第五章 符号数学基础.docx
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第五章符号数学基础
第五章符号数学基础
Chapter5:
FoundationofSymbolicMathematics
一．符号对象的创建（Creatingasymbolicobject）
1.创建符号变量和表达式（Creatingasymbolicvariableandexpression）
创建符号变量和表达式的两个基本函数：
sym,syms
*x=sym（‘x’）创建一个符号变量x，可以是字符、字符串、表达式或字符表达式。
*syms用于方便地一次创建多个符号变量，调用格式为：
symsabcd.书写简洁意义清楚，建议使用。
例1：
使用sym函数创建符号变量.
a=sym（‘a’）
b=sym（‘hello’）
c=sym（（‘（1+sqrt（5））/2’）
y=sym（‘x^3+5*x^2+12*x+20’）
a=
a
b=
hello
C=
（1+sqrt（5））/2
Y=
x^3+5*x^2+12*x+20
例2：
用syms函数创建符号变量。
symsabcd
2.创建符号矩阵（SymbolicmatrixCreating）
例1：
创建一个循环矩阵。
symsabcd
n=[abcd;bcda;cdab;dabc]
n=
[a,b,c,d]
[b,c,d,a]
[c,d,a,b]
[d,a,b,c]
例2：
将3阶Hilbert矩阵转换为符号矩阵。
h=hilb（3）
h1=sym（h）
h=
1.00000.50000.3333
0.50000.33330.2500
0.33330.25000.2000
h1=
[1,1/2,1/3]
[1/2,1/3,1/4]
[1/3,1/4,1/5]
注意符号矩阵于数值矩阵的区别。
3.默认符号变量（Impliedsymbolicvariable）
在MATLAB的符号数学工具箱中，以最接近x的顺序排列默认自变量的顺序，可利用findsym函数对默认自变量进行查询。
例1：
求符号函数在不同自变量情况下的结果。
创建符号变量x和n，建立函数f=xn，然后分别求f对x和f对n的导数.
symsxn
f=x^n
diff（f）%x作为自变量，求f对x的导数
diff（f,n）%n作为自变量，求f对n的导数
f=
x^n
ans=
x^n*n/x
ans=
x^n*log（x）
例2：
查询符号函数中的默认自变量。
创建符号变量a,b,n,x和t，建立函数f=axn+bt，然后求f的默认自变量。
symsabntx
f=a*x^n+b*t
findsym（f,1）
findsym（f,2）
findsym（f,5）%f表达式中按最接近x顺序排列的5个默认自变量
findsym（f）%f表达式中按最接远字母顺序排列的全部自变量
f=
a*x^n+b*t
ans=
x
ans=
x,t
ans=
x,t,n,b,a
ans=
a,b,n,t,x
>>
二.符号表达式的化简和替换（simplifyingandreplacingofSymbolicexpressions）
符号数学工具箱提供的符号表达式的因式分解、展开、合并、化简、通分等操作：
1.符号表达式的化简（Simplifyingofsymbolicexpression）
（1）.因式分解（Factorization）
符号表达式的因式分解函数为factor（S）,可分解符号表达式S的各个元素。
例1：
对表达式f=x9-1进行因式分解。
symsx
f=factor（x^9-1）
pretty（f）
f=
（x-1）*（x^2+x+1）*（x^6+x^3+1）
（x-1）（x2+x+1）（x6+x3+1）
例2：
对大整数12345678901234567890进行因式分解。
factor（sym（‘12345678901234567890’））
ans=
（2）*（3）^2*（5）*（101）*（3803）*（3607）*（27961）*（3541）
（2）符号表达式的展开（Expandingofsymbolicexpressions）
符号表达式的展开函数为expand（S）,此函数因数展开符号表达式S.
例：
展开表达式f=（x+1）5和f=sin（x+y）
symsxy
f=（x+1）^5;
expand（f）
f=sin（x+y）;
expand（f）
ans=
x^5+5*x^4+10*x^3+10*x^2+5*x+1
ans=
sin（x）*cos（y）+cos（x）*sin（y）
（3）.符号表达式的同类项合并（Similarteammergingforsymbolicexpression）
符号表达式的同类项合并函数为collect（S,n），此函数将符号表达式中自变量的同次幂项的系数合并。
例：
对于表达式f=x（x（x-6）+12）t,分别将自变量x和t的同类项合并。
symsxt
f=x*（x*（x-6）+12）*t;
collect（f）
collect（f,t）
ans=
t*x^3-6*t*x^2+12*t*x
ans=
x*（x*（x-6）+12）*t
（4）.符号表达式的化简（Simplifyingofsymbolicexpression）
符号表达式的两个化简函数：
simplify，simple,
simplify：
化简函数,可用于化简各种表达式
例1：
对表达式f=sin2（x）+cos2（x）进行化简.
symsx
f=sin（x）^2+cos（x）^2;
simplify（f）
ans=
1
[r,how]=simple（S）函数可寻找符号表达式S的最简型，r为返回的简化形式，how为化简过程中使用的主要方法，simple函数综合使用了下列化简方法：
*simplify函数对表达式进行化简
*radsimp函数对含根式（surd）的表达式进行化简
*combine函数对表达式中以求和、乘积、幂运算等形式出现的项进行合并
*collect合并同类项
*factor函数实现因式分解
*convert函数完成表达式形式的转换
例2：
最简表达式的获得。
symsxt
f=cos（x）^2-sin（x）^2;
[r,how]=simple（f）
r=
cos（2*x）
how=
combine
（5）符号表达式的分式通分（Reductionsymbolicexpressiontocommondenominator）
符号表达式的分式通分函数为[n,d]=numden（S）,此函数将符号表达式转换为分子（Numerator）和分母（denominator）都是正系数的最佳多项式。
例：
对表达式f=x/y+y/x进行通分。
symsxy
f=x/y+y/x;
[n,d]=numden（f）
n=
x^2+y^2
d=
y*x
（6）符号表达式的嵌套形式重写（Representationofnestedsymbolicexpression）
符号表达式的嵌套形式重写函数为horner（S）,此函数将符号表达式转换为嵌套形式。
例：
对表达式f=x3+6x2+11x-6进行嵌套形式重写。
symsx
f=x^3+6*x^2+11*x-6;
horner（f）
ans=
-6+（11+（6+x）*x）*x
2.符号表达式的替换（Replacingofsymbolicexpression）
MATLAB的符号数学工具箱提供了两个符号表达式的替换函数subexpr和subs，可通过符号替换使表达式的输出形式简化。
subexpr函数可将表达式中重复出现的字符串用变量代替。
调用格式：
[Y,SIGMA]=subexpr（S,SIGMA）:
用变量SIGMA的值代替符号表达式S中重复出现的字符串，Y返回替换后的结果。
例：
求解并化简三次方程x3+ax+1=0的符号解。
t=solve（‘x^3+a*x+1=0’）
[r,s]=subexpr（t,’s’）
t=[1/6*（-108+12*（12*a^3+81）^（1/2））^（1/3）-2*a/（-108+12*（12*a^3+81）^（1/2））^（1/3）]
[-1/12*（-108+12*（12*a^3+81）^（1/2））^（1/3）+a/（-108+12*（12*a^3+81）^（1/2））^（1/3）+1/2*i*3^（1/2）*（1/6*（-108+12*（12*a^3+81）^（1/2））^（1/3）+2*a/（-108+12*（12*a^3+81）^（1/2））^（1/3））]
[-1/12*（-108+12*（12*a^3+81）^（1/2））^（1/3）+a/（-108+12*（12*a^3+81）^（1/2））^（1/3）-1/2*i*3^（1/2）*（1/6*（-108+12*（12*a^3+81）^（1/2））^（1/3）+2*a/（-108+12*（12*a^3+81）^（1/2））^（1/3））]
r=
[1/6*s^（1/3）-2*a/s^（1/3）]
[-1/12*s^（1/3）+a/s^（1/3）+1/2*i*3^（1/2）*（1/6*s^（1/3）+2*a/s^（1/3））]
[-1/12*s^（1/3）+a/s^（1/3）-1/2*i*3^（1/2）*（1/6*s^（1/3）+2*a/s^（1/3））]
s=
-108+12*（12*a^3+81）^（1/2）
函数subs是用指定符号替换符号表达式中的某一特定符号，调用格式为：
R=subs（S,old,new），它可用新的符号变量new替换原来符号表达式S中的old.当new为数值形式时，显示的结果虽然是数值，但它事实上是符号变量。
例：
分别用新变量替换表达式a+b和cos（a）+sin（b）中变量。
symsab
subs（a+b,a,4）
subs（cos（a）+sin（b）,{a,b},{sym（'alpha'）,2}）%用单元数组完成不同性质
%元素的替换
ans=
4+b
ans=
cos（alpha）+sin
（2）
三．符号微积分（Differentialandintegralcalculus）
1.符号极限（Symboliclimit）
*limit（F,x,a）计算符号表达式F在x→a条件下的极限；
*limit（F,a）计算符号表达式F中由默认自变量趋向于a条件下的极限；
*limit（F,）计算符号表达式F在默认自变量趋向于0条件下的极限；
*limit（F,x,a,‘right’）和limit（F,x,a,’left’）计算符号表达式F在x→a条件下的右极限和左极限。
例：
分别计算表达式
及
和
symsxa;
limit（sin（x）/x）
limit（1/x,x,0,’right’）
limit（1/x,x,0,’left’）
v=[（1+a/x）^x,exp（-x）];
limit（v,x,inf,’left’）
ans=
1
ans=
inf
ans=
-inf
ans=
[exp（a）,0]
2.符号微分（symbolicdifferentialcalculus）
*diff（S）求符号表达式S对于默认自变量的微分；
*diff（S,v）求符号表达式S对于自变量v的微分；
*diff（S,n）求符号表达式S对于默认自变量的n次微分；
例：
分别计算表达式f=xx的导数和3次导数.
symsx;
f=x^x;
diff（f）
diff（f,3）
ans=
x^x*（log（x）+1）
ans=
x^x*（log（x）+1）^3+3*x^x*（log（x）+1）/x-x^x/x^2
3.符号积分（Symbolicintegralcalculus）
*int（S）求符号表达式S对于默认自变量的不定积分；
*int（S,v）求符号表达式S对于自变量v的不定积分；
*int（S,a,b）求符号表达式S对于默认自变量从a到b的定积分；
例：
分别计算表达式
、
、
和
。
symsxz;
f=-2*x/（1+x^2）^2;
int（f）
f=x/（1+z^2）;
int（f）
int（f,z）
f=x*log（1+x）;
int（f,0,1）
ans=
1/（1+x^2）
ans=
1/2*x^2/（1+z^2）
ans=
x*atan（z）
ans=
1/4
4.符号求和（Symbolicsummation）
*symsum（S）求符号表达式S对于默认自变量的不定和；
*symsum（S,v）求符号表达式S对于自变量v的不定和；
*symsum（S,a,b）求符号表达式S对于默认自变量从a到b的有限和；
例：
分别计算表达式∑k,
和
symskx
symsum（k）
symsum（k^2,0,10）
symsum（x^k/sym（‘k!
’）,k,0,inf）
ans=
1/2*k^2-1/2*k
ans=
385
ans=
exp（x）
5.Taylor级数展开（Taylorseriesexpanding）
*Taylor（f）计算符号表达式f对于默认自变量等于0处的5阶taylor级数展开式；
*taylor（f，n,v）计算符号表达式f在自变量v=0处的n-1阶Taylor级数展开式；
*taylor（f,n,v,a）计算符号表达式f在自变量v=a处的n-1阶Taylor级数展开式。
例：
分别计算表达式
的5阶Taylor级数展开式和f=exsin（x）的
5阶及12阶Taylor级数展开式。
symsx
f=1/（5+cos（x））;
r=taylor（f）
f=exp（x*sin（x））;
r=taylor（f,12）
r=taylor（f）
r=
1/6+1/72*x^2
r=
1+x^2+1/3*x^4+1/120*x^6-11/560*x^8-1079/362880*x^10
r=
1+x^2+1/3*x^4
四.符号方程的求解（Symbolicequationsolution）
1.符号代数方程组的求解（symbolicalgebraequationssetsolution）
*g=solve（eq）求解符号表达式eq=0的代数方程，自变量为默认自变量；
*g=solve（eq,var）求解符号表达式eq=0的代数方程，自变量为var；
*g=solve（eq1,eq2,…,eqn,var1,var2,…,varn））求解符号表达式eq1,eq2,…eqn组成的代数方程组，自变量分别为var1,var2,…varn。
例1：
分别求解代数方程ax2+bx+c=0和cos（2x）+sin（x）=1
symsabcx
s=a*x^2+b*x+c;
solve（s）
solve（'cos（2*x）+sin（x）=1'）
ans=
[1/2/a*（-b+（b^2-4*a*c）^（1/2））]
[1/2/a*（-b-（b^2-4*a*c）^（1/2））]
ans=[0]
[pi]
[1/6*pi]
[5/6*pi]
例2：
求解代数方程组x2-y2+z=10,x+y-5z=0,2x-4y+z=0
symsxyz
f=x^2-y^2+z-10;
g=x+y-5*z;
h=2*x-4*y+z;
[x,y,z]=solve（f,g,h）%以数值数组形式输出求解结果
S=solve（f,g,h）;%缺省情况将方程组的解存放在结构变量中
[Sx,Sy,Sz]
x=
[-19/80+19/240*2409^（1/2）]
[-19/80-19/240*2409^（1/2）]
y=
[-11/80+11/240*2409^（1/2）]
[-11/80-11/240*2409^（1/2）]
z=
[-3/40+1/40*2409^（1/2）]
[-3/40-1/40*2409^（1/2）]
ans=
[-19/80+19/240*2409^（1/2）,-11/80+11/240*2409^（1/2）,-3/40+1/40*2409^（1/2）]
[-19/80-19/240*2409^（1/2）,-11/80-11/240*2409^（1/2）,-3/40-1/40*2409^（1/2）]
2．符号微分方程求解（Symbolicdifferentialequationsolution）
符号微分方程求解函数：
r=dsolve（‘eq1,eq2…’,’cond1,cond2…’,’v’）
求由eq1,eq2,…指定的微分方程的符号解，参数cond1,cond2,…为指定常微分方程的边界条件或初始条件，自变量v如果不指定，将为默认自变量。
方程中D表示一次微分D2和D3分别表示二次及三次微分，D后的字符为默认自变量。
例1：
求微分方程dy/dx=ay的通解和当y（0）=b时的特解。
dsolve（‘Dy=a*y’）
dsolve（‘Dy=a*y’,’y（0）=b’,’x’）
ans=
C1*exp（a*t）默认自变量为t
ans=
b*exp（a*x）
例2：
求微分方程
=-a2y当y=（0）=1及
时的特解。
dsolve（‘D2y=-a^2*y’,’y（0）=1’,’Dy（pi/a）=0’）
ans=
cos（a*t）
五．符号数学的简易绘图函数（Easyplotingfunctionofsymbolicmathematics）
1.二维图绘图函数（Twodimensionalplottingfunction）
*ezplot（f）绘制表达式f（x）的二维图形，轴坐标的近似范围为[-2π,2π].
*ezplot（f,[xmin,xmax]）绘制表达式f（x）的二维图形，轴坐标的近似范围为[xmin,xmax].
*ezpolar（f）在极坐标下绘制函数表达式f（x）的二维图形。
例1：
绘制函数表达式x2-y2的二维图形
symsxy
ezplot（x^2-y^4）
例2：
绘制误差函数f（x）=
的二维图形.
symsx
ezplot（erf（x））
grid
例3：
在极坐标下绘制函数表达式1+cos（t）的二维图形。
symst
figure
（1）
ezplot（1+cos（t））
figure
（2）
ezpolar（1+cos（t））
2.三维绘图函数（Threedimensionalplottingfunction）
*ezplot3（x,y,z）绘制由表达式x=x（t）,y=y（t）和z=z（t）定义的三维曲线，自变量t的变化范围为[-2π,2π]。
*ezplot3（x,y,z，[tmin,tmax]）绘制由表达式x=x（t）,y=y（t）和z=z（t）定义的三维曲线，自变量t的变化范围为[tmin,tmax]。
*ezplot3（…,’animate’）如果在函数中增加参数’animate’，则绘制三维动态轨迹图。
例；根据表达式x=sin（t）,y=cos（t）和z=t,绘制三维曲线.
symst;
ezplot3（sin（t）,cos（t）,t,[0,6*pi]）
绘动态轨迹图
symst;
ezplot3（sin（t）,cos（t）,t,[0,6*pi],'animate'）
4.网格图绘图函数（Netplotplottingfunction）
*ezmesh（f）绘制由表达式f（x,y）定义的网格图，自变量x和y的变化范围为[-2π,2π]；
*ezmesh（f，domain）绘制由表达式f（x,y）定义的网格图，自变量x和y的变化范围由domain确定，domain可以是4×1的矢量[xmin,xmax,ymin,ymax]，也可以是2×1的矢量[min,max]，当domain为的矢量时，min*ezmesh（x,y,z）绘制由表达式x=x（s,t）,y=y（s,t）和z=z（s,t）定义的参数表面网格图，自变量s和t的变化范围为[-2π,2π]；
*ezmesh（x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax]）绘制由表达式x=x（s,t）,y=y（s,t）和z=z（s,t）定义的参数表面网格图，自变量s和t的变化范围为[smin,smax,tmin,tmax]；
*ezmesh（…,n）绘网格图时按n×n的网格密度绘图，n的缺省值为60；
*ezmesh（…,’circ’）以圆盘为自变量域绘制网格图
例1：
根据表达式f=
，绘制f的网格图.
symsxy
ezmesh（x*exp（-x^2-y^2）,[-2.5,2.5],40）
colormap（[001]）
例2：
根据表达式
，以圆盘为自变量域绘制f的网格图.
symsxy
ezmesh（x*exp（-x^2-y^2）,[-2.5,2.5],40,’circ’）;
5.表面图绘图函数（surfaceplotplottingfunction）
*ezsurf（f）绘制由表达式f（x,y）定义的表面图，自变量x和y的变化范围为[-2π,2π]；
*ezsurf（f,domain）绘制由表达式f（x,y）定义的表面图，自变量x和y的变化范围由domain确定，domain可以是4×1的矢量[xmin,xmax,ymin,ymax]，也可以是2×1的矢量[min,max]，当domain为的矢量时，min*ezsurf（x,y,z）绘制由表达式x=x（s,t）,y=y（s,t）和z=z（s,t）定义的参数表面图，自变量s和t的变化范围均为[-2π,2π]；
ezsurf（x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax]）绘制由表达式x=x（s,t）,y=y（s,t）和z=z（s,t）定义的参数表面图，自变量s和t的变化范围为[smin,smax,tmin,tmax]；
*ezsurf（…,n）绘表面图时按n×n的网格密度绘图，n的缺省值为60
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