊙O的直径。
8、如图80411,⊙O是以AB为直径的ΔABC的外接圆,D是劣弧弧BC中点,连AD并延长与过C点的切线交于点P。
①求证:
=
②当AC=6,AB=10时,求切线PC的长。
第五节圆和圆的位置关系
【知识回顾】
1.五种位置关系及判定与性质:
(重点:
相切)
2.相切(交)两圆连心线的性质定理
3.两圆的公切线:
⑴定义⑵性质
【考点分析】
1、五种位置关系及其数量特征(注意“数形结合”)。
两圆位置关系
相交
相切
相离
外切
内切
外离
内含
d与R、r
的关系
R-r(R>r)
d=
R+r
d=
R-r
(R>r)
d>
R+r
d<
R-r
(R>r)
公共点个数
2
1
1
0
0
外公切线条数
2
2
1
2
0
内公切线条数
0
1
0
2
0
公切线条数
2
3
1
4
0
★记忆方法:
OR-rR+r
★★★d
内含相交外离
2、有关定理:
连心线的性质:
当两圆相交时,连心线垂直平分公共弦;当两圆相切时,连心线过切点;当两圆外离时,连心线过内(外)公切线的交点且连心线平分两条公切线的夹角;当两圆内含时,连心线是对称轴。
公切线的性质:
两圆的两条外(内)公切线的长相等;两条外(内)公切线的交点在连心线上且夹角被连心线平分。
公切线长的计算公式:
l外公切线=
l内公切线=
.
.两个圆是轴对称图形,两圆的连心线是它的对称轴。
3、思想方法:
(1)抓住“切点”,明辨圆与圆的相切及圆与直线的相切,并充分、合理地运用有关“切”的定理。
(2)全面思考问题:
如两圆无公共点,则为外离或内含;相切分“外切”和“内切”;两个圆心可在公共弦和同侧或异侧。
(3)发现和建立两圆之间的联系,注意有些线段或角具有双重身份,应灵活使用。
【典型例题】
例1、如图80501,已知⊙01和⊙02相交于A,B。
0102交⊙01于P,PA,PB的延长线分别是交⊙02于C,D,求证:
AC=BD。
证法一:
连AB作02M⊥AC,02N⊥BD。
证法二:
连AB。
例2、如图80502,⊙01和⊙02外切于点C,外公切线AB交0102的延长线于P,∠A01P=60°,0102=2,求两圆的半径。
证法一:
连02B。
证法二:
作02D⊥01A。
【基础训练】
1、若
(1)直径分别为6和8,圆心距为10;
(2)只有一条公切线;(3)R2+d2-r2=2Rd则两圆的位置关系分别为、和。
2、若两圆既有外公切线,又有内公切线,则两圆半径R和r及圆心距d的关系是()。
A、dR+rD、d≥R+r
3、两圆外切于A,BC是外公切线,则ΔABC为()。
A、锐角三角形B、直角三角形
C、钝角三角形D、等边三角形
4、两个等圆⊙01和⊙02相交于A、B两点,且O2在⊙01上。
则四边形O1AO2B是()。
A、平行四边形B、菱形
C、正方形D、梯形
5、两圆外切,当两圆外切时,圆心距为20.那么两圆内切时,圆心距()。
A、8B、12C、4D、小于4
6、两园外切,其半径分别为6和2,则两条外公切线的夹角等于()。
A、30°B、45°C、60°D、90°
7、两圆半径分别为4和2,一条公切线为4,则两圆的位置关系为()。
A、外切B、内切C、外离D、相交
8、三个同心圆的半径分别为r1,r2,r3,且r1如果大圆的面积被两个小圆三等分,那么r1:
r2:
r3等于()。
A、1:
2:
3B、1:
:
C、1:
4:
6D、2:
3:
5
9、两圆的圆心坐标分别为(
,0)和(0,1),它们的半径分别是4和6,则两圆的位置关系是()。
A、外离B、外切C、相交D、内切
10、相交两圆的公共弦为6,半径分别为4和5。
则圆心距为()。
A、4+
B、4-
C、4+
或4-
D、不同于以上答案
【发展探究】
如图80503,半径为R和r的⊙01和⊙02外切于P,切点P到外公切线AB的距离PQ=d,写出R、r、d之间的一个数量关系,并证明你的结论。
证明:
ΔCP02∽ΔD0102=>
=
=>
+
=
·相似是平几的重要手段。
·掌握“从未知看需知靠拢已知”“(分析法)”和从已知看可推知向未知”〔综合法〕。
【优化评价】
1、若︱R-d︱=r,则两圆的位置关系是()。
A、相交B、外切C、相切D、内切
2、在两圆的五种位置关系中,没有内公切线的有()。
A、4种B、3种C、2种D、1种
3、两圆相外切,且它们的两条外公切线互相垂直,其中大圆半径等于5cm,则外公切线的长为()。
A、5(3-2
)cmB、5cmC、10(
-1)cm
D、5(5-3
)cm
4、平面上三个圆两两相切,则切点个数最少是()。
A、1个B、2个C、3个D、4个
5、圆A,圆B,圆C两两外切于D,E,F,则ΔDEF的外心是ΔABC的()。
A、内心B、外心C、垂心D、重心
6、⊙01和⊙02交于A,B,P为0102的中点,直线MN过A且垂直于PA交两圆于M,N,若MN=2
则AM等于()。
A、1B、
C、
D、2
7、⊙01和⊙02交于A,B,直线EF平行于0102分别交两圆于E,F,若0102=3,则0102:
EF=()。
A、
B、
C、
D、
8、圆A,圆B,圆C两两外切,半径分别为
、
、
则ΔABC为()。
A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰直角三角形。
9、圆01和圆02相外切,又都内切于圆O3,01、02、O3在一条直线上0102=8cm,则圆O3的半径为()。
A、4cmB、5cmC、6cmD、8cm
10、定圆O的半径为4cm,动圆P的半径为1cm,若两圆外切,则PO=,点P在上移动。