河南省中考数学试题及答案解析.docx

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河南省中考数学试题及答案解析

2008 年河南省高级中等学校招生统一考试试卷

数学

注意事项：

1、本试卷共 8 页，三大题，满分 120 分，考试时间 100 分钟。

请用钢笔或圆珠笔答在试卷指定位置上。

2、答卷前请在指定的位置填好自己的座号，并将密封线内的项目填写清楚。

三

题号

得分

一  二

16   17   18   19   20   21   22   23    总分

得分评卷人

一、 选择题（本题满分 18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分）下列每小题都给出代号为 A、B、C、

D 的四个答案，其中只有一个是正确的。

请将各小题所选答案的代号填写在下面的表格内相应题号下面。

选择题答题号

1         2         3         4         5        6

题位置答案

1.-7的相反数是（）

1

D. -

77

2.直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α 的值是（ ）

A.

3        4                  4

B.         C.          D.

4        3                  5

3.如图，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点 A、B、C、D、E五

等 分 圆 ， 则

∠A + ∠ + ∠+ D∠ 等于（）

A. 360︒B. 180︒C. 150︒D. 120︒

4.初三年级某班十名男同学“俯卧撑”的测试成绩（单位：

次数）分别是9，14，10，15，7，9，16，10，11，9，

这组数据的众数、中位数、平均数依次是（）

A. 9,10,11B.10,11,9C.9,11,10D.10,9,11

5.如果关于x的一元二次方程 k 2 x2 - （2k + 1）x + 1 = 0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（）

1111

4444

6.如图，已知 □ ABCD中， AB=4,AD=2,E是AB边上的一动点（动点 E与点 A不重合，可与点 B重合），设

AE= x ,DE的延长线交CB的延长线于点 F，设CF= y ，则下列图象能正确 反映 y 与 x 的函数关系的是（

）

得

评卷人

分

二、填空题（本题满分27分,共有9道小题，每小题3分）

7.16的平方根是

8.如图，直线a,b被直线c所截，若a∥b， ∠1 = 50︒ ，则 ∠2 =

9.样本数据3，6，a,4，2的平均数是5，则这个样本的方差是

10.如图所示，AB为⊙0的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于点D，若AB=20cm, ∠A = 30︒ ,则AD=cm

11.某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地（如图），各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地

的周长为40cm，则对角线AC=cm

12.如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF,分别交AD、BC于点E、F，连接CE,已知 ∆CDE 的周长

为24cm，则矩形ABCD的周长是cm

13、在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划

土地的面积是1800cm 2 ，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程为

14、如图是二次函数 y = a（ x + 1） 2 + 2 图像的一部分，该图在 y 轴右侧与 x 轴交点的坐标

是

15、如图，直线 y = kx = -2 （ k ＞0）与双曲线 y = k

x

在第一象限内的交点面积为R，与 x 轴的交点为P，与 y 轴的交

点为Q；作RM⊥ x 轴于点

，若OPQ与△PRM的面积是4：

1，则 k =

三、解答题（本题满分75分，共8道小题）

16、（本小题满分8分）

⎧4 x ≤ 3（x + 1）①

解不等式组 ⎪ 13

x - 1-x - 3.②

2

并把解集在已画好的数轴上表示出来。

17. （本小题满分 9 分）

如图,已知:

在四边形 ABFC 中， ∠ACB =90 ︒, BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,且 CF=AE

（1） 试探究,四边形 BECF 是什么特殊的四边形;

（2） 当 ∠A 的大小满足什么条件时,四边形 BECF 是正方形?

请回答并证明你的结论.

（特别提醒:

表示角最好用数字）

18. （本小题满分 9 分）

已知 x x 是关于 x 的一元二次方程 x 2 - 6 x + k = 0 的两个实数根，且 x 2 x 2 — x — x =115

221212

（1）求 k 的值；

（2）求 x 2 + x 2 +8 的值。

12

19、（本小题满分 9 分）

某校 300 名优秀学生，中考数学得分范围是 70—119（得分都是整数），为了了解该校这 300 名学生

的中考数学成绩，从中抽查了一部分学生的数学分数，通过数据处理，得到如下频率分布表和频率分

布直方图.

分组频数频率

109.5—119.5150.30

99.5--109.5100.20

89.5—99.518

79.5—89.5

69.5—79.530.06

合计1.00

请你根据给出的图标解答：

（1）填写频率分布表中未完成部分的数据；

（2）指出在这个问题中的总体和样本容量；

（3）求出在频率分布直方图中直角梯形 ABCD 的面积；

（4）请你用 样 本 估 计 总 体 ，可以得到哪些信息？

（写一条即可）

......

20、（本题满分 9 分）

在暴雨到来之前，武警某部承担了一段长 150 米的河堤加固任务，加固 40 米后，接到上级抗旱

防汛指挥部的指示，要求加快施工进度，为此，该部队在保证施工质量的前提下，投入更多的兵力，

每天多加固 15 米，这样一共用了 3 天完成了任务。

问接到指示后，该部队每天加固河堤多少米？

21、（本题满分 10 分）

（

如图，在小山的西侧 A 处有一热气球，以 30 米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为 30°的方

向升空，40 分钟后到达 C 处，这时热气球上的人发现，在 A 处的正东方向有一处着火点 B，十分钟

后，在 D 处测得着火点 B 的俯角为 15°，求热气球升空点 A 与着火点 B 的距离。

 结果保留根号，参

考数据：

（ sin15︒ =6 - 2

4

， cos15︒ =

6 + 2

4

， tan15︒ = 2 - 3 ， cot15︒ = 2 + 3 ）。

22、（本题满分 10 分）

如图，△ABC 内接于⊙O，过点 B 作⊙O 的切线，交于 CA 的延长线于点 E，∠EBC=2∠C.

（1）求证：

AB=AC；

（2）当

AB                                 20

=   时，①求 tan∠ABE 的值；②如果 AE=   ，求 AC 的值。

BC  4                             11

23、（本题满分 11 分）

如图，抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，且当 x =O 和 x =4

时，y 的值相等。

直线 y=4x-16 与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是 3，另一点是这条抛物线的顶点 M。

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）P 为线段 OM 上一点，过点 P 作 PQ⊥ x 轴于点 Q。

若点 P 在线段 OM 上运动（点 P 不与点 O 重合，但可以与点 M 重

合），设 OQ 的长为 t，四边形 PQCO 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；

（3）随着点 P 的运动，四边形 PQCO 的面积 S 有最大值吗？

如果 S 有最大值，请求出 S 的最大值并指出点 Q 的具体位

置和四边形 PQCO 的特殊形状；如果 S 没有最大值，请简要说明理由；

（4）随着点 P 的运动，是否存在 t 的某个值，能满足 PO=OC？

如果存在，请求出 t 的值。

2008 年河南省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）

1．（3 分）﹣7 的相反数是（）

A．7

﹣

考点：

 相反数．

分析：

 根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为 0，采用逐一检验法求解即可．

解答：

 解：

根据概念，（﹣7 的相反数）+（﹣7）=0，则﹣7 的相反数是 7．

故选 A．

点评：

 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：

一个正数的相反数是负数，一个

负数的相反数是正数，0 的相反数是 0．

2．（3 分）三角形在正方形网格中的位置如图所示，则 cosa 的值是（）

A．B．C．D．

考点：

 锐角三角函数的定义．

专题：

 网格型．

分析：

 根据网格的特点及三角函数的定义解答即可．

解答：

解：

读图可得：

α 的对边是 4 个单位，邻边是 3 个单位，则斜边是 5 个单位，故 cosa= ．故选 C．

点评：

 本题考查锐角三角函数的概念：

在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．

3．（3 分）（2008•濮阳）如图，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点 A，B，C，D，E 五等分圆，则

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 等于（）

A．360°

B．180°

C．150°

D．120°

考点：

 圆周角定理；三角形内角和定理．

分析：

 连接 CD，根据圆周角定理，可得∠ECD=∠B，∠BDC=∠E；此时这五个角的度数和正好是△ ACD 的三个

内角的和，根据三角形内角和定理可得，这五个角的度数和应是 180°．

解答：

 解：

连接 CD，则有∠B=∠ECD，∠E=∠CDB；

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E

=∠A+∠ECD+∠C+∠D+∠CDB

=∠A+∠ADC+∠ACD=180°．

故选 B．

点评：

 本题综合考查圆周角定理、三角形的内角和定理的应用．

4．（3 分）初三某班 10 名男同学“引体向上”的测试成绩（单位：

次数）分别是：

9，14，10，15，7，9，16，10，

11，9，这组数据的众数，中位数，平均数依次是（）

A．9，10，11B．10，11，9C．9，11，10D．10，9，11

考点：

 中位数；算术平均数；众数．

分析：

 先把数据按大小排列，然后根据众数、中位数和平均数的定义求解．

解答：

 解：

从小到大排列此数据为：

7，9，9，9，10，10，11，14，15，16．

数据 9 出现了三次最多为众数；处在第 5 位、第 6 位的均为 10，所以 10 为中位数；

平均数为：

（7+9+9+9+10+10+11+14+15+16）÷10=11．

故选 A．

点评：

 本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义．

一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排

好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是

偶数个则找中间两位数的平均数．

5．（3 分）如果关于 x 的一元二次方程 k2x2﹣（2k+1）x+1=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（）

A．B．C．D．

考点：

 根的判别式．

专题：

 压轴题．

分析：

 若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△ =b2﹣4ac＞0，建立关于 k 的不等式，求出 k 的取值范围．

解答：

 解：

由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，

＞0

=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0．

又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，

∴k＞且 k≠0．

故选 B．

点评：

 总结：

一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系：

（1

＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2

=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3

＜0⇔方程没有实数根．

注意方程若为一元二次方程，则 k≠0．

6．（3 分）如图，已知 ABCD 中，AB=4，AD=2，E 是 AB 边上的一动点（动点 E 与点 A 不重合，可与点 B 重合），

设 AE=x，DE 的延长线交 CB 的延长线于点 F，设 CF=y，则下列图象能正确反映 y 与 x 的函数关系的是（）

A．B．C．D．

考点：

 动点问题的函数图象．

专题：

 压轴题；动点型．

分析：

 本题考查动点函数图象的问题．

解答：

 解：

∵动点 E 与点 A 不重合，可与点 B 重合，AB=4，AE=x．

∴0＜x≤4．即包括 4；

故选 B．

点评：

 本题各个 x 的取值范围都不同，所以只需从 x 的取值考虑即可．

二、填空题（共 9 小题，每小题 3 分，满分 27 分）

7．（3 分）16 的平方根是±4．

考点：

 平方根．

专题：

 计算题．

分析：

 根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2=a，则 x 就是 a 的平方根，由此即可解决

问题．

解答：

 解：

∵（±4）2=16，

∴16 的平方根是±4．

故答案为：

±4．

点评：

 本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 的平方根是 0；负数没有平方

根．

8．（3 分）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，若 a∥b，∠1=50°，则∠2=50度．

考点：

 平行线的性质；对顶角、邻补角．

专题：

 计算题．

分析：

 先利用平行线的性质可得∠3=∠1，又由对顶角相等推出∠2=∠3，故∠2 的度数可求．

解答：

 解：

∵a∥b，∠1=50°，

∴∠3=∠1=50°，

∵∠2=∠3，

∴∠2=∠1=50°．

点评：

 本题应用的知识点为：

两直线平行，同位角相等；对顶角相等．

9．（3 分）样本数据：

3，6，a，4，2 的平均数是 5，则这个样本的方差是8．

考点：

 方差；算术平均数．

分析：

 本题可先求出 a 的值，再代入方差的公式即可．

解答：

 解：

依题意得：

a=5×5﹣3﹣6﹣4﹣2=10，

方差 S2= [（3﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2+（4﹣5）2+（2﹣5）2]= ×40=8．

故填 8．

点评：

 本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：

①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据

与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．

（

10． 3 分）如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD∥BC 交 AC 于点 D，若 AB=20cm，∠A=30°，则 AD=5

cm．

考点：

 圆周角定理；特殊角的三角函数值．

分析：

 由圆周角定理，可知∠C=90°，已知 OD∥BC，因此△ AOD 是直角三角形，在这个直角三角形中，半径

OA=10cm，∠A=30°，通过解直角三角形可求出 AD 的长．

解答：

 解：

∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C=90°；

∵OD∥BC，∴∠ADO=90°；

在 

AOD 中，OA=10cm，∠A=30°；

AD=AO•cosA=10×=5cm．

点评：

 本题主要考查了圆周角定理、平行线的性质、余弦函数等知识的应用．

11．（3 分）某花木场有一块如等腰梯形 ABCD 的空地（如图），各边的中点分别是 E、F、G、H，用篱笆围成的四

边形 EFGH 场地的周长为 40cm，则对角线 AC=20cm．

考点：

 等腰梯形的性质；三角形中位线定理．

分析：

 利用等腰梯形和中位线定理和已知条件，即可推出结论．

解答：

解：

∵等腰梯形的对角线相等，EF、HG、GF、EF 均为梯形的中位线，∴EF=HG=GF=EF= AC．

又∵EF+HG+GF+EF=40cm，即 2AC=40cm，则 AC=20cm．对角线 AC=20cm．

故答案为：

20．

点评：

 本题考查的是等腰梯形的性质即三角形中位线的性质，属一般题目．

12．（3 分）如图，矩形 ABCD 的两条线段交于点 O，过点 O 作 AC 的垂线 EF，分别交 AD、BC 于点 E、F，连接

CE，已知△ CDE 的周长为 24cm，则矩形 ABCD 的周长是48cm．

考点：

 矩形的性质．

专题：

 计算题．

分析：

 利用 FE 垂直平分 AC 可得到 AE=CE，那么△ CDE 的周长就可以表示为 AD+CD，也就求出了矩形的周长．

解答：

 解：

∵OA=OC，EF⊥AC，

∴AE=CE，

∵矩形 ABCD 的周长=2（AE+DE+CD），

∵DE+CD+CE=24，∴矩形 ABCD 的周长=2（AE+DE+CD）=48cm．

点评：

 本题主要是利用矩形的对角线相互平分的性质和垂直平分线的性质求得 DE+CD+CE=AE+DE+CD=24．

13．（3 分）在一幅长 50cm，宽 30cm 的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使

整个规划土地的面积是 1800cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程为x2+40x﹣75=0．

考点：

 由实际问题抽象出一元二次方程．

专题：

 几何图形问题．

分析：

 如果设金色纸边的宽为 xcm，那么挂图的长和宽应该为（50+2x）和（30+2x），根据总面积即可列出方程．

解答：

 解：

设金色纸边的宽为 xcm，那么挂图的长和宽应该为（50+2x）和（30+2x），

根据题意可得出方程为：

（50+2x）（30+2x）=1800，

∴x2+40x﹣75=0．

点评：

 一元二次方程的运用，此类题是看准题型列面积方程，题目不难，重在看准题．

14．（3 分）如图是二次函数 y=a（x+1）2+2 图象的一部分，该图在 y 轴右侧与 x 轴交点的坐标是（1，0）．

考点：

 二次函数的图象．

专题：

 压轴题．

分析：

 由二次函数 y=a（x+1）2+2 可知对称轴 x=﹣1，从图象上看出与 x 轴左侧交点为（﹣3，0），利用二次函数

的对称性可知该图在对称轴右侧与 x 轴交点坐标．

解答：

 解：

由 y=a（x+1）2+2 可知对称轴 x=﹣1，根据对称性，

图象在对称轴左侧与 x 轴交点为（﹣3，0），

所以该图在对称轴右侧与 x 轴交点的坐标是（1，0）．

点评：

 要求熟悉二次函数图象的对称性，能从图象和解析式中分析得出对称轴和关于对称轴对称的点，并利用对

称性求得另一个点．

15．（3 分）如图，直线 y=kx﹣2（k＞0）与双曲线 y= 在第一象限内的交点为 R，与 x 轴的交点为 P，与 y 轴的交

点为 Q；作 RM⊥x 轴于点 M

OPQ 

PRM 的面积比是 4：

1，则 k=．

考点：

 反比例函数综合题；相似三角形的判定与性质．

专题：

 压轴题．

分析：

先通过相似三角形的性质得到 OQ：

RM=2：

1，得到 RM=1，即 R 的纵坐标为 1，于是有 R 的坐标为（ ，

1），再代入 y= 即可求出 k 的值．

解答：

 解：

∵

OQP∽

MRP，

OPQ 

PRM 的面积比是 4：

1，

∴OQ：

RM=2：

1，

∵Q 为 y=kx﹣2 与 y 轴交点，

∴OQ=2，

∴RM=1，即 R 的纵坐标为 1，

把 y=1 代入直线 y=kx﹣2，得 x= ，

所以 R 的坐标为（ ，1），把它代入 y= ，得 ×1=k（k＞0），解得 k=±．

点评：

∵图象在第一三象限，

∴k=  ，

故答案为  ．

观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式   （k≠0）即可求得 k 的值．

三、解答题（共 8 小题，满分 75 分）

16．（8 分）解不等式组并把解集在已画好的数轴上表示出来．

考点：

 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．

分析：

 先解不等式组中的每一个不等式，再根据“大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把

它们的解集用一条不等式表示出来．

解答：

 解：

解不等式 1，得 x≤3；

解不等式 2，得 x＞ ．

把解集在数轴上表示为：

∴原不等式组的解集是 ＜x≤3．

点评：

 本题考查不等式组的解法和解集在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示

大于等于或小于等于号的点用实心．

17．（9 分）如图，已知：

在四边形 ABFC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且

CF=AE．

（1）试探究，四边形 BECF 是什么特殊的四边形？

（

（2）当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正方形？

请回答并证明你的结论． 特别提醒：

表示角最好用

数字）

考点：

 菱形的判定；线段垂直平分线的性质；正方形的判定．

专题：

 几何综合题．

分析：

（1）根据中垂线的性质：

中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有 BE=EC，BF=FC，根据四边相等

的四边形是菱形即可判断；

（2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC=45°时，∠EBF=90°，有菱形为正方形，根据直

角三角形中两个角锐角互余得，∠A=45 度．

解答：

 解：

（1）四边形 BECF 是菱形．

证明：

∵BC 的垂直平分线为 EF，

∴BF=FC，BE=EC，

∴∠1=∠3，

∵∠ACB=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠3+∠A=90°，

∴∠2=∠A，

∴EC=AE，

又∵CF=AE，BE=EC

∴BE=EC=CF=BF，

∴四边形 BECF 是菱形．

（2）当∠A=45°时，菱形 BECF 是正方形．

证明：

∵∠A=45°，∠ACB=90°，

∴∠1=45°，

∴∠EBF=2∠A=90°，

∴菱形 BECF 是正方形．

点评：

 本题利用了：

菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质．

18．（9 分）已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+k=0 的两个实数根，且 x12x22﹣x1﹣x2=115．

（1）求 k 的值；

（2）求 x12+x22+8 的值．

考点：

 根与系数的关系；解一元二次方程-直接开平方法；根的判别式．

专题：

 压轴题．

分析：

（1）方程有两个实数根，必须满足△ =b2﹣4ac≥0，从而求出实数 k 的取值范围，再利用根与系数的关系，

x12x22﹣x1﹣x2=115．即 x12x22﹣（x1+x2）=115，即可得到关于 k 的方程，求出 k 的值．

（2）根据

（1）即可求得 x1+x2 与 x1x2 的值，而 x12+x22+8=（x1+x2）2﹣2x1x2+8 即可求得式子的值．

解答：

 解：

（1）∵x1，x2 是方程 x2﹣6x+k=0 的两个根，

∴x1+x2=6，x1x2=k，

∵x12x22﹣x1﹣x2=115，

∴k2﹣6=115，

解得 k1=11，k2=﹣11，

当