焦半径公式的三角形式及其应用.docx
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焦半径公式的三角形式及其应用
焦半径公式的三角形式及其应用
重庆清华中学张忠
焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新,故值得我们进一步总结与研究。
焦半径公式的代数形式：
设Fi,F2是曲线的左、右焦点，点P（Xo,y。
）在曲线上，记
r1PF1、r2PF2为左、右焦半径。
则在椭圆中：
riaexo,r2aexo；在双曲
2p
线中：
r1ex0a,r2ex0a；在抛物线y2px（p0）中：
rx0专。
若焦点在y轴上时，则把相应的X。
改为yo即可。
因应用情形比较常见，不再叙述。
，
本文介绍它的三角形式及其应用。
定理1：
若椭圆的离心角为贝U
（1）|PFi|=a+ccos0;
（2）|PF2|=a—ccos0.
证明：
•••椭圆的离心角为0,由椭圆参数方程知点P的横坐标为acos0，依焦半径的代
例1.Fi、F2是椭圆
数形式知：
|PFi|=a+exp=a+ea•cos0=a+c•cos0,|PF2|=a—exp=a—c•cos0.
+y2=1的左右焦点，点
P在椭圆上运动，则|PF1|•|PF2|的最大值是,最小值是.（1996
年第七届“希望杯”赛）
解：
设椭圆的离心角为0,又知a=2,c2=3，由定理1得
2222
|PF1|c•|PF2|=a—ccos0=4—3cos0
•/0|PF1|•|PF2|min=4—3•1=1
例2.椭圆的左右焦点为F1、F2,试问此椭圆的离心率e在什么值范围内，椭圆上恒存在点
P,使得PFi±PR。
解：
222222
设椭圆方程为bx+ay=ab（a>b>0），离心角为B,依题设、定理1及勾股定理得
（2c）2=（a—ccos0）2+（a+ccos0）2化简得cos20=
2
Owcos20<1,•••0W2
<1
结合0vev1
Wev1为所求。
定理2：
在圆锥曲线中，准线在焦点右侧时，焦半径
线PF的角，p为焦准距，在椭圆和双曲线中，因p
点左侧时,
PF
ep一，在椭圆和双曲线中,
1ecos
PF
b2
PF
ep
，这里为x轴到直
1ecos
PF
b2
b2
。
准线在焦
accos
。
准线在焦点上方
accos
或下方时，只需将视为y轴到直线PF的角即可。
证明：
则在圆锥曲线中，有以下几种情形:
1.准线在焦点右侧；
2.准线在焦点左侧；
3.准线在焦点上方；
4.准线在焦点下方；
对于情形1：
准线在焦点右侧，女吓图1,设点P（x0,y0）在圆锥曲线上，F是焦点，QH是准线所在直线，x轴到直线PF的角为，过点P作PQQH于Q，过点F作
FHQH于H，则:
|PFePQ,|PQFH|PFcos，可得
PF
eFH
1ecos
ep
1ecos
，这里p为焦准距，在椭圆和双
曲线中,
b2
具体化到椭圆和双曲线中，有公式|PF
b2
accos
抛物线中，有公式
PF—P—
1cos
对于情形2，如下图，准线在焦点左侧，同理可得:
PF
eFH
1ecos
eP——，这里p为焦准距，在椭圆和双曲
1ecos
线中,
b2
。
c
fi
具体化到椭圆和双曲线中，有公式PF
b2
，抛物线中，有公式
accos
PF
对于情节形3、4,如下两图，只需将上两种情形中的的几何意义改为y轴到直线PF
的角即可。
F面看角焦半径公式在高考中的应用:
例3.（07、重庆）过双曲线C：
x2y24的右焦点F作倾斜角为105°的直线，与双曲线
C交于A、B两点，贝U|AF|•|BF|
解：
由题设有:
|AF|=ep—
1ecos
2
1,2cos1050
|BF|
2
1.2cos1050
IAF|•|BF|=
4
20
12cos21050
44
1（1cos2100）cos300
8、3
~3~
例4.（07.重庆理22）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3,0）,右准线I的方程
为：
x=12。
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同点P1,F2,P3，使RFP2
P2FP3
F3FF1，证明
为定值，并求此定值。
解：
（I）
2
设椭圆方程为笃
a
2
y_
b2
1.因焦点为
F（3,0），故半焦距
a2
又右准线I的方程为x，从而由已知
c
a2
2
12,a36,
因此a6,b.a2
c227
3.3.
x2
故所求椭圆方程为36
（II）记椭圆的右顶点为
A，并设
AFR
（i1,2,3）,不失一般性,
又设点
P在I上的射影为
Qi,
因椭圆的离心率
3.
--，从而有
a2
FR
解得
PQie
1
cFRcosie-（9
2
FPcosi）（i1,2,3）.
FP
1cosi（i1,2,3）.
因此
|FR|
FP2
FP3
1cos
2
1cos
cos
cos
cos1
cos
cos1
cos1
21
.3.1
sin1cos1
22
—sin10,
2
1
FP「
11
Fp2「FP；
I为定值.
例5.（07•重庆文
21）如右图，倾斜角为a的直线经过抛物线
的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。
（I）求抛物线的焦点F的坐标及准线I的方程；
（H）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。
解：
（I）设抛物线的标准方程为
P4.
因此焦点F（—,0）的坐标为（
2
又准线方程的一般式为x
从而所求准线I的方程为x
y22px，则2p8，从而
2,0）.
P
。
2
2。
（n）解法一：
如图（21）图作AC丄l,BD丄I，垂足为C、D，则由抛物线的定义知
|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.
记A、B的横坐标分别为Xxxz,则
|FA|=|AC|=Xxp|FA|cosa号
|FA|cosa
4解得|FA|
4
1cosa
类似地有|FB|4|FB|cosa，解得|FB|
1cosa
记直线m与AB的交点为E,则
|FE||FA||AE||FA|
|FA||FB|
2
1
2（|FA||FB|）
14
21cosa
4
1cosa
4cosa
sin2a
4-2sin2a
.2
sina
所以|FP|近目4r-。
cosasina
故|FP||FP|cos2a—（1cos2a）sina
解法二：
设
A（XA，yA）,B（Xb,yB），直线
AB的斜率为ktana，则直线方程为
k（k22）
。
将此式代入y28x,得k2x24（k22）x4k20，故xAxB
记直线m与AB的交点为E（xE,yE），则
XaXb2（k22）
XE厂
2k2
4
yEk（XE2）
k
故直线m的方程为y
令y=0,得P的横坐标
|FP|xp2理笃
k2
2k24
Hk^
Xp
1）
从而|FP||FP|cos2a
2k2
4
sin2a
4
—（1
sina
cos2a）
2
4-2sina
28为定值。
sina
2
6.（08、安徽）设椭圆C:
冷
a
2
Yy1（a>b>0）其相应于焦点F（2,0）的准线方程为
b
4•
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点£（—2,0）倾斜角为的直线交椭圆C于A、B
4£‘2
两点，求证：
|AB|=—;（3）过点F1（—2,0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C
2cos
于点A、B和D、E，求|AB|+|DE|的最小值.
22
解：
⑴椭圆C的方程为—1；
84
（2）F1（—2,0）是椭圆C的左焦点，离心率e于，设l为椭圆的左准线,
则L:
x=—4.作
AAi丄L于Ai,BBi丄L于Bi,L与x轴交于点H.l•点A在椭圆上,
AF1
—|aA^|—（HF1AF1cos
22
AF1
2
2cos
，同理BF1
2
2cos
AF1
BF1
2
■2cos
2
、:
2cos
4「2
2cos2
A
（3）设x轴到直线AB的角为，由于DEAB,由
（2）可得
AB
42
2，
2cos
AB|DE
DE
4.2
2cos2
34时,
AB
例7.（05、全国2）P、Q、
42
2sin2
4迈
2sin2
12.2
2sin2cos2
12一2
2-sin22
4
DE取得最小值以2.
3
M、N四点都在椭圆x2
1上，F为椭圆在y轴正半轴上
的焦点•已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且
PF•MF=0,求四边形
PMNQ的面
积的最大值和最小值.
解：
y轴到直线PF
的角为（0WBW—）.a2
2
2,b=1,c=1,
P=
b2
丄由公式直接有：
|PQ|=
2
|1
2二
2
^cos2|2cos
2
同理:
|MN|
.2sin
••••PQ!
MN•••Spmqn
1•|PQ|•|MN|
2
SPMQN
2,2
2cos2
2sin2
4
12
2—（sin2）2
4
22
由0WBW—,所以0wsin2
2
例&（07、安徽）
切线，求切线方程；
16
1—WSpmqnW2.
9
已知抛物线G:
x2=4y的焦点为F.
（1）过点P（0,-4）
（2）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足
FA•FB=0.延长
AF、BF分别与抛物线G交于点C、D,求四边形ABCD
的面积的最小值.
2
解：
（1）设切点为Q（x0,jX°）.由y，=仝,知在点Q处的切线斜率k=西•故
作抛物线的
422
22
所求切线方程为：
y—虫=’（x—X。
）.即y=卫x—Xo•因为点P（0,-4）在切线上,
4224
2
22=4
2cos2|sin2
所以：
-4=号•0-乡，求得X0=±4.所求切线方程为：
y=±2x-4.
（2）设y轴到直线AC的角为B.e=1,p=2,由公式有：
|AC|=
|1-1
同理可得：
4
|BD|=2
cos
1•4
2sin2
4
2
cos
FA•FB=0,•••AC丄BD,所以：
SABCD
-•|AC|•|BD|=
2
s^T‘32.所以Sabcd的最小值为32•
附同类练习题：
32
题1.（2009年高考全国卷n理科题）已知双曲线的右焦点为厂,
过F且斜率为丛的直线交二于—-两点。
若二：
＜，则二的离心率为（）
解：
选上。
题2.（2010年高考全国卷n理科第12题）已知椭圆f的离心率为
£一一
-。
过右焦点且斜率为一「的直线于I相交于两点，若-」,贝『：
一（）
A18.^2了馆D.2
解：
选吕。
J.
题3.（08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点戸作倾斜角为三厂的
直线，与抛物线交于川』两点（点丄在卩轴左侧），则有『引
\AF\1
题4.（2010年高考全国卷I理科第16题）已知F是椭圆二的一个焦点，石是短轴的一个
端点，线段衣因的延长线交0于点Q,且丽二2FD，则口的离心率为
s=—解：
-；
C:
题5（自编题）已知双曲线
=l（d>0^>0）
的离心率为
-，过左焦点F且
斜率为fc>0的直线交C的两支于出月两点。
若|皿卜引肪I,则疋=
解:
k¥
卑MW］）,则有
推论：
已知点F和直线■是离心率为扌的圆锥曲线匚的焦点和对应准线，焦准距（焦点到
对应准线的距离）为d。
过点F的弦止三与曲线二的焦点所在的轴的夹角为
证明：
设点丄二厂在准线上的射影分别为：
「,过点F作轴一匸^的垂线交直线宀＜
AF|貯|
"二宕二Fj
于点M，交直线0对于点时。
由圆锥曲线的统一定义得，血1淬d，所以
…’T■■:
一。
（1）当焦点田内分弦血时。
如图4,国如4鋼+阙“+|肿|沖9,
I硼=風州-\NB\=p-\BF\cos&o\AF\=e（p^\AF\c^&l\BF\=e{p-|5F|cos^
AF\=—空—阿=—乂—
所以较长焦半径1-处Z，较短焦半径1十它wB。
|如朋曲=矽+矽=学
所以1-^COS^?
l+f?
COS^\-GCOSdo
（2）当焦点F外分弦口三时（此时曲线为双曲线）。
图5
如图5|逊|=|如国站卜|胭J-］阳卜卩恥険把
所以冷:
I■■■・•；-「
所以较长焦半径
AF\=
^cos^-1
较短焦半径
所以
epep_2ej?
1—-
■?
'一・.：
丿一:
匸.'.■■■JI.<■…■'■J一。
综合
（1）
（2）知，较长焦半径
较短焦半径
.■L'_..-J。
特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距
7就是通径之半，较长焦半径
|曲|=—艺—
-「-；」，较短焦半径
-L八匸，焦点弦的弦长公式为
AB\=^-
sm&。
当曲
线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为
112112cos^
b——,—注由上可得，当焦点尸内分弦血时，有商I阳吋阿眄P
112_丄1_皿日
当焦点F外分弦曲时，有阿则吋|吗阳P。
例1.（2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线-''-的焦点F作倾斜角为二丁
的直线，交抛物线于丿，丑两点，若线段/月的长为8，则戸二
解•由抛物焦点弦的弦长公式为
\AB\=
sin245
^+^-=1（^>b>0）_
例2.（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆一/的右焦点为广,
经过F且倾斜角为的直线■与椭圆相交于不同两点丄'，已知一"-o
^51=—
（1）求椭圆的离心率；
（2）若4,求椭圆方程。
解：
（1）这里匸二，〔一：
，
由定理1的公式得
^cos60*=
2-1
2+1
2
e=—
解得二O
ff=-re=6（T,\AB\=—1-（-）acosa604
（2）将匚「，代入焦点弦的弦长公式得，-，解
_5__5_c_2
得；-1，即_--「二，所以甘—小①，又"_、1,设’'，
_—]代入①得杆"，所以-：
所以JL「:
故所求椭圆方程为*:
'O
例3.（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点歹作倾斜角为-1：
：
的
直线，交双曲线于巴。
两点，则"F口的值为
解：
因为’’'V,离心率-■/，点准距「「’一，因倾斜角为--'=，所
以m=。
注意到.二分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，
\FP[\FQ\=—聖艺—=<—=———=8
'。
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