关于正整数p和整数a,b，概念如下运算：
取模运算：
a%p（或amodp），表示a除以p的余数。
模p加法：
（a+b）%p，其结果是a+b算术和除以p的余数，也确实是说，（a+b）=kp+r，那么（a+b）%p=r。
模p减法：
（a-b）%p，其结果是a-b算术差除以p的余数。
模p乘法：
（a*b）%p，其结果是a*b算术乘法除以p的余数。
说明：
1.同余式：
正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做a≡b%p或a≡b（modp）。
2.n%p取得结果的正负由被除数n决定,与p无关。
例如：
7%4=3，-7%4=-3，7%-4=3，-7%-4=-3。
大体性质
（1）假设p|（a-b），那么a≡b（%p）。
例如11≡4（%7），18≡4（%7）
（2）（a%p）=（b%p）意味a≡b（%p）
（3）对称性：
a≡b（%p）等价于b≡a（%p）
（4）传递性：
假设a≡b（%p）且b≡c（%p），那么a≡c（%p）
运算规那么
模运算与大体四那么运算有些相似，可是除法例外。
其规那么如下：
（a+b）%p=（a%p+b%p）%p
（1）
（a-b）%p=（a%p-b%p）%p
（2）
（a*b）%p=（a%p*b%p）%p（3）
（a^b）%p=（（a%p）^b）%p（4）
结合率：
（（a+b）%p+c）%p=（a+（b+c）%p）%p（5）
（（a*b）%p*c）%p=（a*（b*c）%p）%p（6）
互换率：
（a+b）%p=（b+a）%p（7）
（a*b）%p=（b*a）%p（8）
分派率：
（（a+b）%p*c）%p=（（a*c）%p+（b*c）%p）%p（9）
重要定理：
假设a≡b（%p），那么关于任意的c，都有（a+c）≡（b+c）（%p）；（10）
假设a≡b（%p），那么关于任意的c，都有（a*c）≡（b*c）（%p）；（11）
假设a≡b（%p），c≡d（%p），那么（a+c）≡（b+d）（%p），（a-c）≡（b-d）（%p），
（a*c）≡（b*d）（%p），（a/c）≡（b/d）（%p）；（12）
假设a≡b（%p），那么关于任意的c，都有ac≡bc（%p）；（13）
大体应用
1.判别奇偶数
奇偶数的判别是模运算最大体的应用，也超级简单。
易知一个整数n对2取模，若是余数为0，那么表示n为偶数，不然n为奇数。
C++实现功能函数：
/*
函数名：
IsEven
函数功能：
判别整数n的奇偶性。
能被2整除为偶数，不然为奇数
输入值：
intn，整数n
返回值：
bool，假设整数n是偶数，返回true，不然返回false
*/
boolIsEven（intn）
{
return（n%2==0）;
}
2.判别素数
一个数，若是只有1和它本身两个因数，如此的数叫做质数（或素数）。
例如2，3，5，7是质数，而4，6，8，9那么不是，后者称为合成数或合数。
判定某个自然数是不是是素数最经常使用的方式确实是试除法：
用比该自然数的平方根小的正整数去除那个自然数，假设该自然数能被整除，那么说明其非素数。
C++实现功能函数：
/*
函数名：
IsPrime
函数功能：
判别自然数n是不是为素数。
输入值：
intn，自然数n
返回值：
bool，假设自然数n是素数，返回true，不然返回false
*/
boolIsPrime（unsignedintn）
{
unsignedmaxFactor=sqrt（n）;//n的最大因子
for（unsignedinti=2;i<=maxFactor;i++）
{
if（n%i==0）//n能被i整除，那么说明n非素数
{
returnfalse;
}
}
returntrue;
}
3.最大公约数
求最大公约数最多见的方式是欧几里德算法（又称辗转相除法），其计算原理依托于定理：
gcd（a,b）=gcd（b,amodb）
证明：
a能够表示成a=kb+r，那么r=amodb
假设d是a,b的一个公约数，那么有d|a,d|b，而r=a-kb，因此d|r
因此d是（b,amodb）的公约数
假设d是（b,amodb）的公约数，那么d|b,d|r，可是a=kb+r
因此d也是（a,b）的公约数
因此（a,b）和（b,amodb）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
C++实现功能函数：
/*
函数功能：
利用欧几里德算法，采纳递归方式，求两个自然数的最大公约数
函数名：
Gcd
输入值：
unsignedinta，自然数a
unsignedintb，自然数b
返回值：
unsignedint，两个自然数的最大公约数
*/
unsignedintGcd（unsignedinta,unsignedintb）
{
if（b==0）
returna;
returnGcd（b,a%b）;
}
/*
函数功能：
利用欧几里德算法，采纳迭代方式，求两个自然数的最大公约数函数名：
Gcd
输入值：
unsignedinta，自然数a
unsignedintb，自然数b
返回值：
unsignedint，两个自然数的最大公约数
*/
unsignedintGcd（unsignedinta,unsignedintb）
{
unsignedinttemp;
while（b!
=0）
{
temp=a%b;
a=b;
b=temp;
}
returna;
}
4．模幂运算
利用模运算的运算规那么，咱们能够使某些计算取得简化。
例如，咱们想明白3333^5555的末位是什么。
很明显不可能直接把3333^5555的结果计算出来，那样太大了。
但咱们想要确信的是3333^5555（%10），因此问题就简化了。
依照运算规那么（4）a^b%p=（（a%p）^b）%p，咱们明白3333^5555（%10）=3^5555（%10）。
由于3^4=81，因此3^4（%10）=1。
依照运算规那么（3）（a*b）%p=（a%p*b%p）%p，由于5555=4*1388+3，咱们取得3^5555（%10）=（3^（4*1388）*3^3）（%10）=（（3^（4*1388）（%10）*3^3（%10））（%10）
=（1*7）（%10）=7。
计算完毕。
利用这些规那么咱们能够有效地计算X^N（%P）。
简单的算法是将result初始化为1，然后重复将result乘以X，每次乘法以后应用%运算符（如此使得result的值变小，以避免溢出），执行N次相乘后，result确实是咱们要找的答案。
如此关于较小的N值来讲，实现是合理的，可是当N的值专门大时，需要计算很长时刻，是不切实际的。
下面的结论能够取得一种更好的算法。
若是N是偶数，那么X^N=（X*X）^[N/2]；
若是N是奇数，那么X^N=X*X^（N-1）=X*（X*X）^[N/2]；
其中[N]是指小于或等于N的最大整数。
C++实现功能函数：
/*
函数功能：
利用模运算规那么，采纳递归方式，计算X^N（%P）
函数名：
PowerMod
输入值：
unsignedintx，底数x
unsignedintn，指数n
unsignedintp，模p
返回值：
unsignedint，X^N（%P）的结果
*/
unsignedintPowerMod（unsignedintx,unsignedintn,unsignedintp）
{
if（n==0）
{
return1;
}
unsignedinttemp=PowerMod（（x*x）%p,n/2,p）;//递归计算（X*X）^[N/2]
if（（n&1）!
=0）//判定n的奇偶性
{
temp=（temp*x）%p;
}
returntemp;
}
5.《孙子问题（中国剩余定理）》
在我国古代算书《孙子算经》中有如此一个问题：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
”意思是，“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合那个条件的最小数。
”
那个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一样解法，国际上称为“中国剩余定理”.
我国古代学者早就研究过那个问题。
例如我国明代数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：
三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团聚正半月，除百零五便得知。
"正半月"暗指15。
"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就10五、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。
这四句口诀暗示的意思是：
当除数别离是3、五、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。
加得的结果若是比105大，就除以105，所得的余数确实是知足题目要求的最小正整数解。
依照剩余定理，我把此种解法推行到有n（n为自然数）个除数对应n个余数，求最小被除数的情形。
输入n个除数（除数不能相互整除）和对应的余数，运算机将输出最小被除数。
C++实现功能函数：
/*
函数名：
ResidueTheorem
函数功能：
运用剩余定理，解决推行了的孙子问题。
通过给定n个除数（除数不能相互整除）和对应的余数，返回最小被除数
输入值：
unsignedintdevisor[]，存储了n个除数的数组
unsignedintremainder[]，存储了n个余数的数组
intlength，数组的长度
返回值：
unsignedint，最小被除数
*/
unsignedintResidueTheorem（constunsignedintdevisor[],constunsignedintremainder[],intlength）
{
unsignedintproduct=1;//所有除数之乘积
for（inti=0;i {
product*=devisor[i];
}
//公倍数数组，表示除该元素（除数）之外其他除数的公倍数
unsignedint*commonMultiple=newunsignedint（length）;
for（inti=0;i {
commonMultiple[i]=product/devisor[i];
}
unsignedintdividend=0;//被除数，确实是函数要返回的值
for（inti=0;i {
unsignedinttempMul=commonMultiple[i];
//依照剩余理论计算适合的公倍数，使得tempMul%devisor[i]==1
while（tempMul%devisor[i]!
=1）
{
tempMul+=commonMultiple[i];
}
dividend+=tempMul*remainder[i];//用本除数取得的余数乘以其他除数的公倍数
}
delete[]commonMultiple;
return（dividend%product）;//返回最小被除数
}
6.凯撒密码
凯撒密码（caeser）是罗马扩张时期朱利斯o凯撒（JuliusCaesar）制造的，用于加密通过信使传递的作战命令。
它将字母表中的字母移动必然位置而实现加密。
注意26个字母循环利用，z的后面能够看成是a。
例如，当密匙为k=3，即向后移动3位时，假设明文为”Howareyou!
”，那么密文为”Krzduhbtx!
”。
凯撒密码的加密算法极为简单。
其加密进程如下：
在那个地址，咱们做此约定：
明文记为m，密文记为c，加密变换记为E（key1,m）（其中key1为密钥），
解密变换记为D（key2,m）（key2为解密密钥）（在那个地址key1=key2,不妨记为key）。
凯撒密码的加密进程可记为如下一个变换：
c≡m+key（modn）（其中n为大体字符个数）
一样，解密进程可表示为：
m≡c+key（modn）（其中n为大体字符个数）
C++实现功能函数：
/*
函数功能：
利用凯撒密码原理，对明文进行加密，返回密文函数名：
Encrypt
输入值：
constcharproclaimedInWriting[]，存储了明文的字符串
charcryptograph[]，用来存储密文的字符串
intkeyey，加密密匙，正数表示后移，负数表示前移
返回值：
无返回值，可是要将新的密文字符串返回
*/
voidEncrypt（constcharproclaimedInWriting[],charcryptograph[],intkey）
{
constintNUM=26;//字母个数
intlen=strlen（proclaimedInWriting）;
for（inti=0;i {
if（proclaimedInWriting[i]>='a'&&proclaimedInWriting[i]<='z'）
{//明码是大写字母，那么密码也为大写字母
cryptograph[i]=（proclaimedInWriting[i]-'a'+key）%NUM+'a';
}
elseif（proclaimedInWriting[i]>='A'&&proclaimedInWriting[i]<='Z'）
{//明码是小写字母，那么密码也为小写字母
cryptograph[i]=（proclaimedInWriting[i]-'A'+key）%NUM+'A';
}
else
{//明码不是字母，那么密码与明码相同
cryptograph[i]=proclaimedInWriting[i];
}
}
cryptograph[len]='\0';
}
/*
函数功能：
利用凯撒密码原理，对密文进行解密，返回明文函数名：
Decode
输入值：
charproclaimedInWriting[]，用来存储明文的字符串
constcharcryptograph[]，存储了密文的字符串
intkeyey，解密密匙，正数表示前移，负数表示后移（与加密相反）
返回值：
无返回值，可是要将新的明文字符串返回
*/
voidDecode（constcharcryptograph[],charproclaimedInWriting[],intkey）
{
constintNUM=26;//字母个数
intlen=strlen（cryptograph）;
for（inti=0;i {
if（cryptograph[i]>='a'&&cryptograph[i]<='z'）
{//密码是大写字母，那么明码也为大写字母，为避免显现负数，转换时要加个NUM
proclaimedInWriting[i]=（cryptograph[i]-'a'-key+NUM）%NUM+'a';
}
elseif（cryptograph[i]>='A'&&cryptograph[i]<='Z'）
{//密码是小写字母，那么明码也为小写字母
proclaimedInWriting[i]=（cryptograph[i]-'A'-key+NUM）%NUM+'A';
}
else
{//密码不是字母，那么明码与明密相同
proclaimedInWriting[i]=cryptograph[i];
}
}
proclaimedInWriting[len]='\0';
}
模运算及其简单应用就先讲到这了，其实模运算在数学及运算机领域的应用超级普遍，我这那个地址搜集整理了一些最最大体的情形，希望能够起到一个抛砖引玉的作用，让更多的人关注模运算，并及其应用到更广漠的领域中。
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