最优控制理论考试重点.docx
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最优控制理论考试重点
1=to,x（to）=xot=tf,x（tf）^S
1.最优控制问题的性能指标
（1）积分型性能指标（拉格朗日型）：
J（u）=（tfL[x（t）,u（t）,t]dt
」0
反映控制过程偏差在某种意义下的平均或控制过程的快速性，同时能反映燃料或能量的消耗。
（2）末值型性能指标（梅耶型）：
J（u）=8[x（tf）,tf],接近目标集程度，即末态控制精度的度量。
tf
（3）综合性能指标（鲍尔扎型）：
J（u）=8[x（tf）,tf]十LL[x（t）,u（t）,t]dt。
2.最优控制问题的数学模型
给定系统的状态方程：
x（t）=f[x（t）,u（t）,t]；状态方程的边界条件:
给定性能指标：
J（u）=8[x（tf）,tf]+「L[x（t）,u（t）,t]dt;允许控制域u（t）:
u（t）^U。
3.最优控制应用的几种类型：
最短时间控制，最小能量控制，线性调节器，最少燃料消耗控制，线性跟踪器。
4.选取性能指标注意：
应能反映对系统的主要技术条件要求，便于对最优控制进行求解，所导出最优控制易于实现。
5.边界条件：
指状态向量在起点或终点的所有容许值的集合。
6.横截条件：
依据性能指标的要求，从容许值的集合中选择哪一点作为始态或终态的问题。
1.泛函：
对于某一类函数y（-）中的每一个函数y（x），变量J都有一个值与之相对应，那么变量府作依赖于函数
y（x）的泛函。
记为:
J=J[y（x）],y（x）称为泛函的宗量。
宗量的变分：
Sy=y（x）-y0（x）。
2.泛函的连续性：
对任意给定的正数总存在另一个正数5,当
y（x）-yo（x）<5,y（x）-yo（x）<5,...,y（k）（x）-y0k）（x）曷,...时，J[y（x）]-J[y。
（x）]|<尊，则称泛函J[y（x）]在点yo（x）处是连续的，而此时y（x）与yo（x）具有k阶接近度。
J[y（x）]满足：
（1）J[yi（x）+y2（x）]=J[yi（x）]+J[y2（x）],
（2）J[ay（x）]=aJ[y（x）]则称其为线性泛函。
3.泛函的变分（计算题）
设泛函J[y（x）]为连续泛函，则泛函增量的线性主部称为泛函的变分，记为：
Jo泛函的变分是唯一的。
泛函J[y（x）]的求解：
6J[y（x）]=£j[y（x）+^y（x）]从。
■,
。
.fL[t,x（t）,x（t）].
x（t）
-'方（t）
例=确定点A01）至给定直线y/（r）=2-r的最短的曲线方程。
解：
由氏至w的M长*=』（时+陵渲=J1+戈财
性能指标为y、
/[/（*）]=|A'l+
0
由欧拉方程二』孑
-）=0
煮^s/1+X
积分得，
根据始端Sr件:
根摒终端横截条件'
[Li<^-x）£5.I-Jl+x2+（-1
得最优敦或方程，
沿最优轨线函数H相对最优控制u*（t）取绝对极小值，这是极小值原理的一个重要结论。
H[x*（t）"（t）,u*（t）,t]=m）irjH[x*（t）,（t）,u（t）,t]
设系统的状态方程为x'（t）=f[x（t）,u（t）,t]，控制u（t）是有第一类间断点的分段连续函数，属于p维空间中的有界闭集Q,满足不等式约束：
G[x（t）,u（t）,t]芝0，在终端时刻tf未知的情况下，为使状态自初态x（t0）=x0,
tf一、一一
转移到7两足边界条件M[x（tf）,tf]=0的终态，并使性能指标J=8[x（tf）,tf]+[F[x（t）,u（t）,t]dt达极小值。
设哈密而顿函数为H=F（x,u,t）+7：
f（x,u,t）则最优控制u*（t），最优轨线x*（t）和最优伴随向量入*（t）必须满足下列条件：
（1）沿最优轨线满足正则方程：
x=—，九=一也一（坦）T「，式中「是与时间t无关的拉格朗日乘子向
xjx
量，其维数与G相同，若G中不包含x,贝U：
九=—^―o
；:
x
（2）横截条件及边界条件：
—_'MTMT
A（tf）=[十（）v]t±,[H（x,u,Z,t）+十（）v]t土=0,x（to）=xo,M[x（tf）,tf]=0。
；x；x:
t:
t
・.，*K**・、八
⑶在最优轨线x*（t）上与最优控制u*（t）相对应的H函数取绝对极小值，即H（x,九，u,t）玄H（x,%,u,t）,
并且沿最优轨线，下式成立—=4-^）^°
；:
u；:
u
上述条件与不等式约束下的最优控制的必要条件相比较，横截条件及端点边界条件没有改变，仅“H=0这
:
u
一条件不成立，而代之以与最优控制相对应的函数为绝对极小，其次是正则方程略有改变，仅当G中不包含x
时，方程才不改变。
1.砰-砰控制原理：
若线性定常系统x（t）=Ax+Bu属于平凡情况，则其最短时间控制为u*（t）=-Msgn[BT7「（t）],u*（t）的各个分量都是时间的分段恒值函数，并均取边界值，称此为Bang-Bang原理。
n
即u*j（t）=-sgn[qj（t）]=-sgn{\bij（t）」t）},（j=1,2,...,m）i4
或u*j（t）=—sgn[Q（t）]=-sgn{BT[x*（t）,t]L*（t）}。
2.平凡最短时间控制系统：
q：
只是在各个孤立的瞬刻才取零值，u*是有第一类间断点的分段恒值函数。
.........-..*^
3.奇异（非平凡）最短时间控制系统：
qj在一段区间取零值。
..…一・・，,*T
并不意味着在该区间内最优控制不存在，仅表明，从必要条件不能推出确切美系式。
如果九（t）bj在某一时
....*，一・...、・...........
间区间内保持为零，则uj（t）为不确定值，这种情况称为奇异问题或非平凡问题，相应的时间区段称为奇异区段。
当整个时间区间内不出现奇异区段时，则称为非奇异问题或平凡问题，对于平凡问题，有以下几个定义及定理。
砰--砰控制原理也称为继电器型控制或开关控制，其主要特点是控制向量的分量都取控制域的边界，而且不断的从一个边界值切换到另一个边界值，从而构成一种最强的控制作用。
砰-砰控制实质是平凡时间最优问题，其最
优解也就是控制器的输出是一个类似于继电器动作的开关式动作。
最短时间控制存在定理：
若线性定常系统x（t）=Ax+Bu完全能控，矩阵A的特征值均具有非正实部，控制变量满足不等式约束|u（t）|vM,则最短时间控制存在。
最短时间控制的唯一性定理：
若线性定常系统x（t）=Ax+Bu属于平凡情况，若时间最优控制存在，则必定是唯一的。
开关次数定理：
若线性定常系统x（t）=Ax+Bu控制变量满足不等式约束|u（t）|若最短时间控制存在。
则必为Bang-Bang控制，并且每个控制分量在两个边界值之间的切换次数最多不超过n-1
次。
切换点为q.（t）=bj禹=0。
系统平凡的充要条件：
当且仅当m个矩阵Gj=[bj,Abj,A2bj，…,A^bj]中全部为非奇异矩阵时，系统是平凡
的。
（至少有一个为奇异矩阵时，系统是奇异的。
）
双积分模型的物理意义：
惯性负载在无阻力环境中运动。
双积分模型J
'（t）=X2（t）的最短时间控制问题，求解过程为：
、X2（t）=u（t）
*_.•、_
1）应用最小值原理得出最优控制表达式u=-sgn[7・2（t）]；2）解协态方程，结合开关次数定理，列出最优控制的
候选函数序列（4种）；3）在状态平面上分析状态转移轨线，寻找开关曲线，总结控制规律；
4）计算状态转移的最短时间。
解题步骤：
1）
列写H函数：
H=L+Vf；3）伴随方程:
控制肯定是燃料最优控制。
6）以此为依据来选择最优控制序列（最优轨线）
双积分模型的最少燃料控制问题，求解过程为：
1）应用最小值原理得出最优控制表达式；2）解协态方程，列出最优控制的候选函数序列（9个）；
3）燃料消耗量的下限为；4）在状态平面上分析状态转移轨线，寻找开关曲线，总结控制规律；
5）计算状态转移的所需时间、消耗燃料。
结论：
（1）（X10,X20）€7+
平凡情况：
只有｛+1｝序列可驱使系统状态到达原点，故为问题的解。
非干凡情况：
因为u（t）=-sgnQ20），v（t）,v（t）<1,则系统状态不可能到达原点。
*一.一…--,、f*f*tf
1）u=1为最优解；2）消耗燃料P（*0,x20）=「u（t）dt=Lu（t）dt=X20=—X20
^0'00
（2）（X10,x20）=R4
且燃料消耗为X20
八一一一*,、，、，.、..
非平凡情况：
u（t）=-sgn0、20）.v（t）,V（t）因而都是最优控制。
平凡情况：
只有序列｛0,+1｝和（-1,0,+1｝可驱使系统状态到达原点。
其中：
（0,+1｝控制下，燃料消耗为x20,
｛-1,0,+1｝,燃料消耗大于X20。
结论：
（0,+1｝为最优控制序列，且在各种情况下其响应时间最短。
（3）（X10,X20）匚R1
平凡情况：
只有序列（-1,0,+1｝可驱使系统状态到达原点。
结论：
燃料控制问题无解（8-燃料最优控制）。
双积分装置最少燃料问题的控制规律如下：
=+1）一尸+
tt:
=O（X］》U氏耳
根据什么原则选取状态转移颗迹?
最小能量控制问题指在控制过程中，控制系统的能量消耗为最小，与最小燃料消耗问题类似，也只有在有限时间内有意义。
最少燃料控制为三位式控制，存在（+1,0,-1）三种控制状态，与最短时间控制相比，多1个u=0的控制
状态，这意味着：
在状态转移的某些阶段，可借助系统中积存的能量来维持运动，根本不需要消耗能量。
双积分装置最少燃料系统的最优解取决于初态的位置。
即可无解，也可唯一解或多个解。
这意味着，同一个
问题，在某些初值下是平凡的，在另一些初值下是非平凡的。
单考虑燃料最少，相应可能太慢，应与时间综合考
tf
虑。
如：
米用时间燃料综合最优的指标函数，J[u（t）]=[[K+|u（t）]dt。
□最短时间控制与最少燃料控制的相互关系
统性二次型问8!
的提法：
祯）=.4（小（/）+3（顷（/）（6-1：
设线性时变系统的状态方程为
yv）一VV7'V7
假设控制向星响）不受约束，用】，Q）表示期望轴出，则误差向量为
e（t）=!
>（/）一｝«）（6-2）
求最优控制『（/）,使下列二次型性能指标最小.
./（〃）=-eT（tf）Fe（tJ.）4-[er。
）0。
心）+〃。
/&（，）〃（，）]出（6-3
■—1
F一半正定对定常效加权矩阵
W）—半王定对称时交加权矩阵
R（ty正定对称时变加权矩阵
In及人固定
正定二次型••…寸*黄0••…./出*）0••…半正定二次型…Vx^O••…,/Av>0;
实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0<>0）.
加权矩阵总可化为对称形式。
OOO
（ii）=^eT（〃）Fe（fj）+；[：
"+u（t）TR（t）u（t）]（1t（6—3）。
。
~~oo
性能指标的物理含义：
4=^e（t）TO（t）e（t）>0—状态转移过程中衡量川）大小的代价函数
Lu=:
〃（。
以（/）〃（/）>0—状态转移过程中衡量〃⑺大小的代价函数
0（O）=X（〃）'R（o）zo一终端代价函数（衡量终点误差）
线性二次型问题的本质：
用不大的控制，来保持辕小的误差.以达到能量和误差螺含最优的目的
统性二次型问题的三种重要情形:
t（/）=（6—D
y（i）=C（t）x（f）
照）=乂（。
一即）（6-2）
|1）d=OE）=Hf）=-e0状^^
B）i顷）=。
即）=用）输出调节器
|3）=0e（f）=»U）-v（f）跟踪问题
矩阵F,Q（t）,R（t）的每一元素，都是对应二次项的系数。
意义：
是借以权衡各个误差分量和控制分量重要程度的
加权矩阵。
对于重要的误差分量或控制分量，其系数取较大值；对于次要的误差分量或控制分量，系数取较小值;
而对于互不相关的误差分量或控制分量，系数取零值。
状态调节器：
用不大的控制能量，使状态保持在零值附近，因而称之为状态调节器问题。
输出调节器：
用不大的能量控制，使输出状态保持在零值附近，因而称之为输出调节器问题。
跟踪问题：
用不大的控制能量，使y（t）跟踪yr（t）的变化，因而称之为跟踪问题。
3.状态调节皆的设计步骤
<1>根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F.Q.R
（2）求醒黎卡提徽分方程.求懈矩阵P僧）
PBR~}BTP-O（6-21）
gAF
（3）求反馈增益矩阵K（t）及最优控制u*（V
=二-A_iy（6-18）
<4>求解最优SU#/。
佣）计算性能指标最优值
*•1r,7
J[.Y（/折]=7.v（f）rP（t）x（r}T〔6-23）
r越小，p（t）越平稳，x（t）衰减越快,u（t）幅值越大。
无限时间状态调节器问题：
“（f）"--Kx（t）=-R~]BrPx（t）
P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程。
PA+AtP-PBR-"P+Q=。
最优轨线满足下列线性定常齐次方程：
x（t）^[Ax-BR~}BTP]x（t）=[A-BK]x（f）
性能指标最优值
尸[的）]=[点）「*（"
线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。
有限时间输出调节器问题：
物理意义：
以较小的控制能量为代价，使输出保持在零值附近。
根据系统能观条件，输出调节器问题可转化为状态调节器问题。
u（f）-
P=-PA-AtP一PBR~xBtP-CtQC
（1）仍然是状态反馈，而不是输出反馈,说明构成最优控制系统需要全部信息。
（2）从工程上讲，x（t）是通过y（t）观测出来的，所以控制的先决条件是，受控系统应是可观测的。
无限时间输出调节器问题：
=-Kx（f）=Px（t）
PA-AtP-PBRWP+CtQC=0
线性时变系统的跟踪问题：
物理意义：
以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。
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