第五章 符号数学基础.docx

1、第五章 符号数学基础第五章 符号数学基础Chapter 5:Foundation of Symbolic Mathematics 一 符号对象的创建(Creating a symbolic object)1. 创建符号变量和表达式(Creating a symbolic variable and expression)创建符号变量和表达式的两个基本函数：sym, syms*x=sym(x) 创建一个符号变量x，可以是字符、字符串、表达式或字符表达式。*syms用于方便地一次创建多个符号变量，调用格式为： syms a b c d . 书写简洁意义清楚，建议使用。例1：使用sym函数创建符号变量

2、.a=sym(a)b=sym( hello)c=sym( (1+sqrt(5)/2)y=sym( x3+5*x2+12*x+20)a =ab = helloC = (1+sqrt(5)/2 Y =x3+5*x2+12*x+20例2：用syms函数创建符号变量。syms a b c d 2. 创建符号矩阵(Symbolic matrix Creating)例1：创建一个循环矩阵。syms a b c dn=a b c d;b c d a;c d a b;d a b cn = a, b, c, d b, c, d, a c, d, a, b d, a, b, c例2：将3阶Hilbert矩阵转换为

3、符号矩阵。 h=hilb(3)h1=sym(h)h = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000h1 = 1, 1/2, 1/3 1/2, 1/3, 1/4 1/3, 1/4, 1/5注意符号矩阵于数值矩阵的区别。3. 默认符号变量(Implied symbolic variable)在MATLAB的符号数学工具箱中，以最接近x的顺序排列默认自变量的顺序，可利用findsym函数对默认自变量进行查询。例1： 求符号函数在不同自变量情况下的结果。 创建符号变量x和n，建立函数f=xn，然后分别求f对x和f对n的导

4、数. syms x nf=xndiff(f) % x作为自变量，求f对x的导数diff(f,n) % n作为自变量，求f对n的导数f =xnans = xn*n/x ans =xn*log(x)例2： 查询符号函数中的默认自变量。创建符号变量 a,b, n, x 和t ，建立函数f=axn+bt，然后求f的默认自变量。syms a b n t xf=a*xn+b*tfindsym(f,1)findsym(f,2)findsym(f,5) % f表达式中按最接近x顺序排列的5个默认自变量findsym(f) % f表达式中按最接远字母顺序排列的全部自变量f = a*xn+b*t ans =xan

5、s =x,tans =x,t,n,b,aans =a, b, n, t, x二. 符号表达式的化简和替换(simplifying and replacing of Symbolic expressions) 符号数学工具箱提供的符号表达式的因式分解、展开、合并、化简、通分等操作：1. 符号表达式的化简(Simplifying of symbolic expression)(1).因式分解(Factorization)符号表达式的因式分解函数为 factor(S), 可分解符号表达式S的各个元素。例1： 对表达式f=x9-1进行因式分解。syms x f=factor(x9-1)pretty(f

6、)f =(x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1) (x - 1) (x2 + x + 1) (x6 + x3 + 1)例2：对大整数12345678901234567890进行因式分解。factor(sym(12345678901234567890)ans = (2)*(3)2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)（2）符号表达式的展开(Expanding of symbolic expressions)符号表达式的展开函数为expand(S), 此函数因数展开符号表达式S.例： 展开表达式f=(x+1)5和f=sin(x+y) syms x y

7、f=(x+1)5;expand(f)f=sin(x+y);expand(f)ans = x5+5*x4+10*x3+10*x2+5*x+1 ans = sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)(3).符号表达式的同类项合并(Similar team merging for symbolic expression)符号表达式的同类项合并函数为 collect(S,n)，此函数将符号表达式中自变量的同次幂项的系数合并。例：对于表达式f=x(x(x-6)+12)t, 分别将自变量x和t的同类项合并。 syms x tf=x*(x*(x-6)+12)*t;collect(f)collec

8、t(f,t)ans =t*x3-6*t*x2+12*t*x ans =x*(x*(x-6)+12)*t (4). 符号表达式的化简(Simplifying of symbolic expression)符号表达式的两个化简函数：simplify， simple ,simplify：化简函数,可用于化简各种表达式 例1：对表达式f=sin2(x)+cos2(x)进行化简.syms xf=sin(x)2+cos(x)2;simplify(f)ans = 1r,how=simple(S) 函数可寻找符号表达式S的最简型， r为返回的简化形式，how为化简过程中使用的主要方法，simple函数综合使用

9、了下列化简方法：*simplify 函数对表达式进行化简*radsimp 函数对含根式(surd)的表达式进行化简*combine 函数对表达式中以求和、乘积、幂运算等形式出现的项进行合并*collect 合并同类项*factor 函数实现因式分解*convert 函数完成表达式形式的转换例2：最简表达式的获得。syms x tf=cos(x)2-sin(x)2;r,how=simple(f)r =cos(2*x)how =combine（5）符号表达式的分式通分(Reduction symbolic expression to common denominator)符号表达式的分式通分函数为

10、 n,d=numden(S), 此函数将符号表达式转换为分子（Numerator）和分母（denominator）都是正系数的最佳多项式。例：对表达式 f=x/y+y/x 进行通分。 syms x yf=x/y+y/x;n,d=numden(f)n = x2+y2d = y*x(6) 符号表达式的嵌套形式重写（Representation of nested symbolic expression）符号表达式的嵌套形式重写函数为 horner(S), 此函数将符号表达式转换为嵌套形式。 例： 对表达式f=x3+6x2+11x-6进行嵌套形式重写。 syms xf=x3+6*x2+11*x-6;

11、horner(f)ans =-6+(11+(6+x)*x)*x2. 符号表达式的替换(Replacing of symbolic expression)MATLAB 的符号数学工具箱提供了两个符号表达式的替换函数subexpr和subs，可通过符号替换使表达式的输出形式简化。subexpr函数可将表达式中重复出现的字符串用变量代替。调用格式：Y,SIGMA=subexpr(S,SIGMA): 用变量SIGMA的值代替符号表达式S中重复出现的字符串，Y返回替换后的结果。例：求解并化简三次方程x3+ax+1=0的符号解。 t=solve(x3+a*x+1=0)r,s=subexpr(t,s)t =

12、 1/6*(-108+12*(12*a3+81)(1/2)(1/3)-2*a/(-108+12*(12*a3+81)(1/2)(1/3) -1/12*(-108+12*(12*a3+81)(1/2)(1/3)+a/(-108+12*(12*a3+81)(1/2)(1/3)+1/2*i*3(1/2)*(1/6*(-108+12*(12*a3+81)(1/2)(1/3)+2*a/(-108+12*(12*a3+81)(1/2)(1/3) -1/12*(-108+12*(12*a3+81)(1/2)(1/3)+a/(-108+12*(12*a3+81)(1/2)(1/3)-1/2*i*3(1/2)*

13、(1/6*(-108+12*(12*a3+81)(1/2)(1/3)+2*a/(-108+12*(12*a3+81)(1/2)(1/3)r = 1/6*s(1/3)-2*a/s(1/3) -1/12*s(1/3)+a/s(1/3)+1/2*i*3(1/2)*(1/6*s(1/3)+2*a/s(1/3) -1/12*s(1/3)+a/s(1/3)-1/2*i*3(1/2)*(1/6*s(1/3)+2*a/s(1/3)s =-108+12*(12*a3+81)(1/2)函数subs是用指定符号替换符号表达式中的某一特定符号，调用格式为：R=subs(S,old,new)， 它可用新的符号变量new

14、替换原来符号表达式S中的old. 当new为数值形式时，显示的结果虽然是数值，但它事实上是符号变量。例：分别用新变量替换表达式a+b和cos(a)+sin(b)中变量。 syms a bsubs(a+b,a,4)subs(cos(a)+sin(b), a,b,sym(alpha),2) %用单元数组完成不同性质%元素的替换ans =4+bans = cos(alpha)+sin(2)三符号微积分(Differential and integral calculus)1. 符号极限(Symbolic limit)*limit(F,x,a) 计算符号表达式F在xa条件下的极限；*limit(F,a

15、) 计算符号表达式F中由默认自变量趋向于a条件下的极限；*limit(F,) 计算符号表达式F在默认自变量趋向于0条件下的极限；*limit(F,x,a,right) 和limit(F,x,a,left) 计算符号表达式F在xa条件下的右极限和左极限。例：分别计算表达式, ,及和 syms x a;limit(sin(x)/x)limit(1/x,x,0,right)limit(1/x,x,0,left)v=(1+a/x)x,exp(-x);limit(v,x,inf,left) ans =1ans =inf ans = -infans = exp(a), 02. 符号微分(symbolic

16、differential calculus)*diff(S) 求符号表达式S对于默认自变量的微分；*diff(S,v) 求符号表达式S对于自变量v的微分；*diff(S,n) 求符号表达式S对于默认自变量的n次微分；例： 分别计算表达式f=xx的导数和3次导数. syms x; f=xx;diff(f)diff(f,3)ans = xx*(log(x)+1) ans = xx*(log(x)+1)3+3*xx*(log(x)+1)/x-xx/x23. 符号积分(Symbolic integral calculus)*int(S) 求符号表达式S对于默认自变量的不定积分； *int(S,v) 求

17、符号表达式S对于自变量v的不定积分；*int(S,a,b) 求符号表达式S对于默认自变量从a到b的定积分； 例：分别计算表达式、和。 syms x z;f=-2*x/(1+x2)2;int(f)f=x/(1+z2);int(f)int(f,z)f=x*log(1+x);int(f,0,1)ans =1/(1+x2)ans =1/2*x2/(1+z2) ans = x*atan(z)ans =1/44. 符号求和(Symbolic summation)*symsum(S) 求符号表达式S对于默认自变量的不定和； * symsum(S,v) 求符号表达式S对于自变量v的不定和；* symsum(S

18、,a,b) 求符号表达式S对于默认自变量从a到b的有限和；例： 分别计算表达式k,和 syms k xsymsum(k)symsum(k2,0,10)symsum(xk/sym(k!),k,0,inf)ans =1/2*k2-1/2*kans =385 ans =exp(x)5 .Taylor级数展开(Taylor series expanding)*Taylor(f) 计算符号表达式f对于默认自变量等于0 处的5阶taylor级数展开式； *taylor(f，n,v) 计算符号表达式f在自变量v=0处的n-1阶Taylor级数展开式；*taylor(f,n,v,a) 计算符号表达式f在自变量

19、v=a 处的n-1阶Taylor 级数展开式。例： 分别计算表达式的5 阶Taylor级数展开式和f=exsin(x) 的5 阶及12 阶Taylor级数展开式。 syms xf=1/(5+cos(x);r=taylor(f)f=exp(x*sin(x);r=taylor(f,12)r=taylor(f)r = 1/6+1/72*x2 r = 1+x2+1/3*x4+1/120*x6-11/560*x8-1079/362880*x10 r = 1+x2+1/3*x4四. 符号方程的求解(Symbolic equation solution)1 . 符号代数方程组的求解(symbolic alg

20、ebra equations set solution)*g=solve(eq) 求解符号表达式eq=0的代数方程，自变量为默认自变量；*g=solve(eq,var) 求解符号表达式eq=0的代数方程，自变量为var；*g=solve(eq1,eq2,eqn,var1,var2,varn)求解符号表达式eq1,eq2,eqn组成的代数方程组，自变量分别为var1,var2,varn。例1：分别求解代数方程ax2+bx+c=0和cos(2x)+sin(x)=1 syms a b c x s=a*x2+b*x+c;solve(s)solve(cos(2*x)+sin(x)=1)ans = 1/2

21、/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2)ans = 0 pi 1/6*pi 5/6*pi例2：求解代数方程组x2-y2+z=10, x+y-5z=0, 2x-4y+z=0 syms x y zf=x2-y2+z-10;g=x+y-5*z;h=2*x-4*y+z;x,y,z=solve(f,g,h) %以数值数组形式输出求解结果S=solve(f,g,h); %缺省情况将方程组的解存放在结构变量中Sx,Sy,Szx = -19/80+19/240*2409(1/2) -19/80-19/240*2409(1/2)y = -11/80+11/

22、240*2409(1/2) -11/80-11/240*2409(1/2) z = -3/40+1/40*2409(1/2) -3/40-1/40*2409(1/2)ans =-19/80+19/240*2409(1/2), -11/80+11/240*2409(1/2), -3/40+1/40*2409(1/2) -19/80-19/240*2409(1/2), -11/80-11/240*2409(1/2), -3/40-1/40*2409(1/2)2 符号微分方程求解(Symbolic differential equation solution)符号微分方程求解函数：r=dsolve(

23、eq1,eq2,cond1,cond2,v) 求由eq1,eq2,指定的微分方程的符号解，参数cond1,cond2,为指定常微分方程的边界条件或初始条件，自变量v如果不指定，将为默认自变量。方程中D表示一次微分D2和D3分别表示二次及三次微分，D后的字符为默认自变量。例1： 求微分方程dy/dx=ay的通解和当y(0)=b时的特解。dsolve(Dy=a*y)dsolve(Dy=a*y,y(0)=b,x)ans =C1*exp(a*t) 默认自变量为t ans =b*exp(a*x)例2： 求微分方程=-a2y当y=(0)=1及时的特解。dsolve(D2y=-a2*y,y(0)=1,Dy(

24、pi/a)=0)ans =cos(a*t)五 符号数学的简易绘图函数(Easy ploting function of symbolic mathematics)1. 二维图绘图函数(Two dimensional plotting function)*ezplot(f) 绘制表达式f（x）的二维图形，轴坐标的近似范围为-2, 2.*ezplot(f,xmin,xmax) 绘制表达式f（x）的二维图形，轴坐标的近似范围为xmin, xmax.*ezpolar(f) 在极坐标下绘制函数表达式f(x)的二维图形。例1：绘制函数表达式x2-y2的二维图形syms x yezplot(x2-y4)例2

25、：绘制误差函数f(x)=的二维图形. syms xezplot(erf(x)grid例3：在极坐标下绘制函数表达式1+cos(t)的二维图形。 syms tfigure (1) ezplot(1+cos(t)figure ( 2) ezpolar(1+cos(t)2. 三维绘图函数(Three dimensional plotting function)*ezplot3(x,y,z) 绘制由表达式x=x(t), y=y(t) 和z=z(t)定义的三维曲线，自变量t的变化范围为 -2, 2。*ezplot3(x,y,z，tmin, tmax) 绘制由表达式x=x(t), y=y(t) 和z=z(

26、t)定义的三维曲线，自变量t的变化范围为 tmin, tmax。*ezplot3(,animate) 如果在函数中增加参数animate，则绘制三维动态轨迹图。例；根据表达式x=sin(t), y=cos(t) 和 z=t, 绘制三维曲线. syms t; ezplot3(sin(t),cos(t),t, 0,6*pi) 绘动态轨迹图syms t;ezplot3(sin(t),cos(t),t, 0,6*pi,animate)4 . 网格图绘图函数(Net plot plotting function)*ezmesh(f) 绘制由表达式f(x,y)定义的网格图，自变量x和y的变化范围为-2,

27、2；*ezmesh(f，domain) 绘制由表达式f(x,y)定义的网格图，自变量 x和 y的变化范围由domain确定，domain可以是41的矢量xmin,xmax,ymin,ymax，也可以是21的矢量min,max，当domain为的矢量时，minxmax,minymax。*ezmesh(x,y,z) 绘制由表达式x=x(s,t), y=y(s,t)和z=z(s,t)定义的参数表面网格图，自变量s和t的变化范围为-2, 2；*ezmesh(x,y,z,smin,smax,tmin,tmax) 绘制由表达式x=x(s,t), y=y(s,t)和z=z(s,t)定义的参数表面网格图，自变

28、量s和t的变化范围为smin,smax,tmin,tmax；*ezmesh(,n) 绘网格图时按nn的网格密度绘图，n的缺省值为60；*ezmesh(,circ) 以圆盘为自变量域绘制网格图例1：根据表达式f=，绘制f的网格图. syms x yezmesh(x*exp(-x2-y2),-2.5,2.5,40)colormap(0 0 1)例2：根据表达式，以圆盘为自变量域绘制f的网格图. syms x yezmesh(x*exp(-x2-y2),-2.5,2.5,40,circ);5 . 表面图绘图函数(surface plot plotting function)*ezsurf(f) 绘制

29、由表达式f(x,y)定义的表面图，自变量x和y的变化范围为-2, 2；*ezsurf(f,domain) 绘制由表达式f(x,y)定义的表面图，自变量 x和 y的变化范围由domain确定，domain可以是41的矢量xmin,xmax,ymin,ymax，也可以是21的矢量min,max，当domain为的矢量时，minxmax,minymax。*ezsurf(x,y,z) 绘制由表达式x=x(s,t), y=y(s,t)和z=z(s,t)定义的参数表面图，自变量s和t的变化范围均为-2, 2；ezsurf(x,y,z,smin,smax,tmin,tmax) 绘制由表达式x=x(s,t), y=y(s,t)和z=z(s,t)定义的参数表面图，自变量s和t的变化范围为smin,smax,tmin,tmax；*ezsurf(,n) 绘表面图时按nn的网格密度绘图，n的缺省值为60