湖北省随州市广水市学年九年级上学期第三次月考数学试题.docx
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湖北省随州市广水市学年九年级上学期第三次月考数学试题
湖北省随州市广水市2021-2022学年九年级上学期第三次月考数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
评卷人
得分
一、单选题
1．下列四张扑克牌图案，属于中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若将抛物线
先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．抛物线
的对称轴是（ ）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
5．如图，在
中，
，
，
，将
绕点
按逆时针旋转
得到
，连接
，则
的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．如图，弓形
中，
，弓形所在圆的半径是
，则弓高
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．若3枚鸟卵全部成功孵化，则3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，将半径为1，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧AB上，点B的对应点为C，连接BC，则图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．在同一平面直角坐标系中，函数
和函数
（m是常数，且
）的图象可能是（ ）．
A．
B．
C．
D．
10．二次函数
的部分图象如图所示，图象经过点
，对称轴为直线
，下列结论：
①
；②
；③若点
、点
、点
在该函数图象上，则
；④若方程
的两根为
和
，且
，则
，其中正确的结论有（ ）
A．
个B．
个C．
个D．
个
评卷人
得分
二、填空题
11．关于x的方程5x2+kx-6=0的一个根是2，则另一个根是______．
12．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC=______度．
13．已知
，
是一元二次方程
的两实根，则
的值是_____．
14．如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为_____cm．（结果用π表示）
15．某游乐园要建一个圆形喷水池，在喷水池的中心安装一个大的喷水头，高度为
m，喷出的水柱沿抛物线轨迹运动（如图），在离中心水平距离4m处达到最高，高度为6m，之后落在水池边缘，那么这个喷水池的直径AB为____m．
16．如图，点
在正方形
的边
上，将
绕点
顺时针旋转90°到
的位置，连接
，过点
作
的垂线，垂足为点
，与
交于点
．若
，
，则
的长为______．
评卷人
得分
三、解答题
17．解方程
（1）
（2）
18．已知关于
的方程
有实数根．
（1）求
的取值范围；
（2）设方程的两根分别是
、
，且
，试求k的值．
19．为了解我县中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，根据成绩分成如下四个组：
A:
60≤x<70，B:
70≤x<80，C:
80≤x<90，D:
90≤x≤100，并制作出如下的扇形统计图和直方图.请根据图表信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中的m＝___，并在图中补全频数分布直方图；
（2）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在____组；
（3）4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A，C两组学生的概率是多少？
请列表或画树状图说明.
20．如图，
的顶点坐标分别为
，
，
．
（1）画出
关于点
的中心对称图形
；
（2）画出
绕原点
逆时针旋转
的
，直接写出点
的坐标为_________；
（3）若
内一点
绕原点
逆时针旋转
的对应点为
，则
的坐标为____________．（用含
，
的式子表示）
21．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作
交AB于点F，连接DB交
于点H，E是BC上的一点，且
，连接DE．
（1）求证：
DE是
的切线．
（2）若
，
，求
的半径．
22．某商家销售一种成本为
元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量
（件）与当天的销售单价
（元）满足一次函数关系，并且当
时，
；当
时，
．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过
元．
（1）求出
关于
的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是
元；
（3）求出商家销售该商品每天获得的最大利润．
23．【猜想】 如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG.试猜想线段BG和AE的数量关系是；
【探究】 如图2，正方形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°）．试判断你猜想的结论是否仍然成立，请利用图2证明你的结论；
【应用】 在图2中，BC＝DE＝4.当AE取最大值时，AF的值为多少？
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
的顶点坐标为
，与
轴交于点
，与
交于点
，
．
（1）求二次函数
的表达式；
（2）过点
作
平行于
轴，交抛物线于点
，点
为抛物线上的一点（点
在
上方），作
平行于
轴交
于点
，当点
在何位置时，四边形
的面积最大？
求出最大面积；
（3）若点
在抛物线上，点
在其对称轴上，以
，
，
，
为顶点的四边形是平行四边形，且
为其一边，求点
的坐标．
参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解．
解答：
解：
A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
2．A
【解析】
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】
解：
将抛物线
先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线：
故答案为：
A．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，图象平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．
3．D
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到Δ=（-2）2-4m＞0，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断．
【详解】
解：
根据题意得Δ=（-2）2-4m＞0，
解得m＜1．
故选：
D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．C
【解析】
【分析】
抛物线
的对称轴为：
根据公式直接计算即可.
【详解】
解：
抛物线
的对称轴是
故选C
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线.
5．C
【解析】
【分析】
由旋转性质得∠CAC1=600,AC=AC1=3，在Rt⊿ABC1中，BC1=
.
【详解】
因为
绕点
按逆时针旋转
得到
，
所以∠CAC1=600,AC=AC1=3
所以∠BAC1=∠BAC+∠CAC1=300+600=900,
所以，在Rt⊿ABC1中，
BC1=
故选C
【点睛】
考核知识点：
旋转性质，勾股定理.运用旋转性质是关键.
6．D
【解析】
【分析】
设弓形所在圆的圆心为
，连接
，则
，根据题意和垂径定理可得
，进而根据勾股定理求得
，即可求得
的长；
【详解】
解：
如图,设弓形所在圆的圆心为
，连接
，则
且经过
，则
在
中，
故选D
【点睛】
本题考查了垂径定理，弓形的高的定义，掌握垂径定理是解题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
根据题意列举出所有情况，看三只雏鸟中恰有2只雄鸟的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】
根据题意画图如下：
共8种情况，三只雏鸟中恰有两只雄鸟有3种情况，所以概率为
．故选C．
【点睛】
此题考查概率的求法；用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比；得到三只雏鸟中恰有两只雄鸟的情况数是解决本题的关键．
8．B
【解析】
【分析】
如图，连接OD.首先证明O，D，C共线，可得图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积=S△OBC-S扇形ODB，由此计算即可.
【详解】
解：
如图，连接OD．
由题意：
OA＝OD＝AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠AOD＝60°，
∵∠ADC＝∠AOB＝120°，
∴∠ADO+∠ADC＝180°，
∴O，D，C共线，
∴图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积＝S△OBC﹣S扇形ODB＝
×1×
﹣
＝
-
，
故选B．
【点睛】
本题考查旋转变换，扇形的面积公式，等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
9．D
【解析】
【分析】
根据函数图象判断两个m值是否相等，函数的图象是否正确即可得到答案．
【详解】
解：
A、根据函数图象可知：
一次函数解析式中m<0，二次函数解析式中m<0，两者符号相同，但根据a=m，b=2得抛物线的对称轴应在y轴的右侧，与图象不符，故该选项不符合题意；
B、根据函数图象可知：
一次函数解析式中m<0，二次函数解析式中m>0，故该选项不符合题意；
C、根据函数图象可知：
一次函数解析式中m>0，二次函数解析式中m>0，两者符号相同，但根据a=m，b=2得抛物线的对称轴应在y轴的左侧，与图象不符，故该选项不符合题意；
D、根据函数图象可知：
一次函数解析式中m<0，二次函数解析式中m<0，两者符号相同，根据a=m，b=2得抛物线的对称轴应在y轴的右侧，与图象相符，故该选项符合题意；
故选：
D．
【点睛】
此题考查一次函数与二次函数的图象性质，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
根据对称轴为
，即
即可判断①，根据当
时，函数值小于0，即可判断②，根据抛物线开口向下，当点的横坐标到对称轴的距离越远则函数值越小即可判断③，根据对称性，二次函数与
轴的另一个交点为
，方程
的解即
与
的交点的横坐标，作出图象，观察图象即可判断④
【详解】
解：
二次函数
的对称轴为
，即
故①正确；
观察图象可知当
时，函数值为
即
故②不正确；
二次函数
的对称轴为
，
点
、点
、点
在该函数图象上，
则
故③正确；
根据对称性，二次函数与
轴的另一个交点为
，
设抛物线的解析式为
，
方程
的解即
与
的交点的横坐标，如图，
则若方程
的两根为
和
，且
，则
，
故④正确
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故选B
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，图象法判断一元二次方程的解，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
11．
【解析】
【分析】
设另一根为x，利用根与系数的关系可得2x=
，进而求出x的值．
【详解】
解：
设方程的另一根为x，
∵方程5x2+kx-6=0有一个根是2，
∴2x=
，
解得x＝
，即方程的另一根是
，
故答案为：
．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和等于
，两根之积等于
是解题的关键．
12．35．
【解析】
【详解】
解：
如图，连接OA．∵OC⊥AB，∴
，∴∠AOC=∠COB=70°，∴∠ADC=
∠AOC=35°，故答案为35．
点睛：
本题考查圆周角定理、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
13．16
【解析】
【分析】
由根与系数的关系可得
，
，然后把所求式子利用多项式乘法法则展开后代入进行计算即可.
【详解】
，
是一元二次方程
的两实根，
，
，
，
故答案为
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键.
14．
【解析】
【分析】
先求出圆锥的底面半径，然后根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式进行求解即可．
【详解】
设底面圆的半径为rcm，
由勾股定理得：
r=
=6，
∴2πr=2π×6=12π，
故答案为12π．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系．
15．20
【解析】
【分析】
根据题意在离中心水平距离4m处达到最高，高度为6m，设顶点式解析式，求出解析式，再求出与x轴的交点坐标即可求出这个喷水池的直径AB．
【详解】
∵喷出的水柱中心4m处达到最高，高度为6m，
∴抛物线的顶点坐标为（4,6）或（−4,6），
设抛物线解析式为
或
即这个喷水头应设计的高度为
m.
把
代入抛物线解析式，解得：
所以,函数解析式为
或
当
时,抛物线与x轴的交点坐标为（10,0）或（−10,0），
∴圆形喷水池的直径为20m，
故答案为20.
【点睛】
考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.
16．
【解析】
【分析】
根据正方形性质和已知条件可知BC=CD=5，再由旋转可知DE=BF，设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+x，然后再证明△ABG∽△CEF，根据相似三角形的性质列方程求出x，最后求CE即可．
【详解】
解：
∵BG=3，CG=2
∴BC=BG+GC=2+3=5
∵正方形ABCD
∴CD=BC=5
设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+x
∵AH⊥EF，∠ABG=∠C=90°
∴∠HFG+∠AGF=90°，∠BAG+∠AGF=90°
∴∠HFG=∠BAG
∴△ABG∽△FCE
∴
即
，解得
∴CE=CD-DE=
．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程求出DE的长是解答本题的关键．
17．
（1）
；
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据公式法解一元二次方程即可；
（2）先移项，再根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】
解：
（1）
，
（2）
【点睛】
本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．
（1）
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程
有两个不相等的实数根得到
，求出
的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．
【详解】
（1）解：
∵原方程有实数根，
∴
，∴
，
∴
.
（2）∵
，
是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解之，得：
，
．
经检验，都符合原分式方程的根，
∵
，
∴
．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．
19．
（1）144；画图见解析；
（2）C（3）
【解析】
【分析】
（1）根据A：
60≤x<70有30人，圆心角为36°，即可求出总数，再求出C：
80≤x<90的人数，即可得出m的值；
（2）因为抽查的总人数为300，故中位数为：
第150个数和第151个数的平均数，这两个数都落在C组；
（3）列表格求出概率即可．
【详解】
（1）30÷
=300（人），
C组：
80≤x<90的人数=300－30－90－60=120（人），
∴m=360°×
=144°．
补全图形如下：
（2）因为抽查的总人数为300，故中位数为：
第150个数和第151个数的平均数，这两个数都落在C组；
（3）列表如下：
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
由表可知共有12种等可能结果，抽到A、C组人的共有两种结果，
∴P（AC）＝
＝
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．
（1）详见解析；
（2）图详见解析，点
的坐标为
；（3）
的坐标为
．
【解析】
【分析】
（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A2、B2、C2，从而得到C2点的坐标；
（3）利用
（2）中对应点的坐标变换规律写出Q的坐标．
【详解】
解：
（1）如图，
为所作；
（2）如图，
为所作；
点
的坐标为
（3）由
（2）中的规律可知
的坐标为
．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21．
（1）见解析；
（2）
的半径为
．
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接DF，先根据菱形的性质和SAS证明△DAF≌△DCE，得
，再由AD是圆的直径得∠AFD=90°，于是∠DEC=90°，然后利用
可得∠ADE=90°，问题即得证明；
（2）如图2，连接AH，先根据等腰三角形三线合一的性质得出
，再由DF是
和
的公共的直角边，根据勾股定理列出关于AD的方程，解方程即可求出AD的长，进一步即可求出圆的半径.
【详解】
（1）证明：
如图1，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴
，
，
，
∵
，∴
，即
，
∴
≌
，∴
.
∵AD是
的直径，∴
，∴
.
∵
，∴
，∴
.
∵OD是
的半径，∴DE是
的切线；
（2）解：
如图2，连接AH，
∵AD是
的直径，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，
在
和
中，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴
的半径为
．
【点睛】
本题以菱形为载体，综合考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质和勾股定理等知识，知识点多、综合性强，解答时需注意知识的前后联系，灵活运用方程思想.
22．
（1）
；
（2）销售单价定为40元；（3）该商品每天获得的最大利润为8960元．
【解析】
【分析】
（1）设
关于
的函数关系式为
，利用待定系数法即可得答案；
（2）根据利润=单件利润×销售量及
（1）中解析式可得关于x的一元二次方程，解方程并根据销售单价不能超过
元即可得答案；
（3）根据利润=单件利润×销售量可得w与x的关系式，根据二次函数的性质即可得答案．
【详解】
（1）设
关于
的函数关系式为
，
∵当
时，
；当
时，
，
∴
，
解得：
，
∴
．
（2）∵成本为
元，
，每天获得的利润是
元，
∴
，
解得：
，
．
∵物价部门规定，该商品的销售单价不能超过
元，
∴
不合题意，应舍去．
∴当销售单价定为
元时，商家销售该商品每天获得的利润是
元．
（3）设商家销售该商品每天获得的利润为
元，
则
，
∵
，
∴x≤50时，w随x的增大而增大，
∵
，
∴当
时，
取最大值为-10×（48-50）2+9000=
（元）．
答：
商家销售该商品每天获得的最大利润为
元．
【点睛】
本题考查一次函数、一元二次方程及二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及二次函数的性质是解题关键．
23．【猜想】 BG＝AE；【探究】成立，证明详见解析；【应用】 2
.
【解析】
【猜想】
：
由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
【探究】如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
【应用】可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．
【详解】
解：
【猜想】 如图1，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=AD，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG．
在△BDG和△ADE中，
∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴BG=AE．
故答案为：
BG=AE；
【探究】
成立，BG＝AE.理由如下：
如图2，连接AD.
∵在Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC.
∴∠ADG＋∠GDB＝90°.
∵四边形EFGD为正方形，
∴DE＝DG，且∠GDE＝90°.
∴∠ADG＋∠ADE＝90°.
∴∠BDG＝∠ADE.
在△BDG和△ADE中，
∴△BDG≌△ADE（SAS）．
∴BG＝AE.
【应用】
∵BG＝AE，
∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．
如图3，当旋转角为270°时，BG＝AE.
∵BC＝DE＝4，
∴BG＝2＋4＝6.
∴AE＝6.
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF＝
＝
＝2
.
【点睛】
本题考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
24．
（1）
;
（2）点
的坐标为
，四边形
的面积最大值为
，（3）
或
【解析】
【分析】
（1）设抛物线为
将
代入，待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）先令
求得点
的坐标，求得直线
的解析式，设
，则
，根据
求得表达式，根据二次函数的性质即可求得最值和
的坐标；
（3）根据题意作出图形，根据平行四边形的性质，①当
为对角线时，②当
为边时，通过平移的方法求得
坐标的对应关系，进而根据点
在抛物线上，解方程即可求得
的坐标．
【详解】
解：
（1）设抛物线为
将
代入，
解得
二次函数的表达式为
（2）令
，则
解得
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