逻辑学导论2 第二章习题参考答案.docx

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逻辑学导论2第二章习题参考答案

《逻辑学导论

（2）》第二章习题解答

一、请将下述命题符号化，如果是复合命题，请根据其中所含的主联结词，指出是何种复合命题：

1．阳光和红霞是好朋友。

【解】：

p。

这是一个简单命题，应作为一个整体看待。

2．贝多芬和莫扎特是伟大的作曲家。

【解】：

设p表示“贝多芬是伟大的作曲家”，q表示“莫扎特是伟大的作曲家”，则上述命题可表示为：

p∧q。

这是一个联言命题。

3．说西红柿是蔬菜是假的。

【解】：

设p表示“西红柿是蔬菜”，则上述命题可表示为：

p。

这是一个负命题。

4．大连队将获得今年的甲A冠军，否则，冠军就是国安队。

【解】：

设p表示“大连队将获得今年的甲A冠军”，q表示“国安队将获得今年的甲A冠军”，则上述命题可表示为：

q。

这是一个选言命题。

5．尽管并非所有的人都是自私的，但仍然有不少人很自私。

【解】：

设p表示“所有的人都是自私的”，q表示“有不少人很自私”，则上述命题可表示为：

p∧q。

这是一个联言命题。

6．如果我们再不降低生育率，那我们就会连坐下来的空间都没有了。

【解】：

设p表示“我们再不降低生育率”，q表示“我们连坐下来的空间都没有了”，则上述命题可表示为：

p→q。

这是一个假言命题。

7．即使我们提高税收，财政赤字仍不会减少，除非我们削减政府开支。

【解】：

设p表示“我们提高税收”，q表示“财政赤字会减少”，r表示“我们削减政府开支”，则上述命题可表示为：

r→（p→q）。

这是一个假言命题。

8．钱不是万能的，但没有钱是万万不行的。

【解】：

设p表示“钱不是万能的”，q表示“没有钱是万万不行的”，则上述命题可表示为：

p∧q。

这是一个联言命题。

9．如果你是草，羊会站在你的身上，践踏你，啃食你，不管你是它的亲人还是朋友；如果你是参天大树，羊会仰望你，赞美你，无论你是残疾还是孩子。

【解】：

设p1表示“你是草”，q1表示“羊会站在你的身上践踏你”，r1表示“羊会站在你的身上啃食你”，s1表示“你是它的亲人”，t1表示“你是它的朋友”，则上述命题的前半部分可表示为：

p1→（s1∨t1→q1∨r1）。

设p2表示“你是参天大树”，q2表示“羊会仰望你”，r2表示“羊会赞美你”，s2表示“你是残疾”，t2表示“你是孩子”，则上述命题的后半部分可表示为：

p2→（s2∨t2→q2∨r2）。

整个命题可表示为：

（p1→（s1∨t1→q1∨r1））∧（p2→（s2∨t2→q2∨r2））这是一个联言命题。

10．某液体是酸类，当且仅当，它让石蕊试纸变红。

【解】：

设p表示“某液体是酸类”，q表示“该液体让石蕊试纸变红”，则上述命题可表示为：

qp。

这是一个充分必要条件假言命题。

11．既然不存在完美无缺的事情，我就不应该因我的过失而受到责备。

【解】：

设p表示“不存在完美无缺的事情”，q表示“我不应该因我的过失而受到责备”，则上述命题可表示为：

p→q。

这是一个充分条件假言命题。

12．恐龙无法被克隆，除非科学家能够获悉恐龙的完整基因。

【解】：

设p表示“科学家能够获悉恐龙的完整基因”，q表示“恐龙能被克隆”，则上述命题可表示为：

p←q。

这是一个必要条件假言命题。

13．如果你没有失约，老板仍然不高兴，那么或者是因为你没有做成那笔买卖，或者是因为我的错。

【解】：

设p表示“你没有失约”，q表示“老板不高兴”，r表示“因为你没有做成那笔买卖”，s表示“因为我的错”，则上述命题可表示为：

p∧q→r∨s。

这是一个充分条件假言命题。

14．所有可靠的论证都是有效的，并且它们有真的前提。

【解】：

设p表示“所有可靠的论证都是有效的”，q表示“所有可靠的论证都有真的前提”，则上述命题可表示为：

p∧q。

这是一个联言命题。

15．如果我们提高税收并且削减政府开支，那么，除非发生大的自然灾害，财政赤字将会减少。

【解】：

设p表示“我们提高税收”，q表示“我们削减政府开支”，r表示“发生大的自然灾害”，s表示“财政赤字将会减少”，则上述命题可表示为：

p∧q→（r→s）。

这是一个充分条件假言命题。

16．雨、雪、风、霜都不会阻止那位邮递员按时投送邮件。

【解】：

设p表示“雨不会阻止那位邮递员按时投送邮件”，q表示“雪不会阻止那位邮递员按时投送邮件”，r表示“风不会阻止那位邮递员按时投送邮件”，s表示“霜不会阻止那位邮递员按时投送邮件”，则上述命题可表示为：

p∧q∧r∧s。

这是一个联言命题。

17．甲、乙、丙、丁至少有一人将来会成为杰出人士。

【解】：

设p表示“甲将来会成为杰出人士”，q表示“乙将来会成为杰出人士”，r表示“丙将来会成为杰出人士”，s表示“丁将来会成为杰出人士”，则上述命题可表示为：

p∨q∨r∨s。

这是一个相容选言命题。

18．聪明的人总是用别人的智慧填补自己的大脑，愚蠢的人总是用别人的智慧干扰自己的情绪。

【解】：

设p表示“聪明的人总是用别人的智慧填补自己的大脑”，q表示“愚蠢的人总是用别人的智慧干扰自己的情绪”，则上述命题可表示为：

p∧q。

这是一个联言命题。

二、用真值表方法去验证下述公式是不是重言式：

1．Ø（A∧ØA）

【解】：

列真值表进行真值运算如下：

ØA

A∧ØA

Ø（A∧ØA）

最后一列真值均为1，故原公式为重言式。

2．（A®ØA）®ØA

【解】：

列真值表进行真值运算如下：

ØA

A→ØA

（A→ØA）→ØA

最后一列真值均为1，故原公式为重言式。

3．ØA®（A®（B®C））

【解】：

列真值表进行真值运算如下：

ØA

B→C

A→（B→C）

ØA→（A→（B→C））

最后一列真值均为1，故原公式为重言式。

4．（A®（B®C））®（（A®B）®（ØC®ØA∨D））

【解】：

列真值表进行真值运算如下：

（A®

（B®C））

（（A®B）

（ØC

ØA

　∨D））

１

０

１

０

１

主联结词在所有行的真值均为1，故原公式为重言式。

5．A«A∨（A®C）

【解】：

列真值表进行真值运算如下：

A→C

A∨（A→C）

AA∨（A→C）

最后一列第三、四行真值均为0，故原公式不是重言式。

6．（A«B）®（（C«D）®（（A«C）®（B«D）））

【解】：

列真值表进行真值运算如下：

（A«B）

（（C«D）

（（A«C）

（B«D）））

主联结词在所有行的真值均为1，故原公式为重言式。

三、用归谬赋值法判定下述公式是否重言式：

1．（ØA®A）®A

【解】：

用归谬赋值法判定如下：

（

→

A）

→

（代）

（矛）

（盾）

变元A的取值出现矛盾，故原公式为重言式。

2．（A®B）®（（A∨C）®（B∨C））

【解】：

用归谬赋值法判定如下：

（A

→

B）

→

（（A

∨

C）

→

（B

∨

C））

代

盾

矛

变元A的取值出现矛盾，故原公式为重言式。

3．（A®B）®（（C®D）®（A∧C®B∧D））

【解】：

用归谬赋值法判定如下：

（A

→

B）

→

（（C

→

D）

→

（A

∧

→

∧

D））

代

盾

代

矛

变元D的取值出现矛盾，故原公式为重言式。

4．（A®（A®C））®（A®C）

【解】：

用归谬赋值法判定如下：

（A

→

（A

→

C））

→

（A

→

C））

代

盾

代

矛

变元C的取值出现矛盾，故原公式为重言式。

5．（A∧（B∨C））®（（A∧B）∨（A∧C））

【解】：

用归谬赋值法判定如下：

（A

∧

（B

∨

C））

→

（（A

∧

B）

∨

（A

∧

C））

代

盾

矛

变元C的取值出现矛盾，故原公式为重言式。

6．（（A∨B）∧（A∨C））®（A∨（B∧C））

【解】：

用归谬赋值法判定如下：

（（A

∨

B）

∧

（A

∨

C））

（A

∨

（B

∧

C））

代

盾

代

矛

变元C的取值出现矛盾，故原公式为重言式。

四．用树形图方法判定下述公式是否重言式：

1．A∧ØA®（A∧B）∨C

【解】：

依画图规则构造树形图如下：

由于该树形图只有一个闭枝，故原公式为重言式。

2．（（A®B）®A）®A

【解】：

依画图规则构造树形图如下：

该树形图已经终结，并且各个枝都是闭枝，故原公式为重言式。

3．（A®B）®（A∧C®B）

【解】：

依画图规则构造树形图如下：

该树形图已经终结，并且各个枝都是闭枝，故原公式为重言式。

4．（A®B）®（（A∧C）«（B∨C））

【解】：

依画图规则构造树形图如下：

该树形图有不能关闭的枝，故原公式不是重言式。

5．（A∧B®C）«（A®（B®C））

【解】：

依画图规则构造树形图如下：

该树形图已经终结，并且各个枝都是闭枝，故原公式为重言式。

6．（A«（B∧C））®（A«B）∨（A«C）

【解】：

依画图规则构造树形图如下：

该树形图已经终结，并且各个枝都是闭枝，故原公式为重言式。

五．在PN中证明，下述公式是PN定理：

1．A∨ØA

【证明】：

（1）〇（A∨A）假设

（2）|〇A假设

（3）||A∨A

（2）∨+

（4）||（A∨A）

（1）∈（假设引用）

（5）|A

（2）（3）（4）+

（6）|A∨A（5）∨+

（7）|（A∨A）

（1）∈（假设引用）

（8）A∨A

（1）（6）（7）-

2．ØØA«A

【证明】：

（1）〇A假设

（2）|〇A假设

（3）||A

（1）∈（假设引用）

（4）||A∧A

（2）（3）∧+

（5）|A

（2）（4）+

（6）A→A

（1）（5）→+

（7）〇A假设

（8）|〇A假设

（9）||A（7）∈（假设引用）

（10）||A∧A（8）（9）∧+

（11）|A（8）（10）-

（12）A→A（7）（11）→+

（13）AA（6）（12）+

3．Ø（A∧ØA）

【证明】：

（1）〇A∧A假设

（2）|A

（1）∧-

（3）|A

（1）∧-

（4）（A∧A）

（1）

（2）（3）+

4．（A®B）®（ØB®ØA）

【证明】：

（1）〇A→B假设

（2）|〇B假设

（3）||〇A假设

（4）|||B

（1）（3）→-

（5）|||B

（2）∈（假设引用）

（6）|||B∧B（4）（5）∧+

（7）||A（3）（6）+

（8）|B→A

（2）（7）→+

（9）（A→B）→（B→A）

（1）（7）→+

5．（A®（B®C））®（ØC®（B®ØA））

【证明】：

（1）〇A→（B→C）假设

（2）|〇C假设

（3）||〇B假设

（4）|||〇A假设

（5）||||B→C

（1）（4）→-

（6）||||B（3）∈（假设引用）

（7）||||C（5）（6）→-

（8）||||C

（2）∈（假设引用）

（9）||||C∧C（7）（8）∧+

（10）|||A（4）（9）+

（11）||B→A（3）（10）→+

（12）|C→（B→A）

（2）（11）→+

（13）（A→（B→C））→（C→（B→A））

（1）（12）→+

6．（A®B）®（（B®C）®（A®C））

【证明】：

（1）〇A→B假设

（2）|〇B→C假设

（3）||〇A假设

（4）|||B

（1）（3）→-

（5）|||C

（2）（4）→-

（6）||A→C（3）（5）→+

（7）|（B→C）→（A→C）

（2）（6）→+

（8）（A→B）→（（B→C）→（A→C））

（1）（7）→+

7．（A∧B®C）®（（ØC∧A）®ØB）

【证明】：

（1）〇A∧B→C假设

（2）|〇C∧A假设

（3）||〇B假设

（4）|||C∧A

（2）∈（假设引用）

（5）|||A（4）∧-

（6）|||C（4）∧-

（7）|||A∧B（5）（3）∧+

（8）|||A∧B→C

（1）∈（假设引用）

（9）|||C（7）（8）→-

（10）|||C∧C（6）（9）∧+

（11）||B（3）（10）+

（12）|（C∧A）→B

（2）（11）→+

（13）（A∧B→C）→（（C∧A）→B）

（1）（12）→+

8．（A∧B）∨（A∧C）®A∧（B∨C）

【证明】：

（1）〇（A∧B）∨（A∧C）假设

（2）|〇A∧B假设

（3）||A

（2）∧-

（4）||B

（2）∧-

（5）||B∨C（4）∨+

（6）||A∧（B∨C）（3）（5）∧+

（7）|（A∧B）→A∧（B∨C）

（2）（6）→+

（8）|〇A∧C假设

（9）||A（8）∧-

（10）||C（8）∧-

（11）||B∨C（10）∨+

（12）||A∧（B∨C）（9）（11）∧+

（13）|（A∧C）→A∧（B∨C）（8）（12）→+

（14）|A∧（B∨C）

（1）（7）（13）∨-

（15）（A∧B）∨（A∧C）→A∧（B∨C）

（1）（14）→+

六．在PN中证明，下述推理是有效的：

1．A∧（B®C），Ø（C∧A），∴ØB

【证明】：

（1）A∧（B→C）前提

（2）（C∧A）前提

（3）〇B假设

（4）|B→C

（1）∧-

（5）|C（3）（4）→-

（6）|A

（1）∧-

（7）|C∧A（5）（6）∧+

（8）|（C∧A）

（2）∈（前提引用）

（9）|（C∧A）∧（C∧A）（7）（8）∧+

（10）B（3）（9）+

2．H®K，（K∧L）®M，∴L®（H®M）

【证明】：

（1）H→K前提

（2）（K∧L）→M前提

（3）〇L假设

（4）|〇H假设

（5）||K

（1）（4）→-

（6）||K∧L（5）（3）∈、∧+

（7）||M

（2）（6）→-

（8）|H→M（4）（7）→+

（9）L→（H→M）（3）（8）→+

3．A∧B®C，Ø（C∨ØA），∴ØB

【证明】：

（1）A∧B→C前提

（2）（C∨A）前提

（3）C∧A

（2）德*摩根律

（4）〇B假设-

（5）|C（3）∧-

（6）|A（3）∧-

（7）|A∧B（4）（6）∧+

（8）|C

（1）（7）→-

（9）|C∧C（5）（8）∧+

（10）B（4）（9）+

4．A∨B，C，A∧C®D，Ø（ØF∧B），∴D∨F

【证明】：

（1）A∨B前提

（2）C前提

（3）A∧C→D前提

（4）（F∧B）前提

（5）F∨B（4）德*摩根律

（6）〇D假设

（7）|（A∧C）（3）（6）DR1

（8）|A∨C（7）德*摩根律

（9）|A

（2）（8）否定肯定式

（10）|B

（1）（9）否定肯定式

（11）|F（5）（10）否定肯定式

（12）D→F（6）（11）→+

（13）D∨F（12）蕴析律

5．Ø（D∨C），ØC®（A®ØB），A«B，∴ØA

【证明】：

（1）（D∨C）前提

（2）C→（A→B）前提

（3）AB前提

（4）D∧C

（1）德*摩根律

（5）C（4）∧-

（6）A→B

（2）（5）→-

（7）A→A（3）（6）RP（等值置换）

（8）〇A假设

（9）|A（7）（8）→-

（10）|A∧A（8）（9）∧+

（11）A（8）（10）+

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