初二数学平行四边形性质单元测试.docx
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初二数学平行四边形性质单元测试
初二数学上第四章平行四边形性质
4.1平行四边形的性质
练习一
下图是两组对边分别平行的四边形:
即:
AB∥CD,AD∥BC,那么
(1)各对边之间有什么样的数量关系?
为什么?
(2)各对角之间有什么样的数量关系?
为什么?
(3)如果连结AC、BD,交点为O,如图,那么AC、BD之间又有什么关系?
练习二
一、填空题
1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是________.
2.已知:
平行四边形一边AB=12cm,它的长是周长的
,则BC=______cm,CD=______cm.
3.如图1,在
ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,图中全等三角形共有________对.图1
4.如图1,如果该平行四边形的一条边长是8,一条对角线长为6,那么它的另一条对角线长m的取值范围是________.
5.
ABCD中,若∠A∶∠B=1∶3,那么∠A=________,∠B=________,∠C=________,∠D=________.
二、选择题
1.平行四边形的两邻边分别为3、4,那么其对角线必()
A.大于1B.小于7
C.大于1且小于7D.小于7或大于1
2.在
ABCD中,M为CD的中点,如DC=2AD,则AM、BM夹角度数是()
A.90°B.95°
C.85°D.100°
3.如图2,四边形ABCD是平行四边形,∠D=120°,∠CAD=32°.则∠ABC、∠CAB的度数分别为()
A.28°,120°B.120°,28°图2
C.32°,120°D.120°,32°
三、求解与证明
1.如图3,已知
ABCD的对角线交于O,过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F,求证:
OE=OF.
图3图4
2.如图4,四边形ABCD是平行四边形,BD⊥AD,求BC,CD及OB的长.
测验评价结果:
_____________;对自己想说的一句话是:
______________________.
练习三
班级:
___________________________姓名:
___________________________
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理解平行四边形的意义和性质,会利用平行四边形的性质进行推理和计算.
一、选择题
1.在□ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是()
A.1∶2∶3∶4B.1∶2∶2∶1
C.1∶1∶2∶2D.2∶1∶2∶1
2.平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是()
A.2B.4C.6D.8
3.在□ABCD中,∠A、∠B的度数之比为5∶4,则∠C等于()
A.60°B.80°C.100°D.120°
4.□ABCD的周长为36cm,AB=
BC,则较长边的长为()
A.15cmB.7.5cmC.21cmD.10.5cm
5.如图,□ABCD中,EF过对角线的交点O,AB=4,AD=3,OF=1.3,则四边形BCEF的周长为()
A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6
二、填空题
6.已知□ABCD中,∠B=70°,则∠A=______,∠C=______,∠D=______.
7.在□ABCD中,AB=3,BC=4,则□ABCD的周长等于_______.
8.平行四边形的周长等于56cm,两邻边长的比为3∶1,那么这个平行四边形较长的边长为_______.
9.在□ABCD中,∠A+∠C=270°,则∠B=______,∠C=______.
10.和直线l距离为8cm的直线有______条.
三、解答题
11.平行四边形的周长为36cm,一组邻边之差为4cm,求平行四边形各边的长.
12.如图,在□ABCD中,AB=AC,若□ABCD的周长为38cm,△ABC的周长比□ABCD的周长少10cm,求□ABCD的一组邻边的长.
13.如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,MN是过O点的直线,交BC于M,交AD于N,BM=2,AN=2.8,求BC和AD的长.
14.如图,在□ABCD中,E、F分别是BC、AD上的点,且AE∥CF,AE与CF相等吗?
说明理由.
15.如图,在□ABCD中,O是对角线AC、BD的交点,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等?
为什么?
参考答案1
(1)两组对边分别相等.理由如下:
连结BD,∵AB∥CD,AD∥BC
∴∠1=∠2,∠3=∠4
又∵BD=DB,
∴△ABD≌△CDB,∴AD=BC,AB=CD
(2)两组对角分别相等
由
(1)△ABD≌△CDB,∴∠A=∠C
∵AB∥BC,∴∠A+∠ABC=180°,
∠C+∠CDA=180°
∴∠ABC=∠CDA
(3)对角线互相平分
由
(1)AB=CD,∠3=∠4,∠AOB=∠COD
∴△AOB≌△COD,∴AO=OC,OB=OD
参考答案2
一、1.42.24CD=123.44.10<x<225.45°135°45°135°
二、1.C2.A3.B
三、1.证明:
∵
ABCD,∴OA=OC,DF∥EB
∴∠E=∠F
又∵∠EOA=∠FOC
∴△OAE≌△OCF,∴OE=OF
2.解:
∵
ABCD,∴BC=AD=12
CD=AB=13,OB=
BD
∵BD⊥AD
∴BD=
=
=5
∴OB=
参考答案3
一、1.D2.B3.C4.D5.B
二、6.110°110°70°7.148.21cm9.45°135°10.2
三、11.11cm,7cm,11cm,7cm12.9cm,10cm13.BC=AD=4.814.AE=CF□AECF
15.OE=OF,△BOE≌△DOF
4.2平行四边形的判别
一、参考例题
[例1]如图,在
ABCD的各边AB、BC、CD、DA上,分别取点K、L、M、N,使AK=CM、BL=DN,则四边形KLMN为平行四边形吗?
说明理由.
分析:
要说明四边形KLMN为平行四边形,则可从:
两组对边分别相等,或一组对边平行且相等中找条件.由已知是两组边相等,所以本题找两组对边分别相等这个条件,然后得证.
解:
四边形KLMN是平行四边形.
理由是:
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AD=BC,AB=CD,∠A=∠C,∠B=∠D
∵AK=CM,BL=DN,
∴BK=DM,CL=AN
∴△AKN≌△CML,△BKL≌△DMN
∴KN=ML,KL=MN
∴四边形KLMN是平行四边形.
[例2]已知如图:
在
ABCD中,延长AB到E,延长CD到F,使BE=DF,则线段AC与EF是否互相平分?
说明理由.
分析:
要说明线段AC与EF互相平分,可以把这两条线段作为一个四边形的对角线,然后说明这个四边形是平行四边形即可.
解:
线段AC与EF互相平分
理由是:
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB∥CD,即AE∥CF,AB=CD
∵BE=DF,∴AE=CF
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AC与EF互相平分.
二、参考练习
1.用任意2个全等的三角形能拼成平行四边形吗?
自己画两个全等的三角形试一试,把你拼的图形画出来,说明理由.
答案:
用任意2个全等的三角形能拼成平行四边形.
用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来说明理由.
2.已知四边形ABCD中,AC与BD交于O点,如果只给出条件“AB∥CD”,那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形.给出以下四种说法其中,正确的说法是
①如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形
②如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形
③如果再加上条件“OA=OC”那么四边形ABCD是平行四边形④如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”,那么四边形ABCD一定是平行四边形.
A.①和②
B.①③和④
C.②和③
D.②③和④
答案:
C
练习一
一、选择题
1.A、B、C、D在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③BC=AD;④BC∥AD这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有()
A.3种B.4种C.5种D.6种
2.在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,如果只给出条件“AB∥CD”,那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形,给出以下六个说法中,正确的说法有()
(1)如果再加上条件“AD∥BC”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
(2)如果再加上条件“AB=CD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
(3)如果再加上条件“∠DAB=∠DCB”那么四边形ABCD一定是平行四边形;
(4)如果再加上“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
(5)如果再加上条件“AO=CO”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
(6)如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”,那么四边形ABCD一定是平行四边形.
A.3个B.4个C.5个D.6个
图1图2
3.如图1,AB∥CD∥EF,BC∥AD,AC为∠BAD的平分线,图中与∠AOE相等(不含∠AOE)的角有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
二、如图2,BD是ABCD的对角线,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,求证:
四边形AECF为平行四边形.
三、如图3,田村有一口呈四边形的池塘,在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树.田村准备开挖池塘建养鱼池,想使池塘面积扩大一倍,又想保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状,请问田村能否实现这一设想?
若能,请你设计并画出图形;若不能,请说明理由(画图要保留痕迹,不写画法).
图3
练习二
班级:
___________________________姓名:
___________________________
作业导航
理解并掌握平行四边形的判别方法,会利用平行四边形的判别方法进行简单的推理说明.
一、选择题
1.能够判别一个四边形是平行四边形的条件是()
A.一组对角相等
B.两条对角线互相垂直且相等
C.两组对边分别相等
D.一组对边平行
2.下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是()
A.AB=CD,AD∥BCB.AB=CD,AB∥CD
C.AB∥CD,AD∥BCD.AB=CD,AD=BC
3.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项,其中是平行四边形的是()
A.88°,108°,88°B.88°,104°,108°
C.88°,92°,92°D.88°,92°,88°
4.四边形ABCD中,AD∥BC,要判别四边形ABCD是平行四边形,还需满足条件()
A.∠A+∠C=180°B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠D=180°
5.以不在一条直线上的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
6.四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,要判别它是平行四边形,从四边形的角的关系看应满足______;从对角线看应满足_______.
7.将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形,可拼成的不同的平行四边形的个数为______.
8.四边形ABCD中,AD=BC,BD为对角线,∠ADB=∠CBD,则AB与CD的关系是_______.
9.□ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F分别是OB、OD的中点,四边形AECF是_______.
10.如图,DE∥BC,AE=EC,延长DE到F,使EF=DE,连结AF、FC、CD,则图中四边形ADCF是______.
三、解答题
11.在□ABCD中,点M、N在对角线AC上,且AM=CN,四边形BMDN是平行四边形吗?
为什么?
12.如图,□ABCD中,E、F分别在BA、DC的延长线上,且AE=
AB,CF=
CD,AF和CE的关系如何?
说明理由.
13.如图,D、E是△ABC的边AB和AC中点,延长DE到F,使EF=DE,连结CF.四边形BCFD是平行四边形吗?
为什么?
14.如图,□ABCD的对角线AC、BD交于O,EF过点O交AD于E,交BC于F,G是OA的中点,H是OC的中点,四边形EGFH是平行四边形,说明理由.
15.如图,平行四边形ABCD中,M、N分别为AD、BC的中点,连结AN、DN、BM、CM,且AN、BM交于点P,CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗?
为什么?
参考答案1
一、1.B2.B3.D
二、证明:
∵
ABCD
∴AB=CD,AB∥CD
∴∠1=∠2
AE⊥BD,CF⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90°,AE∥CF
∴△AEB≌△CFD,∴AE=CF
∴AECF为平行四边形
三、能
参考答案2
一、1.C2.A3.D4.D5.C
二、6.∠A=∠C,∠B=∠DOA=OC,OB=OD7.38.AB=CD且AB∥CD9.平行四边形10.平行四边形
三、11.是平行四边形,△ABM≌△CDN且△AMD≌△BNC.
12.AE∥CF且AE=CFAFCE.
13.是平行四边形,△AED≌△CEF.
14.是平行四边形,△AOE≌△COF.
15.是平行四边形,四边形AMCN、BMDN是平行四边形.
4.3菱形
练习一
在人的心灵深处,都有一种根深蒂固的需要,这就是希望自己是个发现者、研究者和探究者,小华就是这样一位有思想的学生,在老师讲了平行四边形的性质和判定后,她想:
一组邻边相等的平行四边形(菱形)又有什么特殊的性质呢?
如何做一个菱形的折纸呢?
(1)请你画一个菱形.
(2)用你所学的知识,探求菱形除了具有平行四边形的性质外,还具有什么性质?
(3)请你帮小华做一个菱形的折纸.
练习二
一、选择题
1.下列命题中,真命题是()
A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D.对角线相等的四边形是菱形
2.菱形的周长为12cm,相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是()
A.6cmB.1.5cmC.3cmD.0.75cm
3.在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,且E、F分别为BC、CD的中点,(如图1)则∠EAF等于()
A.75°B.60°C.45°D.30°
图1图2
4.已知菱形ABCD中,AE⊥BC于E,若S菱形ABCD=24,且AE=6,则菱形的边长为()
A.12B.8C.4D.2
5.菱形的边长是2cm,一条对角线的长是2
cm,则另一条对角线的长是()
A.4cmB.
cmC.2cmD.2
cm
二、判断正误:
(对的打“√”错的打“”)
1.两组邻边分别相等的四边形是菱形.…………………………………………………()
2.一角为60°的平行四边形是菱形.…………………………………………………()
3.对角线互相垂直的四边形是菱形.……………………………………………………()
4.菱形的对角线互相垂直平分.…………………………………………………………()
三、填空题
1.如图3,菱形ABCD中,AC、BD相交于O,若OD=
AD,则四个内角为________.
图3图4
2.若一条对角线平分平行四边形的一组对角,且一边长为a时,如图4,其他三边长为________;周长为________.
3.菱形ABCD中,AC、BD相交于O点,若∠OBC=
∠BAC,则菱形的四个内角的度数为____________.
4.若菱形的两条对角线的比为3∶4,且周长为20cm,则它的一组对边的距离等于__________cm,它的面积等于________cm2.
5.菱形ABCD中,如图5,∠BAD=120°,AB=10cm,则AC=________cm,BD=________cm.
图5图6
四、已知:
△ABC中,CD平分∠ACB交AB于D,DE∥AC交BC于E,DF∥BC交AC于F.求证:
四边形DECF是菱形.
五、已知
ABCD中,BE平分∠ABC交AD于E,若CE平分∠DCB,且AB=2,求:
ABCD的其余边长.
图7
3.菱形
班级:
___________________________姓名:
___________________________
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理解并掌握菱形的性质及判别方法,会利用菱形的性质和判别方法进行推理说明和有关计算.
一、选择题
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()
A.对角相等B.对边相等
C.对角线互相垂直D.对角线相等
2.能够判别一个四边形是菱形的条件是()
A.对角线相等且互相平分
B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相平分
D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角
3.菱形的周长为100cm,一条对角线长为14cm,它的面积是()
A.168cm2B.336cm2C.672cm2D.84cm2
4.菱形的周长为16,两邻角度数的比为1∶2,此菱形的面积为()
A.4
B.8
C.10
D.12
5.下列语句中,错误的是()
A.菱形是轴对称图形,它有两条对称轴
B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到
C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到
D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到
二、填空题
6.菱形的周长是8cm,则菱形的一边长是______.
7.菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11厘米,菱形的周长为______.
8.菱形的对角线的一半的长分别为8cm和11cm,则菱形的面积是_______.
9.菱形的面积为24cm2,一对角线长为6cm,则另一对角线长为______,边长为______.
10.菱形的面积为8
平方厘米,两条对角线的比为1∶
那么菱形的边长为_______.
三、解答题
11.如图,AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗?
说明你的理由.
12.□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F,四边形AFCE是否是菱形?
为什么?
13.菱形ABCD的周长为20cm,两条对角线的比为3∶4,求菱形的面积.
14.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,且AC=16cm,BD=12cm,求菱形ABCD的高DH.
参考答案1
(1)一组邻边相等的平行四边形,如下图:
ABCD是菱形
(2)如右图:
ABCD是一组邻边相等(AB=AD)的平行四边形
∵ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AD=BC
又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD,即菱形的四条边都相等
连结AC、BD
∵AB∥CD,AD∥BC
∴∠1=∠2,∠3=∠4
又∵AD=CD,∴∠1=∠4
∴∠1=∠3=∠2=∠4,即AC是∠DAB,∠DCB的平分线.同理可证BD是∠ADC和∠ABC的平分线
∴菱形的对角线平分每一组对角.
∵平行四边形ABCD中AB∥CD
∴∠CDA+∠DAB=180°
又由前面证得∠1=∠2,∠CDB=∠ADB
∴∠4+∠ADB=
(∠DAB+∠CDA)=
×180°=90°
∴在△AOD中∠AOD=180°-(∠4+∠ADB)=90°
∴AC⊥BD,即菱形的对角线互相垂直
在△AOD和△AOB中,AB=AD,∠2=∠4,AO=AO
∴△AOD≌△AOB,∴OD=OB
同理可证OA=OC
所以菱形的对角线垂直且平分
(3)略
参考答案2
一、1.B2.B3.B4.C5.C
二、1.×2.×3.×4.√
三、1.60°,120°,60°,120°2.分别为a4a
3.90°4.
cm24cm25.1010
四、证明:
∵DE∥AC,DF∥BC
∴四边形DECF为平行四边形
∠2=∠3
又∵∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴DE=EC
∴DECF为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)
五、解:
过E作EF∥AB交BC于F
∵
ABCD,∴AD∥BC
∴ABFE是平行四边形
∴EF=AB,∠1=∠3
又∵∠2=∠1,∴∠2=∠3
∴BF=FE,同理:
EF=FC
∴F为BC的中点.
又BE、CE为∠ABC、∠DCF的平分线
AB∥CD,∴∠EBC+∠ECB=90°
∴∠BEC=90°,∴EF=
BC=AB
∴AB=CD=2,AD=BC=2AB=4
参考答案3
一、1.C2.D3.B4.B5.D
二、6.2cm7.44厘米8.176cm29.8cm5cm10.4cm
三、11.四边形AEDF是菱形,AE=ED.
12.□AFCE是菱形,△AOE≌△COF,四边形AFCE是平行四边形,EF⊥AC
13.24cm214.9.6cm
4.4矩形、正方形
一、参考例题
[例1]如图,E为正方形ABCD的BC边上的一点,CG平分∠DCF,连结AE,并在CG上取一点G,使EG=AE.
求证:
AE⊥EG.
分析:
由于CG是角平分线,CA是∠BCD的平分线,于是我们可以断定∠ACG=90°,因而只要证明∠AEG=∠ACG即可,从图中可以看出,只要证明∠1=∠G就可以得到所求证的结论.
证明:
连结AC,并延长AC到M,使CM=CG,连结EM.
∵四边形ABCD是正方形
∴AC平分∠BCD
∴∠ECM=135°
又∵CG平分∠DCF,
∴∠GCF=45°
∴∠ECG=135°,∴∠ECG=∠ECM.
而EC=EC,CG=CM.
∴△ECM≌△ECG.
∴∠M=∠G,EM=EG
而EA=EG,∴EA=EM,∴∠1=∠M
∴∠1=∠G而∠2=∠3
∴∠AEG=∠ACG
又∵∠ACD=45°,∠DCG=45°
∴∠ACG=90°,∴∠AEG=90°,
即AE⊥EC.
[例2]已知如下图,正方形ABCD中,E是CD边上的一点,F为BC延长线上一点,CE=CF.
(1)求证:
△BEC≌△DFC;
(2)若∠BEC=60°,求∠EFD的度数.
分析:
要证△BEC≌△DFC,则需找全等的条件,由正方形的性质可得出.
要求∠EFD的度数,可由三角形中角的关系求得.