（2）方法一：
易得y==1+.
因为-1≤cosx≤1，所以y≤或y≥3，
故函数的值域为∪[3，+∞）.
方法二：
由题意得cosx=.因为-1≤cosx≤1，所以-1≤≤1，解得y≤或y≥3，
所以函数的值域为∪[3，+∞）.
例2 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.
【思维引导】注意到sinx+cosx与sinxcosx两者之间的关系，可设sinx+cosx=t，则有sinxcosx=，从而得到关于t的二次函数，注意变量t的取值范围.
【解答】设sinx+cosx=t，-≤t≤，且sinxcosx=，
所以y=+t==，
所以当t=-1时，ymin=-1；
当t=时，ymax=+.
故所求函数的值域为.
【精要点评】求三角函数值域的常用方法有：
（1）将函数式化为y=Asin（ωx+φ）的形式，然后根据定义域求出值域即可；
（2）采用反函数法，利用sinx和cosx的有界性求值域；
（3）采用换元法，转化为代数函数求解，但应特别注意所换新元的范围.
变式 函数y=cos2x+2sinx的最大值和最小值分别是 .
【答案】，1
【解析】由题知y=-2+，
因为≤x≤，所以≤sinx≤1，
所以当sinx=时，ymax=；当sinx=1时，ymin=1.
三角函数性质的综合应用
例3 已知向量a=，b=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=a·b.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）求函数f（x）在上的最大值和最小值.
【思维引导】先将向量关系转化为三角函数f（x）=Asin（ωx+φ），然后再求解.
【解答】
（1）f（x）=a·b=cosx·sinx-cos2x=sin2x-cos2x=sin，
所以f（x）的最小正周期T==π.
（2）令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，则-+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，即-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以f（x）的单调增区间为（k∈Z）.
（3）当x∈时，∈，
当x=0时，f（x）取得最小值f（0）=-；当x=时，f（x）取得最大值f=1.
所以f（x）在上的最大值和最小值分别为1，-.
【精要点评】一般地，此类问题需要把较为复杂的三角函数形式转化为f（x）=Asin（ωx+φ）+C的形式，然后再求周期、最值或单调区间等.其中最小正周期T=，单调区间与相应正弦（或余弦、正切）函数的性质有关，求最值时可借助三角函数的图象.
变式 已知函数f（x）=sin（2x+φ）（-π<φ<0），且其图象的一条对称轴是直线x=.
（1）求φ的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间.
【解答】
（1）因为x=是函数图象的一条对称轴，
所以sin=±1，
所以+φ=kπ+，k∈Z.
因为-π<φ<0，所以φ=-.
（2）由
（1）知φ=-，
所以f（x）=sin.
令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，
得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
故函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）.
1.函数y=|sinx|的单调增区间为 .
【答案】（k∈Z）
【解析】作出y=|sinx|的图象，由图象可知，单调增区间为（k∈Z）.
2.函数y=2sin2x-3sin2x的最大值是 .
【答案】+1
【解析】y=2×-3sin2x=-cos2x-3sin2x+1=-sin（2x+φ）+1，所以函数的最大值为+1.
3.函数f（x）=sin在区间上的最小值是 .
【答案】-
4.（2015·南通二调）若函数f（x）=2sin（ω>0）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为 .
【答案】
【解析】由题意得·=2，解得ω=.
5.（2015·南通期末）已知函数f（x）=sin，若y=f（x-φ）是偶函数，则φ= .
【答案】
【解析】f（x-φ）=sin=sin.因为y=f（x-φ）是偶函数，所以-2φ=+kπ（k∈Z），所以φ=--.又因为0<φ<，所以φ=.
趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第49~50页.
【检测与评估】
第25课 三角函数的图象和性质
一、填空题
1．函数y=的定义域为 .
2．函数y=tan的定义域为 .
3．函数y=的值域为 .
4．若函数f（x）=2sinωx（0<ω<1）在区间上的最大值为，则ω= .
5．（2014·苏州调研）若函数f（x）=sin（x+θ）的图象关于直线x=对称，则θ= .
6．函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期是 .
7．已知当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ= .
8．已知函数f（x）=sin，给出下列命题：
①f（x）的图象关于直线x=对称；
②f（x）的图象关于点对称；
③f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数；
④将f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到一个奇函数的图象.
其中正确的命题是 .（填序号）
二、解答题
9．（2014·福建卷）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）-.
（1）若0<α<，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间.
10．（2015·北京卷）已知函数f（x）=sinx-2sin2.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最小值.
11．已知函数f（x）=a+b.
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调增区间；
（2）当x∈[0，π]时，函数f（x）的值域为[5，8]，求a，b的值.
三、选做题
12．若函数y=cos（ω∈N*）图象的一个对称中心为，则ω的最小值为 .
13．已知函数y=sin在区间[0，t]上至少取得两次最大值，则正整数t的最小值为 .
【检测与评估答案】
第25课 三角函数的图象和性质
1．（k∈Z） 【解析】由cosx-≥0，得cosx≥，所以2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z）.
2． 【解析】因为-x≠kπ+（k∈Z），所以x≠-kπ-（k∈Z），即x≠kπ-（k∈Z）.
3． 【解析】由y=，得cosx=，所以≤1，即（y-2）2≤（y-1）2，解得y≥.
4． 【解析】由0≤x≤，得0≤ωx≤<，则f（x）在上单调递增.又f（x）在上的最大值为，所以2sin=，且0<<，所以=，即ω=.
5． 【解析】因为f（x）的图象关于直线x=对称，所以sin=±1，而0<θ<，所以θ=.
6．π 7．-
8．③④ 【解析】对于①，f=sin=sin=，不是最值，所以x=不是函数f（x）的图象的对称轴，故该命题错误；对于②，f=sin=1≠0，所以点不是函数f（x）的图象的对称中心，故该命题错误；对于③，函数f（x）的最小正周期T==π，当x∈时，令t=2x+∈，显然函数y=sint在上为增函数，故函数f（x）在上为增函数，所以该命题正确；对于④，把f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g（x）=sin=sin2x，是奇函数，所以该命题正确.
9．
（1）因为0<α<，sinα=，
所以cosα=，
所以f（α）=×-=.
（2）因为f（x）=sinxcosx+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=sin，
所以f（x）的最小正周期T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z），得kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），
所以f（x）的单调增区间为（k∈Z）.
10．
（1）因为f（x）=sinx+cosx-=2sin-，
所以f（x）的最小正周期为2π.
（2）因为0≤x≤，所以≤x+≤π.
当x+=π，即x=时，f（x）取得最小值.
所以f（x）在区间上的最小值为f=-.
11．f（x）=a（1+cosx+sinx）+b=asin+a+b.
（1）当a=-1时，f（x）=-sin+b-1，由2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），
得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），
所以函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）.
（2）因为0≤x≤π，所以≤x+≤，
所以-≤sin≤1，依题意知a≠0.
①当a>0时，
所以a=3-3，b=5．
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