12.[2019·河南濮阳一中质检]已知函数f(x)=x3+x2+ax.若g(x)=,且对任意x1∈,存在x2∈,使f′(x1)≤g(x2)成立,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.[,e)D.
答案:
A
解析:
对任意x1∈,存在x2∈,使f′(x1)≤g(x2),∴[f′(x)]max≤[g(x)]max.
又f′(x)=(x+1)2+a-1在上单调递增,
∴[f′(x)]max=f′
(2)=8+a.而g(x)在上单调递减,则[g(x)]max=g=,∴8+a≤,则a≤-8.故选A.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.log3-log3+(-1)0-+cos=________.
答案:
0
解析:
原式=log3(÷)+1--=1+1--=0.
14.已知命题p:
∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:
∃x∈R,x2+2ax+2-a=0,若命题p且q是真命题,则实数a的取值范围是__________.
答案:
{a|a≤-2或a=1}
解析:
由x2-a≥0,得a≤x2,因为x∈[1,2],所以a≤1.要使q成立,则有Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0,解得a≥1或a≤-2.因为命题p且q是真命题,所以p,q同时为真,即,故a≤-2或a=1.
15.已知f(x)=则f(f(0))=________.
答案:
-2
解析:
因为f(0)=1,所以f(f(0))=f
(1)=-2.
16.[2019·西安八校联考]曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A,△OAB(O为原点)是以∠A为顶角的等腰三角形,则切线l的倾斜角为________.
答案:
60°
解析:
解法一 因为y=x3,所以y′=3x2.设点B(x0,x)(x0≠0),则kl=3x,所以切线l的方程为y-x=3x(x-x0).取y=0,则x=x0,所以点A.易知线段OB的垂直平分线方程为y-=-x-,根据线段OB的垂直平分线过点A可得-=-,解得x=,所以kl=3x=,故切线l的倾斜角为60°.
解法二 因为y=x3,所以y′=3x2.设点B(x0,x)(x0≠0),则kl=3x,所以切线l的方程为y-x=3x(x-x0).取y=0,则x=x0,所以点A.由|OA|=|AB|,得=+x,又x0≠0,所以x=,所以kl=3x=,故切线l的倾斜角为60°.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知函数f(x)=log3的定义域为R,值域为,求m,n的值.
解析:
由y=f(x)=log3,得3y=,即·x2-8x+3y-n=0
∵x∈R,∴Δ=64-4(3y-m)(3y-n)≥0,即32y-(m+n)·3y+mn-16≤0
由0≤y≤2,得1≤3y≤9,由根与系数的关系得,解得m=n=5.
18.(本小题满分12分)
[2019·重庆调研测试(二诊)]已知曲线f(x)=在点(e,f(e))处的切线与直线2x+e2y=0平行,a∈R.
(1)求a的值;
(2)求证:
>.
解析:
(1)f′(x)=,
由f′(e)==-,解得a=3.
(2)证明:
f(x)=,
f′(x)=.由f′(x)>0,得故f(x)在和(1,+∞)上单调递减,在上单调递增.
①当x∈(0,1)时,f(x)≥f=e.
∵′=,∴在(0,1)上单调递增,
∴<,即>.
②当x∈[1,+∞)时,ln2x+3lnx+3≥0+0+3=3.
令g(x)=,则g′(x)=.
∴g(x)在[1,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,
∴g(x)≤g
(2)=<3,
∴ln2x+3lnx+3>,即>.
综上,对任意x>0,均有>.
19.(本小题满分12分)
定义在R上的函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)+k(k为常数).
(1)判断k为何值时,f(x)为奇函数,并证明;
(2)设k=-1,f(x)是R上的增函数,且f(4)=5,若不等式f(mx2-2mx+3)>3对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
解析:
(1)k=0时,f(x)为R上的奇函数,证明如下:
令a=x,b=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,
即f(-x)=-f(x),
∴f(x)为R上的奇函数.
(2)k=-1时,令a=b=2,则f(4)=2f
(2)-1,f
(2)=3
∴f(mx2-2mx+3)>f
(2)恒成立,
又f(x)是R上的增函数,∴mx2-2mx+3>2恒成立
即mx2-2mx+1>0
m=0时,3>2恒成立
m≠0时,有得0综上m的取值范围为[0,1).
20.(本小题满分12分)
[2019·河北馆陶县一中月考]设函数f(x)=lnx-(a+1)x,a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当函数f(x)有最大值且最大值大于3a-1时,求a的取值范围.
解析:
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=-(a+1)=.
①当a+1≤0,即a≤-1时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当a+1>0,即a>-1时,令f′(x)=0,解得x=,
(ⅰ)当00,函数单调递增;
(ⅱ)当x>时,f′(x)<0,函数单调递减.
综上所述,当a≤-1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>-1时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由
(1)得,若f(x)有最大值,则a>-1,且f(x)max=f=ln-1.
∵函数f(x)的最大值大于3a-1.
∴ln-1>3a-1,即ln(a+1)+3a<0(a>-1).
令g(a)=ln(a+1)+3a(a>-1),
∵g(0)=0且g(a)在(-1,+∞)上单调递增,
∴-1故a的取值范围为(-1,0).
21.(本小题满