行程问题.docx

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行程问题

行程问题

1．相遇问题＋

知识要点提示：

甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A，B之间这段路程，如果两人同时出发，那么

AB之间的路程

=甲走的路程+乙走的路程

=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间

=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间

=速度和×相遇时间

“相遇问题”的核心是速度和问题。

例题：

两列对开的列车相遇，第一列车的车速为10米／秒，第二列车的车速为12．5米／秒，第二列车上的旅客发现第一列车在旁边开过时共用了6秒，则第一列车的长度为多少米？

A．60米B．75米C．80米D．135米（2004年A类真题）

解析：

这是一个典型的速度和问题，两列火车的速度和为10米／秒+12．5米／秒＝22.5米／秒，两列火车以这样的速度共同行驶了6秒，行驶的距离也即第一列火车的长度。

即22.5米／秒×6秒＝135米。

2．追及问题

知识要点提示：

有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他。

这就产生了“追及问题”。

实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的速度之差。

如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间（追及时间）内：

追及路程

＝甲走的路程－乙走的路程

＝甲的速度×追及时间－乙的速度×追及时间

＝（甲的速度－乙的速度）×追及时间

＝速度差×追及时间

“追及问题”的核心是速度差的问题。

例题：

甲乙两船同时从两个码头出发，方向相同，乙船在前，每小时行24千米，甲船在后，每小时行28千米，4小时后甲船追上乙船，求两个码头相距多少千米？

解析：

甲对乙的追及速度差＝28千米/小时－24千米/小时＝4千米/小时，追及时间为4小时，则追及的距离为4千米/小时×4＝16千米，这也即两码头之间的距离。

3．流水问题

知识要点提示：

我们知道，船顺水航行时，船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行进，同时整个水面又按水的流动速度在前进，因此船顺水航行的实际速度（简称顺水速度）就等于船速与水速的和，即

顺水速度=船速+水速

同理

逆水速度=船速－水速

可推知

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2

水速=（顺水速度－逆水速度）÷2

例题1：

一条河的水流速度是每小时2千米，一只船从这条河的上游甲地顺流到达下游的丙地，然后逆流到达中游的乙地，共用6小时。

已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，从甲地到乙地相距12千米。

求甲、乙丙两地的距离。

解析：

先求出船在顺流中的速度。

因为船在顺流中每小时要加上2千米，在逆流中要减去2千米，两者相差2+2=4（千米），那么船在顺流通渠道的时速是4×2=8（千米）。

因为顺流速度等于逆流船速的2倍，所以船从上游到达下游所用的时间应等于船从下游到中游所用的时间。

那只船从上游到下游所用的时间是6÷2=3（小时），甲、丙两地相距3×8=24（千米）。

例题2：

小王从甲地到乙地，因有风，所以去时用了2个小时，回来时用了3个小时。

已知甲乙两地的距离是60公里，求风速是多少？

A5公里/小时B10公里/小时C15公里/小时D20公里/小时所以风速为5，答案为A。

例题3：

河水的流速是每小时2000米，一只船从这条河的上游甲地顺流到达下游的丙地，然后调头逆行向上到达中游的乙地，共用时6小时。

已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，甲、乙两地相距12千米，问甲、丙两地相距多少千米？

A24B18C16D14

解析：

设逆水速度为V，则顺水速度为2V，设乙、丙两地相距S千米，则可列式如下：

根据顺水速度和逆水速度的公式可知，V＋2（公里）＝2V，则V＝2（公里），另外可知：

（12＋S）/4＋S/2＝6解得S＝12。

所以，甲、丙两地的距离为12＋12＝24，即A。

行程问题的相关例题

例1商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。

结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。

则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：

A．80级B．100级C．120级D．140级（2005年中央真题）

解析；这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，则可列方程如下，

（X+2）×40=（X+3/2）×50

解得X=0.5也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）×40=100

所以，答案为B。

例2甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行800米跑比赛，当甲跑1圈时，乙比甲多跑圈。

丙比甲少跑圈。

如果他们各自跑步的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，甲在丙前面：

A．85米B．90米C．100米D．105米（2005年中央真题）

解析：

此题的解题关键是要跳出微观，在宏观上进行解题。

依据行程问题的公式，在时间相同的情况下，路程比等速度比，所以可知乙、甲、丙的速度比为8/7圈：

1圈：

6/7圈=8：

7：

6，所以当乙跑了2圈（800米）时，甲跑了700米，丙跑了600米。

所以，正确答案为C。

例3某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中顺流航行12千米，逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，假设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船速与逆水船速之比是：

A．2.5：

1B．3：

1C．3.5：

1D．4：

1（2005年中央真题）

解析：

典型流水问题。

如果设逆水速度为V，设顺水速度是逆水速度的K倍，则可列如下方程：

21/KV+4/V=12/KV+7/V

将V约掉，解得K=3

所以，正确答案为B。

例4姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走了80米后姐姐去追他。

姐姐每分钟走60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。

小狗追上了弟弟又转去找姐姐，碰上了姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。

问小狗共跑了多少米?

A．600米B．800米C．1200米D．1600米（2003年中央A类）

解析：

此题将追及问题和一般路程问题结合起来，是一道经典习题。

首先求姐姐多少时间可以追上弟弟，速度差=60米/分-40米/=20米/分，追击距离=80米，所以，姐姐只要80米÷20米/分=4分种即可追上弟弟，在这4种内，小狗一直处于运动状态，所以小狗跑的路程=150米/分×4分=600米。

所以，正确答案为A。

例5某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告，往返需1小时。

该劳模在下午1点整就离厂步行向学校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下午2点30分到达。

问汽车的速度是劳模的步行速度的几倍?

A．5倍B．6倍C．7倍D．8倍（2003年中央B类）

解析，如果接劳模往返需1小时，而实际上汽车2点出发，30分钟便回来，这说明遇到劳模的地点在中点，也即劳模以步行速度（时间从1点到2点15分）走的距离和汽车所行的距离（2点到2点15分）相等。

设劳模的步行速度为A/小时，汽车的速度是劳模的步行速度的X倍，则可列方程

5/4A=1/4AX

解得X=5

所以，正确答案为A。

例6一辆汽车油箱中的汽油可供它在高速公路上行驶462公里或者在城市道路上行驶336公里，每公升汽油在城市道路上比在高速公路上少行驶6公里，问每公升汽油可供该汽车在城市道路上行驶多少公里?

A．16B．21C．22D．27（2003年中央B类）

解析：

基本路程问题，采用方程法，设每公升汽油可供该汽车在城市道路上行驶X公里，则可列如下方程

462÷X=336÷（X-6）

解得X=22

所以，正确答案为C。

注：

此题亦可用速度差和路程差的关系来求解，速度将更快，详解过程本书略。

例7甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。

已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0．1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是

A．166米B．176米C．224米D．234米（2000年中央真题）

解析，此题为典型的速度和问题，为方便理解可设甲的速度为X米/分，乙的速度为Y米/分，则依题意可列方程

8X+8Y=400×3

X-Y=6（速度差0.1米/秒=6米/分）

从而解得X=78Y=72

由Y=72，可知，8分钟乙跑了576米，显然此题距起点的最短距离为176米。

例8列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米。

两车错车时，甲车上一乘客发现：

从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长。

解析：

首先应统一单位：

甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10（米），乙车的速度是每秒钟54000÷3600＝15（米）。

本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：

从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（10+15）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10+15）×14＝350（米）。

又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：

乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和。

解：

（10+15）×14

＝350（米）

最后得，乙车的车长为350米。

例9甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时。

在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少?

解析：

设乙的速度为X，则甲的速度为2X，并可列如下方程

3×2X+4X=100

解得X=10

所以，甲的速度为20千米/小时，乙的速度为10千米/小时。

例10某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车比另一列长150米。

时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟?

解析：

首先应明确几个概念：

列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止。

因此，这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和。

因此，错车时间就等于车长之和除以速度之和。

设某列火车的车长为X，则根据速度相等可列如下方程：

（250+X）÷25=（210+X）÷23

解得X=250

火车的速度为20米/秒72公里/时=20米/秒

错车时间为（250+150）÷（20+20）=10

所以，错车时间为10秒。

例11甲、乙、丙三人沿湖边散步，同时从湖边一固定点出发，甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走，甲第一次遇到乙后分钟遇到丙，再过分钟第二次遇到乙。

已知乙的速度是甲的，湖的周长为600米，则丙的速度为；

A．24米／分B．25米／分C26米／分D．27米／分（2003年浙江真题）

『答案』A

『解析』解题关键点为“相遇问题的核心是‘速度和’的问题”可设甲的速度为，则乙的速度为，又根据“甲第一次遇到乙后1分钟遇到丙，再过3分钟第二次遇到乙”，可知（＋）×（＋）＝600，则＝72，如果设丙的速度为，则有（＋）×（＋＋）＝600，从而解得＝24。

行程问题

1．相遇问题

知识要点提示：

甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A，B之间这段路程，如果两人同时出发，那么

AB之间的路程

=甲走的路程+乙走的路程

=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间

=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间

=速度和×相遇时间

“相遇问题”的核心是速度和问题。

例题：

两列对开的列车相遇，第一列车的车速为10米／秒，第二列车的车速为12．5米／秒，第二列车上的旅客发现第一列车在旁边开过时共用了6秒，则第一列车的长度为多少米？

A．60米B．75米C．80米D．135米（2004年A类真题）

解析：

这是一个典型的速度和问题，两列火车的速度和为10米／秒+12．5米／秒＝22.5米／秒，两列火车以这样的速度共同行驶了6秒，行驶的距离也即第一列火车的长度。

即22.5米／秒×6秒＝135米。

2．追及问题

知识要点提示：

有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他。

这就产生了“追及问题”。

实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的速度之差。

如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间（追及时间）内：

追及路程

＝甲走的路程－乙走的路程

＝甲的速度×追及时间－乙的速度×追及时间

＝（甲的速度－乙的速度）×追及时间

＝速度差×追及时间

“追及问题”的核心是速度差的问题。

例题：

甲乙两船同时从两个码头出发，方向相同，乙船在前，每小时行24千米，甲船在后，每小时行28千米，4小时后甲船追上乙船，求两个码头相距多少千米？

解析：

甲对乙的追及速度差＝28千米/小时－24千米/小时＝4千米/小时，追及时间为4小时，则追及的距离为4千米/小时×4＝16千米，这也即两码头之间的距离。

3．流水问题

知识要点提示：

我们知道，船顺水航行时，船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行进，同时整个水面又按水的流动速度在前进，因此船顺水航行的实际速度（简称顺水速度）就等于船速与水速的和，即

顺水速度=船速+水速

同理

逆水速度=船速－水速

可推知

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2

水速=（顺水速度－逆水速度）÷2

例题1：

一条河的水流速度是每小时2千米，一只船从这条河的上游甲地顺流到达下游的丙地，然后逆流到达中游的乙地，共用6小时。

已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，从甲地到乙地相距12千米。

求甲、乙丙两地的距离。

解析：

先求出船在顺流中的速度。

因为船在顺流中每小时要加上2千米，在逆流中要减去2千米，两者相差2+2=4（千米），那么船在顺流通渠道的时速是4×2=8（千米）。

因为顺流速度等于逆流船速的2倍，所以船从上游到达下游所用的时间应等于船从下游到中游所用的时间。

那只船从上游到下游所用的时间是6÷2=3（小时），甲、丙两地相距3×8=24（千米）。

例题2：

小王从甲地到乙地，因有风，所以去时用了2个小时，回来时用了3个小时。

已知甲乙两地的距离是60公里，求风速是多少？

A5公里/小时B10公里/小时C15公里/小时D20公里/小时所以风速为5，答案为A。

例题3：

河水的流速是每小时2000米，一只船从这条河的上游甲地顺流到达下游的丙地，然后调头逆行向上到达中游的乙地，共用时6小时。

已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，甲、乙两地相距12千米，问甲、丙两地相距多少千米？

A24B18C16D14

解析：

设逆水速度为V，则顺水速度为2V，设乙、丙两地相距S千米，则可列式如下：

根据顺水速度和逆水速度的公式可知，V＋2（公里）＝2V，则V＝2（公里），另外可知：

（12＋S）/4＋S/2＝6解得S＝12。

所以，甲、丙两地的距离为12＋12＝24，即A。

提示：

数字特性法是指不直接求得最终结果，而只需要考虑最终计算结果的某种“数字特性”，从而达到排除错误选项的方法。

掌握数字特性法的关键，是掌握一些最基本的数字特性规律。

（下列规律仅限自然数内讨论）

（一）奇偶运算基本法则

【基础】奇数±奇数=偶数；

偶数±偶数=偶数；

偶数±奇数=奇数；

奇数±偶数=奇数。

【推论】

1.任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。

2.任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。

（二）整除判定基本法则

1.能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性

能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；

能被4（或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；

能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；

一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；

一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数；

一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。

2.能被3、9整除的数的数字特性

能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

3.能被11整除的数的数字特性

能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。

（三）倍数关系核心判定特征

如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。

如果x＝y（m，n互质），则x是m的倍数；y是n的倍数。

如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a±b应该是m±n的倍数。

【例22】（江苏2006B-76）在招考公务员中，A、B两岗位共有32个男生、18个女生报考。

已知报考A岗位的男生数与女生数的比为5：

3，报考B岗位的男生数与女生数的比为2：

1，报考A岗位的女生数是（）。

A.15B.16C.12D.10

［答案］C

［解析］报考A岗位的男生数与女生数的比为5：

3，所以报考A岗位的女生人数是3的倍数，排除选项B和选项D；代入A，可以发现不符合题意，所以选择C。

【例23】（上海2004-12）下列四个数都是六位数，X是比10小的自然数，Y是零，一定能同时被2、3、5整除的数是多少？

（）

A.XXXYXXB.XYXYXYC.XYYXYYD.XYYXYX

［答案］B

［解析］因为这个六位数能被2、5整除，所以末位为0，排除A、D；因为这个六位数能被3整除，这个六位数各位数字和是3的倍数，排除C，选择B。

【例24】（山东2004-12）某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？

（）

A.33B.39C.17D.16

［答案］D

［解析］答对的题目+答错的题目=50，是偶数，所以答对的题目与答错的题目的差也应是偶数，但选项A、B、C都是奇数，所以选择D。

【例25】（国2005一类-44、国2005二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。

如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少元？

（）

A.1元B.2元C.3元D.4元

［答案］C

［解析］因为所有的硬币可以组成三角形，所以硬币的总数是3的倍数，所以硬币的总价值也应该是3的倍数，结合选项，选择C。

［注一］很多考生还会这样思考：

“因为所有的硬币可以组成正方形，所以硬币的总数是4的倍数，所以硬币的总价值也应该是4的倍数”，从而觉得答案应该选D。

事实上，硬币的总数是4的倍数，一个硬币是五分，所以只能推出硬币的总价值是4个五分即两角的倍数。

［注二］本题中所指的三角形和正方形都是空心的。

【例26】（国2002A-6）1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。

2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。

问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?

（）

A.34岁，12岁B.32岁，8岁C.36岁，12岁D.34岁，10岁

［答案］D

［解析］由随着年龄的增长，年龄倍数递减，因此甲、乙二人的年龄比在3-4之间，选择D。

【例27】（国2002B-8）若干学生住若干房间，如果每间住4人则有20人没地方住，如果每间住8人则有一间只有4人住，问共有多少名学生？

（）。

A.30人B.34人C.40人D.44人

［答案］D

［解析］由每间住4人，有20人没地方住，所以总人数是4的倍数，排除A、B；由每间住8人，则有一间只有4人住，所以总人数不是8的倍数，排除C，选择D。

【例28】（国2000-29）一块金与银的合金重250克，放在水中减轻16克。

现知金在水中重量减轻1/19，银在水中重量减轻1／10，则这块合金中金、银各占的克数为多少克？

（）

A.100克，150克B.150克，100克

C.170克，80克D.190克，60克

［答案］D

［解析］现知金在水中重量减轻1/19，所以金的质量应该是19的倍数。

结合选项，选择D。

【例29】（国1999-35）师徒二人负责生产一批零件，师傅完成全部工作数量的一半还多30个，徒弟完成了师傅生产数量的一半，此时还有100个没有完成，师徒二人已经生产多少个？

（）

A.320B.160C.480D.580

［答案］C

［解析］徒弟完成了师傅生产数量的一半，因此师徒二人生产的零件总数是3的倍数。

结合选项，选择C。

【例30】（浙江2005-24）一只木箱内有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个。

小明一次取出5个黄球、3个白球，这样操作N次后，白球拿完了，黄球还剩8个；如果换一种取法：

每次取出7个黄球、3个白球，这样操作M次后，黄球拿完了，白球还剩24个。

问原木箱内共有乒乓球多少个?

（）

A.246个B.258个C.264个D.272个

［答案］C

［解析］每次取出7个黄球、3个白球，这样操作M次后，黄球拿完了，白球还剩24个。

因此乒乓球的总数=10M+24，个位数为4，选择C。

【例31】（浙江2003-17）某城市共有四个区，甲区人口数是全城的，乙区的人口数是甲区的，丙区人口数是前两区人口数的，丁区比丙区多4000人，全城共有人口多少万？

（）

A.18.6万B.15.6万C.21.8万D.22.3万

［答案］B

［解析］甲区人口数是全城的（4/13），因此全城人口是13的倍数。

结合选项，选择B。

【例32】（广东2004下-15）小平在骑旋转木马时说：

“在我前面骑木马的人数的，加上在我后面骑木马的人数的，正好是所有骑木马的小朋友的总人数。

”请问，一共有多少小朋友在骑旋转木马?

（）

A.11B.12C.13D.14

［答案］C

［解析］因为坐的是旋转木马，所以小平前面的人、后面的人都是除小平外的所有小朋友。

而除小明外人数既是3的倍数，又是4的倍数。

结合选项，选择C。

【例33】（广东2005上-11）甲、乙、丙、丁四人为地震灾区捐款，甲捐款数是另外三人捐款总数的一半，乙捐款数是另外三人捐款总数的，丙捐款数是另外三人捐款总数的，丁捐款169元。

问四人一共捐了多少钱？

（）

A.780元B.890元C.1183元D.2083元

［答案］A

［解析］甲捐款数是另外三人捐款总数的一半，知捐款总额是3的倍数；

乙捐款数是另外三人捐款总数的，知捐款总额是4的倍数；

丙捐款数是另外三人捐款总数的，知捐款总额是5的倍数。

捐款总额应该是60的倍数。

结合选项，选择A。

［注释］事实上，通过“捐款总额是3的倍数”即可得出答案。

【例34】（北京社招2005-11）两个数的差是2345，两数相除的商是8，求这两个数之和？

（）

A.2353B.2896C.3015D.3456

［答案］C

［解析］两个数的差是2345，所以这两个数的和应该是奇数，排除B、D。

两数相除得8，说明这两个数之和应该是9的倍数，所以答案选择C。

【例35】（北京社招2005-13）某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。

这个剧院共有多少个座位？

（）

A.1104B.1150C.1170D.1280

［答案］B

［解析］剧院的总人数，应该是25个相邻偶数的和，必然为25的倍数，结合选项选择B。

【例36】（北京社招2005-17）一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞