七年级数学期末复习《三角形复习课》课案教师用.docx

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七年级数学期末复习《三角形复习课》课案教师用

课案教师用

三角形

（复习课）

【理论支持】

巴班斯基“教学过程最优化”理论：

教学过程最优化不是一种特殊的教学方法或教学手段，而是科学地指导教学、合理地组织教学过程的方法论原则；是在全面考虑教学规律、教学原则、教学任务、现代教学的形式和方法、该教学系统的特征以及内外部条件的基础上，教师对教学过程作出的一种目的性非常明确的安排，是教师有意识地、有科学根据地选择一种最适合于某一具体条件的课堂教学的模式和整个教学过程的模式，组织对教学过程的控制，以保证教学过程在规定的时间内发挥从一定标准看来是最优的作用，获得可能的最大效果。

本章主要研究三角形的边、高、中线、角平分线，三角形的稳定性，三角形的内角、外角，多边形的有关概念及其内角和。

教科书在学生已有的对三角形认识的基础上，首先整理了与三角形有关的线段，给出它们的符号表示；按照边的关系对三角形进行分类；通过探究三角形三边的大小关系，得出了两边之和大于第三边的结论；并从实际问题出发研究三角形的稳定性和四边形的不稳定性；对于三角形的内角，学生已经知道“三角形的内角和等于180”的结论，本章主要是对这个结论进行简单推理。

教科书通过探索把一个三角形的三个内角拼成一个平角的不同方法，找出说明三角形的内角和为180的思路，并对这个结论进行了简单推理，通过对三角形内角和等于180的简单论证，使学生进一步感受推理的作用；对于三角形的外角，通过探究得出了“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”等结论。

三角形是最常见的几何图形，也是最简单的一种多边形，在几何研究中，常常将多边形分割成三角形，利用三角形的性质来研究多边形的问题，本章就采用这种将多边形分割成三角形的方法来研究多边形的内角和，并探究得出了多边形的外角和等于360的结论。

本章在最后一节安排了一个课题学习“镶嵌”，使学生综合利用所学有关多边形的知识解决实际问题。

【教学目标】

1．通过小结本章的知识结构，培养学生分析、归纳、总结的能力。

2．使学生体验三角形性质：

三角形外角和、三角形的三边关系、多边形内角和、多边形外角和的探索过程，掌握三角形的性质，并会用它们进行有关计算。

3．使学生进一步理解某些正多边形能够铺满地面的道理。

4．理解三角形的三种重要线段——中线、角平分线和高的概念，并会画出这三种线段。

【教学重难点】

1．重点：

三边关系、三角形的外角性质，多边形的外角和与内角和以及高的画法。

2．难点：

灵活应用三角形的性质进行有关计算。

【课时安排】

一课时

【教学设计】

课前延伸

【知识梳理】

1．三角形的概念

不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．

三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.

注意：

（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；

（2）三角形是一个封闭的图形；

（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义．

2．三角形的三边关系

三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

注意：

（1）三边关系的依据是：

两点之间线段是短；

（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．

3．三角形的中线、角平分线、高

（1）三角形的中线

三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．

表示法：

1.AD是△ABC的BC上的中线.

2.BD=DC=

BC.

注意：

①三角形的中线是线段；

②三角形三条中线全在三角形的内部；

③三角形三条中线交于三角形内部一点；

④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．

（2）三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段

表示法：

1.AD是△ABC的∠BAC的平分线.

2.∠1=∠2=

∠BAC.

注意：

①三角形的角平分线是线段；

②三角形三条角平分线全在三角形的内部；

③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；

④用量角器画三角形的角平分线．

（3）三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．

表示法：

1.AD是△ABC的BC上的高线.

2.AD⊥BC于D.

3.∠ADB=∠ADC=90°.

注意：

①三角形的高是线段；

②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；

③三角形三条高所在直线交于一点．

4．三角形的稳定性：

三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．

注意：

①三角形具有稳定性；

②四边形没有稳定性.

5．三角形的内角和定理

三角形的内角和等于180°．推理过程：

一、作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=1800，

即∠A+∠B+∠ACB=1800．

二、作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=1800，

即∠BAC+∠B+∠C=1800．

注意：

①证明的思路很多，基本思想是组成平角．

②应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．

6．三角形的外角的定义

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

注意：

每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.

如:

∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.

所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处

只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.

7．三角形外角的性质

（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．

（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．

注意：

①它不相邻的内角不容忽视；

②作CM∥AB由于B、C、D共线

∴∠A=∠1，∠B=∠2.

即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.

那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.

8．多边形的概念

（1）在同一平面内，由不在一直线上的n（n≥3的整数）条线段首尾顺次相接而组成的图形叫做n边形.

注意：

①有几条边就是几边形；三角形、四边形是最简单的多边形．

②多边形相邻两边组成的角是它的内角．

③多边形的边和它邻边的延长线组成的角是它的外角．

④连接多边形不相邻的两个顶点的线段是它的对角线．

⑤各个角相等，各条边都相等的多边形是正多边形．

⑥下面两图中，图

（1）任何一条边所在的直线整个图形都在这条直线同一侧，这样的图形我们称它为凸多边形，而图

（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线、整个n边形不都在这条直线的同一侧.我们称它为凹多边形，今后我们提到的多边形都是凸多边形.

9．多边形的内角和

n边形的内角和等于（n一2）·180°．

注意：

①要得到多边形的内角和可通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形；

②此公式可以已知边数求内角和，也可以已知内角和求边数．

10．多边形的外角和

多边形的外角和等于360°．

注意：

多边形的外角和与它的边数无关．

11．平面镶嵌

（1）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完整覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）

（2）用同一种正多边形镶嵌

用同一种正多边形镶嵌，只要正多边形内角的度数整除360°，这种正多边形就能作平面镶嵌

注意：

①正三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌；

②而正五边形、正七边形、正八边形、正九边形、……的内角的度数都不能整除360°，所以这些正多边形都不能镶嵌．

（3）用两种或以上正多边形镶嵌

用两种或以上正多边形镶嵌只要几个正多边形的内角和是3600就行．

（4）用一般多边形镶嵌

用同一种三角形、同一种四边形都可以．

〖设计说明〗通过知识点的呈现,加深学生对所学知识的理解,进一步提升学生的认知能力。

预习练习

１.画三角形。

学生画自己喜欢的三角形并画出高。

２.判断

①一个三角形中至少有两个锐角。

（　）

②等腰三角形一定是锐角三角形。

（　）

③等边三角形一定是锐角三角形。

（　）

④等边三角形一定是等腰三角形。

（　）

⑤等腰直角三角形的底角一定是45度。

（　）

⑥大的三角形比小的三角形内角和度数大。

（　）

⑦底和高都分别相等的两个三角形，它们的形状一定相同。

（　）

３.选择

（1）一个三角形最大的内角是120度，这个三角形是（）三角形。

①钝角②锐角③直角　　④不好判断

（2）在一个三角形中，最大的内角小于90度，这个三角形是（）三角形。

①锐角②钝角③直角

（3）两个完全一样的（）三角形，可以拼成一个正方形。

①锐角②直角③等腰直角

（4）有一个角是60度的（）三角形，一定是等边三角形。

①任意②直角③等腰

（5）当三角形中两个内角之和等于第三个角时，这是一个（）三角形。

　①锐角②直角③钝角

４.解决问题

一根铁丝长９０厘米，

①用这根铁丝围成一个腰长为３４厘米的等腰三角形，这个三角形的底边是多少厘米？

②如果用这根铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是多少厘米？

５.智慧角

⑴已知三角形中的两条边分别是4cm、6cm，那么第三条边必须大于（　　）cm，必须小于（　　）cm；如果这是一个等腰三角形，那么第三条边可以是（　　）cm。

⑵在一个等腰三角形中已知一个角是50度，底角可能是（　　）度，这时顶角是（　　）度。

〖设计说明〗通过简单题型的训练，加强学生对所学知识升华，体验数学源于生活又高于生活的内涵。

课内探究

【自主探究】

一、知识要点:

（教师问:

学生思考,回答.教师画图补充说明）

二、典题分析：

考点一、数三角形的个数

例1图中三角形的个数是（）

A．8B．9C．10D．11

分析与解：

以某一条线段为三角形的边依次找三角形．选B．

〖设计说明〗：

考查三角形的概念，能从复杂的图形分解出基本图形，会采用适当的方法找到这些基本图形，数三角形时不能重复，不能遗漏．注意按一定的顺序找．

练习1：

当三角形内部有1个点时，互不重叠的三角形的数目为3；当三角形内部有2个点时，互不重叠的三角形的数目为5．

（1）当三角形内部有3个点时，互不重叠的三角形的数目为________；

（2）当三角形内部有4个点时，互不重叠的三角形的数目为_________；

（3）当三角形内部有n个点时，互不重叠的三角形的数目为___________；

（4）互不重叠的三角形的数目能否为2007，若能请求出三角形内部点的个数；若不能，请说明理由．

分析与解：

（1）作出图形，依次数，7；

（2）探索规律，3，5，7，从而得9；

（3）2n+1；（4）2n+1=2007，n=1003，当四边形内部有1003个点时，共有2007个三角形．

〖设计说明〗通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生学习热情。

考点二、三角形三边关系

例2已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是（）

A．l，2，3B．2，5，8C．3，4，5D．4，5，10

分析与解：

三条线段能否构成一个三角形，关键在于判定它们是否符合三角形三边的不等关系，符合即可构成一个三角形，不符合就不可能构成一个三角形.对于A，由于1+2=3，不能组成三角形；对于B，由于2+5<8，不能组成三角形；对于D，由于4+5<10，不能组成三角形．所以选C．

点评：

想用二根长为a、b（a>b）的木棒，构成一个三角形，由第三根木棒的长度应介于a—b和a+b之间．

练习2：

（1）下列各组条件中，不能组成三角形的是（）

A.a+1、a+2、a+3（a>3）B.3cm、8cm、10cm

C.三条线段之比为1:

2:

3D.3a、5a、2a+1（a>1）

分析与解：

选项C

（2）以长为3cm，5cm，7cm，10cm的四根木棍中的三根木棍为边，可以构成三角形的个数是（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

分析与解：

以四根木棍中的三根木棍主长共可以组成：

3，5，7、3，5，10、3，7，10、5，7，10共四种情况．其中只有两种情况能组成三角形．选A．

〖设计说明〗通过小题训练，再次强调三角形三边之间的关系，三条线段组成三角形的条件。

考点三、三角形的稳定性

例3下列图形具有稳定性的有（）

A.只有

（1），

（2）B.只有

（2），（3），（4）C.只有（5），（4）D.

（1），

（2），（3），（4），（5）

分析与解：

三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．选B．

练习3：

（1）如图，木工师傅做完门框后，为了防止变形，常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条，这样做的数学道理是．

分析与解：

三角形的稳定性．

（2）下列由几根木条用钉子钉成如下的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（）

ABCD

分析与解：

三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．选C．

〖设计说明〗三角形的稳定性在生产和生活中是很有用的，数学来源于生活，也应用于生活。

让学生体会数学在生活中的实际运用。

考点四、三角形内角和定理：

例4△ABC中，∠B=

∠A=

∠C，求∠B的度数.

分析与解：

设∠B=x0，则∠A=3x０，∠C=4x０，从而x+3x+4x=180，x=22.5．

即：

∠B=22.50，∠A=67.50，∠C=900．

点评：

在一个三角形中，当已知三角关系时，可通过列方程的方法求出三个角．

〖设计说明〗利用方程思想方法来解决几何问题，把未知向已知转化

练习4

1.如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（）

A.95°B.120°C.135°D.650

分析与解：

∠O=1800—（∠OBC+∠OCB）

=1800—（1800—（∠1+∠2+∠A）=∠1+∠2+∠A=1350．

点评：

几何题的解题关键是：

把未知向已知转化．

2.如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，

恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．

直角顶点x在△ABC内部，若∠A＝30°，

则∠ABC＋∠ACB＝度，∠XBC＋∠XCB＝度；

（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，直角顶点x还在△ABC内部，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？

若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．

分析与解：

（1）∠ABC+∠ACB=1800—∠A=1800—300=1500，

∠XBC+∠XCB=1800—∠X=1800—900=900；

（2）∵∠ABX+∠XBC+∠XCB+∠ACX+∠A=1800，

又∠XBC+∠XCB=1800—∠X=1800—900=900，

∴∠ABX+∠ACX=1800—900—300=600．

〖设计说明〗从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供现实的、有意义的、富有挑战性的练习题，激发学生的学习兴趣。

考点五、三角形的外角

例5下图能说明∠1＞∠2的是（）

分析与解：

利用三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．选C．

点评：

比较角的大小一般用外角大于不相邻的一个内角．

练习5：

一个零件的形状如图，按规定∠Ａ应等于90°，∠Ｂ，∠Ｄ应分别是20°和30°，李叔叔量得∠ＤＣＢ＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？

分析与解：

连接AC，并延长至E，则∠1=∠3+∠D，∠2=∠4+∠B，

∠DCB=∠3+∠4+∠D+∠B=142°，

即这个零件不合格

考点六、多边形的对角线

例6观察下面图形，并回答问题.

①四边形、五边形、六边形各有几条对角线？

从中你能得到什么规律？

②根据规律你知道七边形有多少条对角线吗?

③你知道

边形有多少条对角线吗？

分析与解：

从多边形的一个顶点出发，可以引（n—3）条对角线，n个顶点共有n（n—3）条对角线，但有一半是重复的，所以n边形的对角线数目为

．

点评：

请记住多边形的对角线数目的公式．

〖设计说明〗体现了把复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。

通过公式的归纳过程，体现数形之间的联系，感受由特殊到一般的数学推理过程和数学思考方法。

练习6：

从一个多边形的一个顶点出发，可引12条对角线，则这个多边形的边数为（）．

A．12B．13C．14D．15

分析与解：

从多边形的一个顶点出发，引对角线，本身和相邻的两个点不可以引对角线，其它的点均可以引对角线，选D．

考点七、多边形的内角、外角

例7正五边形的一个内角的度数是．

分析与解：

本题有两个思路．

（1）从内角和方面考虑：

；

（2）从外角和方面考虑：

每一个外角为

，所以每一个外角为1800—720=1080．

练习7

（1）如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n＝．

分析与解：

设这个多边形的边数为n，则

．n=6．

点评：

要学会用代数的方法解几何题．

（2）小华从点A出发向前走10m，向右转36°然后继续向前走10m，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？

若能，当他走回到点A时共走多少米？

若不能，写出理由．

分析与解：

360可以看成是一个正多边形的外角，它正好是正十边形．故能回到A点，共走了100m．

考点八、平面镶嵌

例8如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（）

A．3B．4C．5D．6

分析与解：

用一种图形镶嵌，有三角形，四边形，正六边形用两种或以上正多边形镶嵌，其几个正多边形的内角和是3600．

．

练习8：

某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面.

（1）第1次铺2块，如图1；

（2）第2次把第1次铺的完全围起来，如图2.共用_____________块；

（3）第3次把第2次铺的完全围起来，如图3．共用______________块；…；

（4）依此方法，第n次铺完后，用字母n表示第n次镶嵌所使用的木块块数为.（n为正整数）

（5）王师傅说：

“在镶嵌地面时，有一次铺完后，我用去了100块木块”，小红说：

“不可能”，你认为小红说得有无道理？

分析与解：

（2）10；（3）18；（4）8n—6；（5）8n—6=100，n无整数解．小红说得有道理．

课堂小结：

1.、通过复习与练习使学生对本章知识有更深的了解，并会灵活运用三角形内角和等于180°，外角性质，外角和以及多边形的内角和解决实际问题，进一步理解正多边形能铺满地面的道理，提高学生分析问题、解决问题的能力。

2、思想方法总结：

本章涉及到了类比、化归、方程建模、分类讨论的数学思想方法：

如多边形的问题可化归成三角形的问题，求多边形的角度或多边形的边长可用方程建模的思想．

课后提升

1.三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是________．

2.四条线段的长分别为5cm、6cm、8cm、13cm，以其中任意三条线段为边可以构成________个三角形．

3．如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正______边形．

4．n边形的每个外角都等于45°，则n=________．

5．乘火车从A站出发，沿途经过3个车站方可到达B站，那么A、B两站之间需要安排______种不同的车票．

6．将一个正六边形纸片对折，并完全重合，那么，得到的图形是________边形，它的内角和（按一层计算）是_______度．

7．如图3，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=55°，则∠BOC的度数是_____．

8.如图，BD平分∠ABC，DA⊥AB，∠1=60°，∠BDC=80°，求∠C的度数．

9．如图：

（1）画△ABC的外角∠BCD，再画∠BCD的平分线CE．

（2）若∠A=∠B，请完成下面的证明：

已知：

△ABC中，∠A=∠B，CE是外角∠BCD的平分线．

求证：

CE∥AB．

〖设计说明〗通过课后作业，及时了解学生对本章知识的掌握情况，对教学方法和教学进度进行适当调整，并对有困难的学生给予适时的指导。

答案:

1．1

8-5<1+2x<8+5，解得1

2．2点拨：

以5cm、6cm、8cm或6cm、8cm、13cm为边长均可构成三角形．

3．七

4．8点拨：

n=

=8．

5．10

6．四；360

7．100°点拨：

连接AO并延长，易知∠BOC=∠BAC+∠1+∠2=55°+20°+25°=100°．

8．解：

在△ABD中，∵∠A=90°，∠1=60°，

∴∠ABD=90°-∠1=30°．

∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=30°．

在△BDC中，∠C=180°-（∠BDC+∠CBD）=180°-（80°+30°）=70°．

9．

（1）如答图

（2）证明：

∵∠A=∠B，∠BCD是△ABC的外角，

∴∠BCD=∠A+∠B=2∠B，

∵CE是外角∠BCD的平分线，

∴∠BCE=

∠BCD=

×2∠B=∠B，

∴CE∥AB（内错角相等，两直线平行）

点拨：

如答图所示，要证明两直线平行，只需证内错角∠B=∠BCE即可．