初二数学平行四边形性质单元测试.docx
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初二数学平行四边形性质单元测试
初二数学上第四章平行四边形性质
4.1平行四边形的性质
练习一
下图是两组对边分别平行的四边形：
即：
AB∥CD，AD∥BC，那么
（1）各对边之间有什么样的数量关系？
为什么？
（2）各对角之间有什么样的数量关系?
为什么？
（3）如果连结AC、BD,交点为O，如图，那么AC、BD之间又有什么关系？
练习二
一、填空题
1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是________.
2.已知：
平行四边形一边AB=12cm,它的长是周长的
，则BC=______cm,CD=______cm.
3.如图1,在
ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，图中全等三角形共有________对.图1
4.如图1，如果该平行四边形的一条边长是8，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线长m的取值范围是________.
5.
ABCD中，若∠A∶∠B=1∶3,那么∠A=________，∠B=________，∠C=________，∠D=________.
二、选择题
1.平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必（）
A.大于1B.小于7
C.大于1且小于7D.小于7或大于1
2.在
ABCD中，M为CD的中点，如DC=2AD，则AM、BM夹角度数是（）
A.90°B.95°
C.85°D.100°
3.如图2，四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，∠CAD=32°.则∠ABC、∠CAB的度数分别为（）
A.28°，120°B.120°，28°图2
C.32°，120°D.120°，32°
三、求解与证明
1.如图3，已知
ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：
OE=OF.
图3图4
2.如图4，四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长.
测验评价结果：
_____________；对自己想说的一句话是：
______________________.
练习三
班级：
___________________________姓名：
___________________________
作业导航
理解平行四边形的意义和性质，会利用平行四边形的性质进行推理和计算.
一、选择题
1.在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（）
A.1∶2∶3∶4B.1∶2∶2∶1
C.1∶1∶2∶2D.2∶1∶2∶1
2.平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（）
A.2B.4C.6D.8
3.在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（）
A.60°B.80°C.100°D.120°
4.□ABCD的周长为36cm，AB=
BC，则较长边的长为（）
A.15cmB.7.5cmC.21cmD.10.5cm
5.如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（）
A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6
二、填空题
6.已知□ABCD中，∠B=70°，则∠A=______，∠C=______，∠D=______.
7.在□ABCD中，AB=3，BC=4，则□ABCD的周长等于_______.
8.平行四边形的周长等于56cm，两邻边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为_______.
9.在□ABCD中，∠A+∠C=270°，则∠B=______，∠C=______.
10.和直线l距离为8cm的直线有______条.
三、解答题
11.平行四边形的周长为36cm，一组邻边之差为4cm，求平行四边形各边的长.
12.如图，在□ABCD中，AB=AC，若□ABCD的周长为38cm，△ABC的周长比□ABCD的周长少10cm，求□ABCD的一组邻边的长.
13.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，MN是过O点的直线，交BC于M，交AD于N，BM=2，AN=2.8，求BC和AD的长.
14.如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？
说明理由.
15.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？
为什么？
参考答案1
（1）两组对边分别相等.理由如下：
连结BD，∵AB∥CD，AD∥BC
∴∠1=∠2，∠3=∠4
又∵BD=DB，
∴△ABD≌△CDB，∴AD=BC，AB=CD
（2）两组对角分别相等
由
（1）△ABD≌△CDB，∴∠A=∠C
∵AB∥BC，∴∠A+∠ABC=180°,
∠C+∠CDA=180°
∴∠ABC=∠CDA
（3）对角线互相平分
由
（1）AB=CD，∠3=∠4，∠AOB=∠COD
∴△AOB≌△COD，∴AO=OC，OB=OD
参考答案2
一、1.42.24CD=123.44.10＜x＜225.45°135°45°135°
二、1.C2.A3.B
三、1.证明：
∵
ABCD,∴OA=OC,DF∥EB
∴∠E=∠F
又∵∠EOA=∠FOC
∴△OAE≌△OCF,∴OE=OF
2.解：
∵
ABCD,∴BC=AD=12
CD=AB=13，OB=
BD
∵BD⊥AD
∴BD=
=
=5
∴OB=
参考答案3
一、1.D2.B3.C4.D5.B
二、6.110°110°70°7.148.21cm9.45°135°10.2
三、11.11cm,7cm,11cm,7cm12.9cm,10cm13.BC=AD=4.814.AE=CF□AECF
15.OE=OF,△BOE≌△DOF
4.2平行四边形的判别
一、参考例题
［例1］如图，在
ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，则四边形KLMN为平行四边形吗？
说明理由.
分析：
要说明四边形KLMN为平行四边形，则可从：
两组对边分别相等，或一组对边平行且相等中找条件.由已知是两组边相等，所以本题找两组对边分别相等这个条件，然后得证.
解：
四边形KLMN是平行四边形.
理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∠B=∠D
∵AK=CM，BL=DN，
∴BK=DM，CL=AN
∴△AKN≌△CML，△BKL≌△DMN
∴KN=ML，KL=MN
∴四边形KLMN是平行四边形.
［例2］已知如图：
在
ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？
说明理由.
分析：
要说明线段AC与EF互相平分，可以把这两条线段作为一个四边形的对角线，然后说明这个四边形是平行四边形即可.
解：
线段AC与EF互相平分
理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB∥CD,即AE∥CF，AB=CD
∵BE=DF，∴AE=CF
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AC与EF互相平分.
二、参考练习
1.用任意2个全等的三角形能拼成平行四边形吗？
自己画两个全等的三角形试一试，把你拼的图形画出来，说明理由.
答案：
用任意2个全等的三角形能拼成平行四边形.
用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来说明理由.
2.已知四边形ABCD中，AC与BD交于O点，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形.给出以下四种说法其中，正确的说法是
①如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形
②如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形
③如果再加上条件“OA=OC”那么四边形ABCD是平行四边形④如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形.
A.①和②
B.①③和④
C.②和③
D.②③和④
答案：
C
练习一
一、选择题
1.A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC=AD；④BC∥AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）
A.3种B.4种C.5种D.6种
2.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法中，正确的说法有（）
（1）如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
（2）如果再加上条件“AB=CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
（3）如果再加上条件“∠DAB=∠DCB”那么四边形ABCD一定是平行四边形；
（4）如果再加上“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
（5）如果再加上条件“AO=CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
（6）如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形.
A.3个B.4个C.5个D.6个
图1图2
3.如图1，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC为∠BAD的平分线，图中与∠AOE相等（不含∠AOE）的角有（）
A.2个B.3个C.4个D.5个
二、如图2，BD是ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求证：
四边形AECF为平行四边形.
三、如图3，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树.田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？
若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法）.
图3
练习二
班级：
___________________________姓名：
___________________________
作业导航
理解并掌握平行四边形的判别方法，会利用平行四边形的判别方法进行简单的推理说明.
一、选择题
1.能够判别一个四边形是平行四边形的条件是（）
A.一组对角相等
B.两条对角线互相垂直且相等
C.两组对边分别相等
D.一组对边平行
2.下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A.AB=CD，AD∥BCB.AB=CD，AB∥CD
C.AB∥CD，AD∥BCD.AB=CD，AD=BC
3.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）
A.88°，108°，88°B.88°，104°，108°
C.88°，92°，92°D.88°，92°，88°
4.四边形ABCD中，AD∥BC，要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（）
A.∠A+∠C=180°B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠D=180°
5.以不在一条直线上的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
6.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，要判别它是平行四边形，从四边形的角的关系看应满足______；从对角线看应满足_______.
7.将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为______.
8.四边形ABCD中，AD=BC，BD为对角线，∠ADB=∠CBD，则AB与CD的关系是_______.
9.□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF是_______.
10.如图，DE∥BC，AE=EC，延长DE到F，使EF=DE，连结AF、FC、CD，则图中四边形ADCF是______.
三、解答题
11.在□ABCD中，点M、N在对角线AC上，且AM=CN，四边形BMDN是平行四边形吗？
为什么？
12.如图，□ABCD中，E、F分别在BA、DC的延长线上，且AE=
AB，CF=
CD，AF和CE的关系如何？
说明理由.
13.如图，D、E是△ABC的边AB和AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.四边形BCFD是平行四边形吗？
为什么？
14.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由.
15.如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？
为什么？
参考答案1
一、1.B2.B3.D
二、证明：
∵
ABCD
∴AB=CD,AB∥CD
∴∠1=∠2
AE⊥BD,CF⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90°,AE∥CF
∴△AEB≌△CFD,∴AE=CF
∴AECF为平行四边形
三、能
参考答案2
一、1.C2.A3.D4.D5.C
二、6.∠A=∠C，∠B=∠DOA=OC，OB=OD7.38.AB=CD且AB∥CD9.平行四边形10.平行四边形
三、11.是平行四边形，△ABM≌△CDN且△AMD≌△BNC.
12.AE∥CF且AE=CFAFCE.
13.是平行四边形，△AED≌△CEF.
14.是平行四边形,△AOE≌△COF.
15.是平行四边形，四边形AMCN、BMDN是平行四边形.
4.3菱形
练习一
在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是个发现者、研究者和探究者，小华就是这样一位有思想的学生，在老师讲了平行四边形的性质和判定后，她想：
一组邻边相等的平行四边形（菱形）又有什么特殊的性质呢？
如何做一个菱形的折纸呢？
（1）请你画一个菱形.
（2）用你所学的知识，探求菱形除了具有平行四边形的性质外，还具有什么性质？
（3）请你帮小华做一个菱形的折纸.
练习二
一、选择题
1.下列命题中，真命题是（）
A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D.对角线相等的四边形是菱形
2.菱形的周长为12cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（）
A.6cmB.1.5cmC.3cmD.0.75cm
3.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图1）则∠EAF等于（）
A.75°B.60°C.45°D.30°
图1图2
4.已知菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的边长为（）
A.12B.8C.4D.2
5.菱形的边长是2cm，一条对角线的长是2
cm,则另一条对角线的长是（）
A.4cmB.
cmC.2cmD.2
cm
二、判断正误：
（对的打“√”错的打“”）
1.两组邻边分别相等的四边形是菱形.…………………………………………………（）
2.一角为60°的平行四边形是菱形.…………………………………………………（）
3.对角线互相垂直的四边形是菱形.……………………………………………………（）
4.菱形的对角线互相垂直平分.…………………………………………………………（）
三、填空题
1.如图3，菱形ABCD中，AC、BD相交于O，若OD=
AD，则四个内角为________.
图3图4
2.若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a时，如图4，其他三边长为________；周长为________.
3.菱形ABCD中，AC、BD相交于O点，若∠OBC=
∠BAC，则菱形的四个内角的度数为____________.
4.若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20cm,则它的一组对边的距离等于__________cm,它的面积等于________cm2.
5.菱形ABCD中，如图5，∠BAD=120°，AB=10cm,则AC=________cm,BD=________cm.
图5图6
四、已知：
△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC交AC于F.求证：
四边形DECF是菱形.
五、已知
ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若CE平分∠DCB，且AB=2，求：
ABCD的其余边长.
图7
3.菱形
班级：
___________________________姓名：
___________________________
作业导航
理解并掌握菱形的性质及判别方法，会利用菱形的性质和判别方法进行推理说明和有关计算.
一、选择题
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）
A.对角相等B.对边相等
C.对角线互相垂直D.对角线相等
2.能够判别一个四边形是菱形的条件是（）
A.对角线相等且互相平分
B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相平分
D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角
3.菱形的周长为100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是（）
A.168cm2B.336cm2C.672cm2D.84cm2
4.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（）
A.4
B.8
C.10
D.12
5.下列语句中，错误的是（）
A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴
B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到
C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到
D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到
二、填空题
6.菱形的周长是8cm，则菱形的一边长是______.
7.菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______.
8.菱形的对角线的一半的长分别为8cm和11cm，则菱形的面积是_______.
9.菱形的面积为24cm2，一对角线长为6cm，则另一对角线长为______，边长为______.
10.菱形的面积为8
平方厘米，两条对角线的比为1∶
那么菱形的边长为_______.
三、解答题
11.如图，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗？
说明你的理由.
12.□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？
为什么？
13.菱形ABCD的周长为20cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积.
14.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16cm，BD=12cm，求菱形ABCD的高DH.
参考答案1
（1）一组邻边相等的平行四边形，如下图：
ABCD是菱形
（2）如右图：
ABCD是一组邻边相等（AB=AD）的平行四边形
∵ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC
又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD，即菱形的四条边都相等
连结AC、BD
∵AB∥CD,AD∥BC
∴∠1=∠2,∠3=∠4
又∵AD=CD,∴∠1=∠4
∴∠1=∠3=∠2=∠4,即AC是∠DAB，∠DCB的平分线.同理可证BD是∠ADC和∠ABC的平分线
∴菱形的对角线平分每一组对角.
∵平行四边形ABCD中AB∥CD
∴∠CDA+∠DAB=180°
又由前面证得∠1=∠2，∠CDB=∠ADB
∴∠4+∠ADB=
（∠DAB+∠CDA）=
×180°=90°
∴在△AOD中∠AOD=180°－（∠4+∠ADB）=90°
∴AC⊥BD,即菱形的对角线互相垂直
在△AOD和△AOB中，AB=AD，∠2=∠4，AO=AO
∴△AOD≌△AOB，∴OD=OB
同理可证OA=OC
所以菱形的对角线垂直且平分
（3）略
参考答案2
一、1.B2.B3.B4.C5.C
二、1.×2.×3.×4.√
三、1.60°，120°，60°，120°2.分别为a4a
3.90°4.
cm24cm25.1010
四、证明：
∵DE∥AC,DF∥BC
∴四边形DECF为平行四边形
∠2=∠3
又∵∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴DE=EC
∴DECF为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
五、解：
过E作EF∥AB交BC于F
∵
ABCD，∴AD∥BC
∴ABFE是平行四边形
∴EF=AB,∠1=∠3
又∵∠2=∠1,∴∠2=∠3
∴BF=FE,同理：
EF=FC
∴F为BC的中点.
又BE、CE为∠ABC、∠DCF的平分线
AB∥CD，∴∠EBC+∠ECB=90°
∴∠BEC=90°,∴EF=
BC=AB
∴AB=CD=2,AD=BC=2AB=4
参考答案3
一、1.C2.D3.B4.B5.D
二、6.2cm7.44厘米8.176cm29.8cm5cm10.4cm
三、11.四边形AEDF是菱形，AE=ED.
12.□AFCE是菱形，△AOE≌△COF，四边形AFCE是平行四边形，EF⊥AC
13.24cm214.9.6cm
4.4矩形、正方形
一、参考例题
［例1］如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.
求证：
AE⊥EG.
分析：
由于CG是角平分线，CA是∠BCD的平分线，于是我们可以断定∠ACG=90°，因而只要证明∠AEG=∠ACG即可，从图中可以看出，只要证明∠1=∠G就可以得到所求证的结论.
证明：
连结AC，并延长AC到M，使CM=CG，连结EM.
∵四边形ABCD是正方形
∴AC平分∠BCD
∴∠ECM=135°
又∵CG平分∠DCF，
∴∠GCF=45°
∴∠ECG=135°，∴∠ECG=∠ECM.
而EC=EC，CG=CM.
∴△ECM≌△ECG.
∴∠M=∠G，EM=EG
而EA=EG，∴EA=EM，∴∠1=∠M
∴∠1=∠G而∠2=∠3
∴∠AEG=∠ACG
又∵∠ACD=45°，∠DCG=45°
∴∠ACG=90°，∴∠AEG=90°，
即AE⊥EC.
［例2］已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.
（1）求证：
△BEC≌△DFC；
（2）若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
分析：
要证△BEC≌△DFC，则需找全等的条件，由正方形的性质可得出.
要求∠EFD的度数，可由三角形中角的关系求得.
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