离散数学王元元习题解答.docx
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离散数学王元元习题解答
1命题演算及其形式系统
1.1命题与联结词
内容提要
1.1.1命题
我们把对确定的对象作出判断的陈述句称作命题（propositions），当判断正确或符合客观实际时，称该命题真（true），否则称该命题假（false）。
“真、假”常被称为命题的真值。
自然语言中“并非、或者、并且、如果…，那么…、当且仅当”这样的联结词称为逻辑联结词（logicalconnectives）。
通常把不含有逻辑联结词的命题称为原子命题或原子（atoms），而把由原子命题和逻辑联结词共同组成的命题称为复合命题（compositivepropositions）。
1.1.2联结词
否定词（negation）“并非”（not），用符号┐表示。
设p表示一命题，那么┐p表示命题p的否定。
p真时┐p假，而p假时┐p真。
┐p读作“并非p”或“非p”。
合取词（conjunction）“并且”（and），用符号∧表示。
设p，q表示两命题，那么p∧q表示合取p和q所得的命题，即p和q同时为真时p∧q真，否则p∧q为假。
p∧q读作“p并且q”或“p且q”。
析取词（disjunction）“或”（or）用符号∨表示。
设p，q表示两命题，那么p∨q表示p和q的析取，即当p和q有一为真时，p∨q为真，只有当p和q均假时p∨q为假。
p∨q读作“p或者q”、“p或q”。
蕴涵词（implication）“如果……，那么……”（if…then…），用符号→表示。
设p，q表示两命题，那么p→q表示命题“如果p，那么q”。
当p真而q假时，命题p→q为假，否则均认为p→q为真。
p→q中的p称为蕴涵前件，q称为蕴涵后件。
p→q的读法较多，可读作“如果p则q”，“p蕴涵q”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，“q当p”，“p仅当q”等等。
数学中还常把q→p，┐p→┐q，┐q→┐p分别叫做p→q的逆命题，否命题，逆否命题。
双向蕴涵词（two-wayimplication）“当且仅当”（ifandonlyif），用符号表示之。
设p，q为两命题，那么pq表示命题“p当且仅当q”，“p与q等价”，即当p与q同真值时pq为真，否则为假。
pq读作“p双向蕴涵q”，“p当且仅当q”，“p等价于q”。
由于“当且仅当”“等价”常在其它地方使用，因而用第一种读法更好些。
1.1.3命题公式及其真值表
我们把表示具体命题及表示常命题的p，q，r，s与f，t统称为命题常元（propositionconstant）。
深入的讨论还需要引入命题变元（propositionvariable）的概念，它们是以“真、假”或“1，0”为取值范围的变元，为简单计，命题变元仍用p，q，r，s等表示。
定义1.1以下三条款规定了命题公式（propositionformula）的意义：
（1）命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。
（2）如果A，B是命题公式，那么（┐A），（A∧B），（A∨B），（A→B），（AB）也是命题公式。
（3）只有有限步引用条款
（1），
（2）所组成的符号串是命题公式。
如果公式A含有命题变元p1，p2，…，pn，记为A（p1,…,pn），并把联结词看作真值运算符，那么公式A可以看作是p1,…,pn的真值函数。
对任意给定的p1,…,pn的一种取值状况，称为指派（assignments），用希腊字母，等表示，A均有一个确定的真值。
当A对取值状况为真时，称指派弄真A，或是A的成真赋值，记为（A）=1；反之称指派弄假A，或是A的成假赋值，记为（A）=0。
对一切可能的指派,公式A的取值可能可用一张表来描述,这个表称为真值表（truthtable）。
当A（p1,…,pn）中有k个联结词时，公式A的真值表应为2n行、k+n列（不计表头）。
1.1.4语句的形式化
用我们已有的符号语言，可以将许多自然语言语句形式化。
语句形式化要注意以下几个方面。
要善于确定原子命题，不要把一个概念硬拆成几个概念，例如“弟兄”是一个概念，不要拆成“弟”和“兄”、“我和他是弟兄”是一个原子命题。
要善于识别自然语言中的联结词（有时它们被省略）。
例如“风雨无阻，我去上学”一句，可理解为“不管是否刮风、是否下雨我都去上学”。
否定词的位置要放准确。
需要的括号不能省略，而可以省略的括号，在需要提高公式可读性时亦可不省略。
另外要注意的是,语句的形式化未必是唯一的。
习题解答
练习1.1
1、判断下列语句是否是命题，若是命题则请将其形式化：
（1）a+b
（2）x>0
（3）“请进！
”
（4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。
（5）我明天或后天去苏州。
（6）我明天或后天去苏州的说法是谣传。
（7）我明天或后天去北京或天津。
（8）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。
（9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。
（10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。
（11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必须充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。
（12）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。
（13）不管你和他去不去，我去。
（14）侈而惰者贫，而力而俭者富。
（韩非：
《韩非子显学》）
（15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。
（荀况：
《荀子劝学》）
解
（1）a+b不是命题
（2）x>0不是命题（x是变元）
（3）“请进！
”不是命题
（4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。
是命题
可表示为p∧┐q，其中p：
所有的人都是要死的，q：
所有的人都怕死
（5）我明天或后天去苏州。
是命题
可表示为p∨q，其中p：
我明天去苏州；q：
我后天去苏州
（6）我明天或后天去苏州的说法是谣传。
是命题
可表示为┐（p∨q），其中p、q同（5）
（7）我明天或后天去北京或天津。
是命题
可表示为p∨q∨r∨s，其中p：
我明天去北京，q：
我明天去天津，r：
我后天去北京，s：
我后天去天津
（8）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。
是命题
可表示为┐p→┐q，其中，p：
我买到飞机票，q：
我出去
（9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。
是命题
可表示为（p∧q→r）∧（┐p∧q→r）或q→r，其中p：
他余款多，q：
他出门，r：
他买书
（10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。
是命题
可表示为（p∨q）r，其中p：
你陪伴我，q：
你代我雇车，r：
我去
（11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必须充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。
是命题
可表示为（p→q）∧（q→p）或pq，其中p：
你充分考虑了一切论证，q：
你得到了可靠见解
（12）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。
是命题
可表示为（q→p）→┐q，其中p：
我懂得希腊文，q：
我了解柏拉图
（13）不管你和他去不去，我去。
是命题
可表示为（p→r）∧（q→r）∧（┐p→r）∧（┐q→r）或r，其中p：
你去，q：
他去，r：
我去
（14）侈而惰者贫，而力而俭者富。
（韩非：
《韩非子显学》）是命题
可表示为（（p∧q）→r）∧（（┐p∧┐q）→┐r），其中p：
你奢侈，q：
你懒惰，r：
你贫困
（15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。
（荀况：
《荀子劝学》）是命题
可表示为（p→┐q）∧（s→r）∧（m∧n→┐o）∧（m∧┐n→v），其中p：
骐骥一跃，q：
骐骥一跃十步，r：
驽马行千里，s：
驽马不断奔跑，m：
你雕刻，n：
你放弃，o：
将朽木折断，v：
金石可雕刻
2、判定下列符号串是否为公式，若是，请给出它的真值表，并请注意这些真值表的特点（公式中省略了可以省略的括号）：
（1）┐（p）（p为原子命题）
（2）（p∨qr）→s
（3）（p∨q）→p
（4）p→（p∨q）
（5）┐（p∨┐p）
（6）p∧（p→q）→q
（7）p∧（p→q）∧（p→┐q）
（8）（p→q）（┐q→┐p）
（9）┐（p∨q）┐q∧┐p
（10）┐p∨q（p→q）
（11）（p→q）∧（q→r）→（p→r）
（12）（p∨q→r）（p→r）∧（q→r）
解
（1）┐（p）不是公式
（2）（p∨qr）→s不是公式
（3）（p∨q）→p是公式
p
q
p∨q
（p∨q）→p
p→（p∨q）
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1
（4）p→（p∨q）是公式（真值表见上表，恒真）
（5）┐（p∨┐p）是公式（恒假）
p
┐p
p∨┐p
┐（p∨┐p）
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0
（6）p∧（p→q）→q是公式（恒真）
p
q
p→q
p∧（p→q）
p∧（p→q）→q
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（7）p∧（p→q）∧（p→┐q）是公式（恒假）
p
q
┐q
p→q
p∧（p→q）
p→┐q
p∧（p→q）∧（p→┐q）
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0
（8）（p→q）（┐q→┐p）是公式（恒真）
p
q
┐p
┐q
p→q
┐q→┐p
（p→q）（┐q→┐p）
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（9）┐（p∨q）┐q∧┐p是公式（恒真）
p
q
┐p
┐q
p∨q
┐（p∨q）
┐q∧┐p
┐（p∨q）┐q∧┐p
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1
（10）┐p∨q（p→q）是公式（恒真）
p
q
┐p
┐p∨q
p→q
┐p∨q（p→q）
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（11）（p→q）∧（q→r）→（p→r）是公式（恒真）
p
q
r
p→q
q→r
p→r
（p→q）∧（q→r）
（p→q）∧（q→r）→（p→r）
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（12）（p∨q→r）（p→r）∧（q→r）是公式（恒真）
p
q
r
p∨q
p∨q→r
p→r
q→r
（p→r）∧（q→r）
（p∨q→r）（p→r）∧（q→r）
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1
*3、A国的人只有两种，一种永远说真话，一种永远说假话。
你来到A国，并在一个二叉路口不知如何走才能到达首都。
守卫路口的士兵只准你问一个问题，而且他只答“是”或“不是”。
你应该如何发问，才能从士兵处获知去首都的道路。
解设p：
你是说真话的；q：
我应当向右走去首都
你应当问：
pq?
当回答“是（真）”，你选择向右走；当回答“不（假）”时，你选择向左走。
因为
pq真，当且仅当p真且q真（士兵说真话且应当向右走）
或p假且q假（士兵说假话且应当向左走）
pq假，当且仅当p真且q假（士兵说真话且应当向左走）
或p假且q假（士兵说假话且应当向右走）
1.2重言式
内容提要
1.2.1重言式概念
定义1.2命题公式A称为重言式（tautology），如果对A中命题变元的一切指派均弄真A，因而重言式又称永真式；A称为可满足式（satisfactableformula），如果至少有一个指派弄真A，否则称A为不可满足式或永假式、矛盾式。
1.2.2逻辑等价式和逻辑蕴涵式
定义1.3当命题公式AB为永真式时，称A逻辑等价于B，记为A┝┥B，它又称为逻辑等价式（logicallyequivalent）。
以下是一些重要的逻辑等价式，其中A，B，C表示任意命题公式：
E1┐┐A┝┥A双重否定律
E2A∨A┝┥A幂等律
E3A∧A┝┥A幂等律
E4A∨B┝┥B∨A交换律
E5A∧B┝┥B∧A交换律
E6（A∨B）∨C┝┥A∨（B∨C）结合律
E7（A∧B）∧C┝┥A∧（B∧C）结合律
E8A∧（B∨C）┝┥（A∧B）∨（A∧C）分配律
E9A∨（B∧C）┝┥（A∨B）∧（A∨C）分配律
E10┐（A∨B）┝┥┐A∧┐B德摩根律
E11┐（A∧B）┝┥┐A∨┐B德摩根律
E12A∨（A∧B）┝┥A吸收律
E13A∧（A∨B）┝┥A吸收律
E14A→B┝┥┐A∨B
E15AB┝┥（A→B）∧（B→A）
E16A∨t┝┥t
E17A∧t┝┥A
E18A∨f┝┥A
E19A∧f┝┥f
E20A∨┐A┝┥t
E21A∧┐A┝┥f
E22┐t┝┥f,┐f┝┥t
E23A∧B→C┝┥A→（B→C）
E24A→B┝┥┐B→┐A
E25（A→B）∧（A→┐B）┝┥┐A
定义1.4当命题公式A→B为永真式时，称A逻辑蕴涵B，记为A┝B，它又称为逻辑蕴涵式（logicallyimplication）。
我们也列出一些十分重要的逻辑蕴涵式：
I1A┝A∨B，B┝A∨B
I2A∧B┝A，A∧B┝B
I3A∧（A→B）┝B
I4（A→B）∧┐B┝┐A
I5┐A∧（A∨B）┝B，┐B∧（A∨B）┝A
I6（A→B）∧（B→C）┝A→C
I7（A→B）∧（C→D）┝（A∧C）→（B∧D）
I8（AB）∧（BC）┝AC
逻辑等价式与逻辑蕴涵式有如下明显性质。
定理1.1对任意命题公式A，B，C，A'，B'，
（1）A┝┥B当且仅当┝AB
（2）A┝B当且仅当┝A→B
（3）若A┝┥B，则B┝┥A
（4）若A┝┥B，B┝┥C，则A┝┥C
（5）若A┝B，则┐B┝┐A
（6）若A┝B，B┝C，则A┝C
（7）若A┝B，A┝┥A'，B┝┥B'，则A'┝B'
定理1.2设A为永真式，p为A中命题变元，A（B/p）表示将A中p的所有出现全部代换为公式B后所得的命题公式（称为A的一个代入实例），那么A（B/p）亦为永真式。
定理1.3设A为一命题公式，C为A的子公式（A的一部分，且自身为一公式），且C┝┥D。
若将A中子公式C的某些（未必全部）出现替换为D后得到公式B，那么A┝┥B。
定理1.2常被称为代入原理（ruleofsubstitution），简记为RS。
定理1.3常被称为替换原理（ruleofreplacement）简记为RR。
△1.2.3对偶原理
定义1.5设公式A仅含联结词┐，∧，∨，A*为将A中符号∧，∨，t，f分别改换为∨，∧，f，t后所得的公式，那么称A*为A的对偶（dual）。
显然A与A*互为对偶，即（A*）*=A
定理1.4设公式A中仅含命题变元p1,…,pn，及联结词┐，∧，∨，那么
A┝┥┐A*（┐p1/p1,…,┐pn/pn）
这里A*（┐p1/p1,…,┐pn/pn）表示在A*中对p1,…,pn分别作代入┐p1,…,┐pn后所得的公式。
定理1.5设A，B为仅含联结词┐，∧，∨和命题变元p1,…,pn的命题公式，且满足A┝B，那么有B*┝A*。
进而当A┝┥B时有A*┝┥B*。
常把B*┝A*，A*┝┥B*称为A┝B和A┝┥B的对偶式。
习题解答
练习1.2
1、试判定以下各式是否为重言式：
（1）（p→q）→（q→p）
（2）┐p→（p→q）
（3）q→（p→q）
（4）p∧q→（pq）
（5）（p→q）∨（r→q）→（（p∨r）→q）
（6）（p→q）∨（r→s）→（（p∨r）→（q∨s））
解
（1）否
（2）是
（3）是
（4）是
（5）否
（6）否
2、试用真值表验证E6，E8，E10，E11，E23。
证
（1）E6（A∨B）∨CA∨（B∨C）
A
B
C
A∨B
（A∨B）∨C
B∨C
A∨（B∨C）
E6
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1
（2）E8A∧（B∨C）（A∧B）∨（A∧C）
A
B
C
B∨C
A∧（B∨C）
A∧B
A∧C
（A∧B）∨（A∧C）
E8
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1
（3）E10┐（A∨B）┐A∧┐B
A
B
A∨B
┐（A∨B）
┐A
┐B
┐A∧┐B
E10
0
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1
（4）E11┐（A∧B）┐A∨┐B
A
B
┐A
┐B
A∧B
┐（A∧B）
┐A∨┐B
E11
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0
1
（5）E23（A∧B→C）（A→（B→C））
A
B
C
A∧B
A∧B→C
B→C
A→（B→C）
E23
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1
1
3、不用真值表，用代入、替换证明E12，E13，E24。
证
（1）E12：
A∨（A∧B）┝┥A
A∨（A∧B）┝┥（A∧t）∨（A∧B）据E17用RR
┝┥A∧（t∨B）对E8用RS
┝┥A∧t据E16用RR
┝┥A据E17
（2）E13：
A∧（A∨B）┝┥A
A∧（A∨B）┝┥（A∨f）∧（A∨B）据E18用RR
┝┥A∨（f∧B）对E9用RS
┝┥A∨f据E19用RR
┝┥A据E18
（3）E24：
A→B┝┥┐B→┐A
┐B→┐A┝┥┐┐B∨┐A对E14用RS
┝┥B∨┐A据E1用RR
┝┥┐A∨B对E4用RS
┝┥A→B据E14
4、试用真值表验证I3，I4，I5，I6。
证
（1）I3A∧（A→B）→B
A
B
A→B
A∧（A→B）
A∧（A→B）→B
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
（2）I4（A→B）∧┐B→┐A
A
B
┐B
┐A
A→B
（A→B）∧┐B
I4
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
（3）I5┐A∧（A∨B）→B┐B∧（A∨B）→A
A
B
┐A
A∨B
┐A∧（A∨B）
┐A∧（A∨B）→B
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
A
B
┐B
A∨B
┐B∧（A∨B）
┐B∧（A∨B）→A
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
（4）I6（A→B）∧（B→C）→（A→C）
A
B
C
A→B
B→C
A→C
（A→B）∧（B→C）
I6
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
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0
0
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1
1
1
1
1
1
1
5、不
升级会员 