第一部分函数导数及其应用.docx
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第一部分函数导数及其应用
集合与函数口诀
内容子交并补集，还有幂指对函数。
性质奇偶与增减，观察图象最明显。
复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。
指数与对数函数，两者互为反函数。
底数非１的正数，１两边增减变故。
函数定义域好求。
分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数；
正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。
两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴；
求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。
幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，
奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。
函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）
（1）函数
①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．
③了解简单的分段函数（09、08）（09），并能简单应用．
④理解函数的单调性（10、09、08、07）（09、08、07）、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性（11奇、10、09、08偶，07奇）（09、08偶，11、10、07奇）的含义．
⑤会运用函数图象（11、09、08）（11、09、08、）理解和研究函数的性质．
（2）指数函数（11、10、09、08、07）（11、10，09、08、07）
①了解指数函数模型的实际背景．
②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
④知道指数函数是一类重要的函数模型．
（3）对数函数（10、09、08、07）（11、09、08、07）
①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
②理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点．
③知道对数函数是一类重要的函数模型．
④了解指数函数
与对数函数
互为反函数．
（4）幂函数
①了解幂函数（07）（07）的概念．
②结合函数
的图象，了解它们的变化情况．
（5）函数与方程
①结合二次函（07）数的图象，了解函数的零点（11、10、09、07）（11、09、07）与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
②根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
（6）函数模型及其应用
①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
导数及其应用
（1）导数概念及其几何意义
①了解导数概念的实际背景．
②理解导数的几何意义．（11、10）
（2）导数的运算
①能根据导数定义，求函数
的导数．
②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．（理科）能求简单的复合函数（仅限于形如
的复合函数）的导数．
·常见基本初等函数的导数公式和常用的导数计算公式：
（
为常数），
（11、10，09,08,07）（11、10，09,08,07）
·法则1：
·法则2：
·法则3：
（11、10，09,08,07）（11、10，09,08,07）
（3）导数在研究函数中的应用
①了解函数的单调性与导数的关系（11、10，09,08,07）（11、10，09,08,07）；能利用导数研究函数的单调性（11、10，09,08）（11、10，09,07），会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（10、09,07）（08,07）（其中多项式函数一般不超过三次），会求在闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．（11，10）（11、10，09）
函数及其表示．
一个方法
求复合函数y＝f（t），t＝q（x）的定义域的方法：
①若y＝f（t）的定义域为（a，b），则解不等式得a＜q（x）＜b即可求出y＝f（q（x））的定义域；②若y＝f（g（x））的定义域为（a，b），则求出g（x）的值域即为f（t）的定义域．
两个防范
（1）解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．
（2）用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．
三个要素
函数的三要素是：
定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：
A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.
函数的单调性与最值
一个防范
函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝
分别在（－∞，0），（0，＋∞）内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即（－∞，0）∪（0，＋∞）内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为（－∞，0）和（0，＋∞），不能用“∪”连接．
两种形式
设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么
①
＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．
两条结论
（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值．
四种方法
函数单调性的判断
（1）定义法：
取值、作差、变形、定号、下结论．
（2）复合法：
同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．
（3）导数法：
利用导数研究函数的单调性．
（4）图象法：
利用图象研究函数的单调性．
函数的奇偶性与周期性
一条规律
奇、偶函数的定义域关于原点对称．
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
两个性质
（1）若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则f（0）＝0.
（2）设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
三种方法
判断函数的奇偶性，一般有三种方法：
（1）定义法；
（2）图象法；（3）性质法．
三条结论
（1）若对于R上的任意的x都有f（2a－x）＝f（x）或f（－x）＝f（2a＋x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．
（2）若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x），且f（2b－x）＝f（x）（其中a＜b），则：
y＝f（x）是以2（b－a）为周期的周期函数．
（3）若f（x＋a）＝－f（x）或f（x＋a）＝
或f（x＋a）＝－
，那么函数f（x）是周期函数，其中一个周期为T＝2a；
（3）若f（x＋a）＝f（x＋b）（a≠b），那么函数f（x）是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.
指数与指数函数
一个关系
分数指数幂与根式的关系
根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
两个防范
（1）指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：
0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．
（2）换元时注意换元后“新元”的范围．
三个关键点
画指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：
（1，a），（0,1），
.
对数与对数函数
一种思想
对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．
两个防范
解决与对数有关的问题时，
（1）务必先研究函数的定义域；
（2）注意对数底数的取值范围．
三个关键点
画对数函数的图象应抓住三个关键点：
（a,1），（1,0），
.
四种方法
对数值的大小比较方法
（1）化同底后利用函数的单调性．
（2）作差或作商法．（3）利用中间量（0或1）．
（4）化同真数后利用图象比较．
双基自测
1、化简下列各式（其中各字母均为正数）．
（1）
；
（2）
a
·b－2·（－3a－
b－1）÷（4a
·b－3）
.
（3）
；
（4）（lg5）2＋lg50·lg2；
（5）
lg
－
lg
＋lg
.
2、下列函数：
①f（x）＝
＋
；②f（x）＝x3－x；③f（x）＝ln（x＋
）；④f（x）＝
；⑤f（x）＝lg
.其中奇函数的个数是（ ）．
A．2B．3C．4D．5
3、已知a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系是（ ）．
A．a＜b＜cB．a＜c＜b
C．b＜a＜cD．c＜a＜b
4、函数f（x）＝ln（4＋3x－x2）的单调递减区间是（ ）．
A.
B.
C.
D.
5、
（1）已知f（x）的定义域为
，求函数y＝f
的定义域；
（2）已知函数f（3－2x）的定义域为[－1,2]，求f（x）的定义域．
6、
（1）已知f
＝lgx，求f（x）；
（2）定义在（－1,1）内的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），求函数f（x）的解析式．
7、讨论函数f（x）＝
（a≠0）在（－1,1）上的单调性．
8、求f（x）＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．x
[-1,1]
D.
基础达标演练
1、选择题
1．（人教A版教材习题改编）函数f（x）＝log2（3x＋1）的值域为（ ）．
A．（0，＋¡Þ）B．[0，＋¡Þ）
C．（1，＋¡Þ）D．[1，＋¡Þ）
2．（2011·江西）若f（x）＝
，则f（x）的定义域为（ ）．
A.
B.
C.
D．（0，＋¡Þ）
3．下列各对函数中，表示同一函数的是（ ）．
A．f（x）＝lgx2，g（x）＝2lgx
B．f（x）＝lg
，g（x）＝lg（x＋1）－lg（x－1）
C．f（u）＝
，g（v）＝
D．f（x）＝（
）2，g（x）＝
4．（2010·陕西）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）．
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
5．设f（x）为奇函数，且在（－¡Þ，0）内是减函数，f（－2）＝0，则xf（x）＜0的解集为
（ ）．
A．（－2,0）∪（2，＋¡Þ）
B．（－¡Þ，－2）∪（0,2）
C．（－¡Þ，－2）∪（2，＋¡Þ）
D．（－2,0）∪（0,2）
6．（2011·湖南）已知函数f（x）＝ex－1，g（x）＝－x2＋4x－3.若有f（a）＝g（b），则b的取值范围为（ ）．
A．[2－
，2＋
]B．（2－
，2＋
）
C．[1,3]D．（1,3）
7．（2012·保定一中质检）已知f（x）为R上的减函数，则满足f
（1）的实数x的取值范围是（ ）．
A．（－1,1）B．（0,1）
C．（－1,0）∪（0,1）
D．（－¡Þ，－1）∪（1，＋¡Þ）
8．（2011·全国）设f（x）是周期为2的奇函数，当0¡Üx¡Ü1时，f（x）＝2x（1－x），则f
＝（ ）．
A.－
B.－
C.
D.
9．（2012·福州一中月考）f（x）＝
－x的图象关于（ ）．
A．y轴对称B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称D．直线y＝x对称
10．（2011·广东）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）．
A．f（x）＋|g（x）|是偶函数B．f（x）－|g（x）|是奇函数
C．|f（x）|＋g（x）是偶函数D．|f（x）|－g（x）是奇函数
11．（2011·福建）对于函数f（x）＝asinx＋bx＋c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f
（1）和f（－1），所得出的正确结果一定不可能是（ ）．
A．4和6B．3和1
C．2和4D．1和2
12．（2011·山东）若点（a,9）在函数y＝3x的图象上，则tan
的值为（ ）．
A．0B.
C．1D.
13．（2012·郴州五校联考）函数f（x）＝2|x－1|的图象是（ ）．
14．若函数f（x）＝
，则该函数在（－¡Þ，＋¡Þ）上是（ ）．
A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值
15．（2011·天津）已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝
log30.3，则（ ）．
A．a＞b＞cB．b＞a＞c
C．a＞c＞bD．c＞a＞b
16．（2010·四川）2log510＋log50.25＝（ ）．
A．0B．1C．2D．4
17．（2012·黄冈中学月考）函数f（x）＝log2（3x＋1）的值域为（ ）．
A．（0，＋¡Þ）B．[0，＋¡Þ）
C．（1，＋¡Þ）D．[1，＋¡Þ）
18．（2012·汕尾模拟）下列区间中，函数f（x）＝|ln（2－x）|在其上为增函数的是（ ）．
A．（－¡Þ，1]B.
C.
D．[1,2）
二、填空题
1．若loga
>1，则a的取值范围是________．
2．若x＞0，则x＋
的最小值为________．
3．（2011·浙江）若函数f（x）＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
4．（2012·天津一中月考）已知a
＋a－
＝3，则a＋a－1＝______；a2＋a－2＝________.
5．（2011·江苏）函数f（x）＝log5（2x＋1）的单调增区间是______．
三、解答题
1、求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝
；
（2）f（x）＝
.
2、
（1）已知f（x）是二次函数，若f（0）＝0，且f（x＋1）＝f（x）＋x＋1，试求f（x）的表达式．
（2）已知f（x）＋2f（
）＝2x＋1，求f（x）．
3、已知函数f（x）＝
（a>0）在（2，＋¡Þ）上递增，求实数a的取值范围．
4、已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＜0，f
（1）＝－
.
（1）求证：
f（x）在R上是减函数；
（2）求f（x）在[－3,3]上的最大值和最小值．
5、已知函数f（x）是（－¡Þ，＋¡Þ）上的奇函数，且f（x）的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f（x）＝2x－1，
（1）求证：
f（x）是周期函数；
（2）当x∈[1,2]时，求f（x）的解析式；
（3）计算f（0）＋f
（1）＋f
（2）＋¡＋f（2013）的值．
6、已知函数f（x）＝
·x3（a＞0且a¡Ù1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性；
（3）求a的取值范围，使f（x）＞0在定义域上恒成立．
7、已知f（x）＝log4（4x－1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）求f（x）在区间
上的值域．
幂函数与二次函数
五个代表
函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x
，y＝x－1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表．
两种方法
函数y＝f（x）对称轴的判断方法
（1）对于二次函数y＝f（x）对定义域内所有x，都有f（x1）＝f（x2），那么函数y＝f（x）的图象关于x＝
对称．
（2）对于二次函数y＝f（x）对定义域内所有x，都有f（a＋x）＝f（a－x）成立的充要条件是函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称（a为常数）．
函数图象
一条主线
数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置．
两个区别
（1）一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称．
（2）一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．
三种途径
明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径．
（1）图象变换：
平移变换、伸缩变换、对称变换．
（2）函数析式的等价变换．
（3）研究函数的性质．
函数与方程
一个口诀
用二分法求函数零点近似值的口诀为：
定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？
精确度上来判断．
两个防范
（1）函数y＝f（x）的零点即方程f（x）＝0的实根，是数不是点．
（2）若函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f（a）·f（b）＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，
f（a）·f（b）＞0，f（x）在区间（a，b）上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．
三种方法
函数零点个数的判断方法：
（1）直接求零点：
令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：
利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：
画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
变化率与导数、导数的运算
一个区别
曲线y＝f（x）“在”点P（x0，y0）处的切线与“过”点P（x0，y0）的切线的区别：
曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k＝f'（x0），是唯一的一条切线；曲线y＝f（x）过点P（x0，y0）的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
一种法则
（1）导数的四则运算法则．
三个防范
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别．
导数的应用
直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．
两个条件
（1）f'（x）＞0在（a，b）上成立是f（x）在（a，b）上单调递增的充分条件．
（2）对于可导函数f（x），f'（x0）＝0是函数f（x）在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
三个步骤
求函数单调区间的步骤：
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x）；
（3）由f'（x）＞0（f'（x）＜0）解出相应的x的范围．
当f'（x）＞0时，f（x）在相应的区间上是增函数；当f'（x）＜0时，f（x）在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．
两个注意
（1）注意实际问题中函数定义域的确定．
（2）在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．
三个防范
（1）求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．
（2）f'（x0）＝0是y＝f（x）在x＝x0取极值的既不充分也不必要条件．
如①y＝|x|在x＝0处取得极小值，但在x＝0处不可导；
②f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是f（x）＝x3的极值点．
（3）若y＝f（x）可导，则f'（x0）＝0是f（x）在x＝x0处取极值的必要条件．
双基自测
1、分别画出下列函数的图象：
（1）y＝|lgx|；
（2）y＝2x＋2；
（3）y＝x2－2|x|－1；
（4）y＝
.
（5）y＝2x＋1－1；
（6）y＝sin|x|；
（7）y＝|log2（x＋1）|.
2、求下列各函数的导数：
（1）y＝
；
（2）y＝（x＋1）（x＋2）（x＋3）；
（3）y＝sin
*
；
（4）y＝
＋
；
3、（2012·安康模拟）函数f（x）＝sinx－x零点的个数是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
4、（2010·天津）函数f（x）＝2x＋3x的零点所在的一个区间是（ ）．
A．（－2，－1）B．（－1,0）
C．（0,1）D．（1,2）
5、已知函数f（x）＝x3－4x2＋5x－4.
（1）求曲线f（x）在x＝2处的切线方程；
（2）求经过点A（2，－2）的曲线f（x）的切线方程．
6、（2011·重庆）设f（x）＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f¡ä（x），若函数y＝f¡ä（x）的图象关于直线x＝－
对称，且f¡ä
（1）＝0.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值．
基础达标演练
一、选择题
1\（人教A版教材习题改编）为了得到函数y＝lg
的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点（ ）．
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
2．（2011·安徽）若点（a，b）在y＝lgx图象上，a¡Ù1，则下列点也在此图象上的是
（ ）
A
B．（10a,1－b）
C.
D．（a2,2b）
3．函数y＝1－
的图象是（ ）．
4．（2011·陕西）函数y＝x
的图象是（ ）．
5．已知图①中的图象对应的函数为y＝f（x），则图②的图象对应的函数为（ ）．
A．y＝f（|x|）B．y＝|f（x）|
C．y＝f（－|x|）D．y＝－f（|x|）
6．（2011·安徽）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x¡Ü0时，f（x）＝2x2－x，则f
（1）＝（ ）．
A．－3B．－1C．1D．3
7.（人教A版教材例题改编）如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±
四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为（ ）．
A．－2，－
，
，2B．2，
，－
，－2
C．－
，－2,2，
D．2，
，－2，－
8．（2011·浙江）设函数f（x）＝
若f（α）＝4，则实数α等于（ ）．
A．－4或－2B．－4或2
C．－2或4D．－2或2
9．已知函数f（x）＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于（ ）．
A．3B．2
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