离散数学王元元习题解答.docx

1、离散数学王元元习题解答1 命题演算及其形式系统1.1 命题与联结词 内容提要1.1.1 命题 我们把对确定的对象作出判断的陈述句称作命题（propositions），当判断正确或符合客观实际时，称该命题真（true），否则称该命题假（false）。“真、假”常被称为命题的真值。 自然语言中“并非、或者、并且、如果，那么、当且仅当 ” 这样的联结词称为逻辑联结词（logical connectives）。通常把不含有逻辑联结词的命题称为原子命题或原子（atoms），而把由原子命题和逻辑联结词共同组成的命题称为复合命题（compositive propositions）。1.1.2 联结词否定词(

2、negation)“并非”（not），用符号表示。设p表示一命题，那么p表示命题p的否定。p真时p假，而p假时p真。p读作“并非p”或“非p”。 合取词(conjunction)“并且”（and），用符号表示。设p，q表示两命题，那么pq表示合取p和q所得的命题，即p和q同时为真时pq真，否则pq为假。pq读作“p并且q”或“p且q”。 析取词(disjunction)“或”（or）用符号表示。设p，q表示两命题，那么pq表示p和q的析取，即当p和q有一为真时，pq为真，只有当p和q均假时pq为假。pq读作“p或者q”、“p或q”。 蕴涵词(implication)“如果，那么”（ifthen

3、），用符号表示。设p，q表示两命题，那么pq表示命题“如果p，那么q”。当p真而q假时，命题pq为假，否则均认为pq为真。pq中的p称为蕴涵前件，q称为蕴涵后件。pq的读法较多，可读作“如果p则q”，“p蕴涵q”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，“q当p”，“p仅当q”等等。数学中还常把qp，pq，qp分别叫做pq的逆命题，否命题，逆否命题。 双向蕴涵词(two-way implication)“当且仅当”（if and only if），用符号 表示之。设p，q为两命题，那么p q表示命题“p当且仅当q”，“p与q等价”，即当p与q同真值时p q为真，否则为假。p q读作“p双向

4、蕴涵q”，“p当且仅当q”，“p等价于q”。由于“当且仅当”“等价”常在其它地方使用，因而用第一种读法更好些。1.1.3 命题公式及其真值表我们把表示具体命题及表示常命题的p，q，r，s与f，t统称为命题常元（proposition constant）。深入的讨论还需要引入命题变元（proposition variable）的概念，它们是以“真、假”或“1，0”为取值范围的变元，为简单计，命题变元仍用p，q，r，s等表示。 定义1.1 以下三条款规定了命题公式（proposition formula）的意义： （1）命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。 （2）如果A，B是命题公

5、式，那么（A），（AB），（AB），（AB），（A B）也是命题公式。 （3）只有有限步引用条款（1），（2）所组成的符号串是命题公式。 如果公式A含有命题变元p1，p2，pn，记为A(p1,pn)，并把联结词看作真值运算符，那么公式A可以看作是p1,pn的真值函数。对任意给定的p1,pn的一种取值状况，称为指派（assignments），用希腊字母 ， 等表示，A均有一个确定的真值。当A对取值状况 为真时，称指派 弄真A，或 是A的成真赋值，记为 (A) = 1；反之称指派 弄假A，或 是A的成假赋值，记为 (A) = 0。对一切可能的指派,公式A的取值可能可用一张表来描述,这个表称为真值表

6、（truth table）。当A(p1,pn)中有k个联结词时，公式A的真值表应为2n行、k+n列（不计表头）。1.1.4 语句的形式化用我们已有的符号语言，可以将许多自然语言语句形式化。语句形式化要注意以下几个方面。 要善于确定原子命题，不要把一个概念硬拆成几个概念，例如“弟兄”是一个概念，不要拆成“弟”和“兄”、“我和他是弟兄”是一个原子命题。 要善于识别自然语言中的联结词（有时它们被省略）。例如“风雨无阻，我去上学”一句，可理解为“不管是否刮风、是否下雨我都去上学”。 否定词的位置要放准确。需要的括号不能省略，而可以省略的括号，在需要提高公式可读性时亦可不省略。另外要注意的是,语句的形式

7、化未必是唯一的。 习题解答练习1.1 1、判断下列语句是否是命题，若是命题则请将其形式化： （1）a+b （2）x0 （3）“请进！” （4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。 （5）我明天或后天去苏州。 （6）我明天或后天去苏州的说法是谣传。 （7）我明天或后天去北京或天津。 （8）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。 （9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。 （10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。 （11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必须充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。 （12）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。 （13）不管你和他去不去，我

8、去。 （14）侈而惰者贫，而力而俭者富。（韩非：韩非子 显学）（15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。（荀况：荀子 劝学）解 （1）a+b 不是命题 （2）x0 不是命题（x是变元） （3）“请进！” 不是命题 （4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。 是命题 可表示为pq，其中p：所有的人都是要死的，q：所有的人都怕死 （5）我明天或后天去苏州。 是命题 可表示为pq，其中p：我明天去苏州；q：我后天去苏州（6）我明天或后天去苏州的说法是谣传。 是命题 可表示为(pq)，其中p、q同（5）（7）我明天或后天去北京或天津。 是命题 可表示为pqr

9、s，其中p：我明天去北京，q：我明天去天津，r：我后天去北京，s：我后天去天津（8）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。 是命题 可表示为pq，其中，p：我买到飞机票，q：我出去（9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。 是命题 可表示为(pqr)(pqr)或qr，其中p：他余款多，q：他出门，r：他买书（10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。 是命题 可表示为(pq) r，其中p：你陪伴我，q：你代我雇车，r：我去（11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必须充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。 是命题 可表示为(pq) (qp )或p q，其中p：你充分考虑了一切论证，q：你

10、得到了可靠见解 （12）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。 是命题 可表示为(qp ) q，其中p：我懂得希腊文，q：我了解柏拉图 （13）不管你和他去不去，我去。 是命题可表示为(pr) (qr) ( pr) ( qr)或r，其中p：你去，q：他去，r：我去（14）侈而惰者贫，而力而俭者富。（韩非：韩非子 显学） 是命题可表示为(pq)r) (pq)r)，其中p：你奢侈，q：你懒惰，r：你贫困（15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。（荀况：荀子 劝学） 是命题可表示为(pq) (sr) (mno) (mnv)，其中p：骐骥一

11、跃，q：骐骥一跃十步，r：驽马行千里，s：驽马不断奔跑，m：你雕刻，n：你放弃，o：将朽木折断，v：金石可雕刻 2、判定下列符号串是否为公式，若是，请给出它的真值表，并请注意这些真值表的特点（公式中省略了可以省略的括号）： （1）(p)（p为原子命题） （2）(pqr)s （3）(pq)p （4）p(pq) （5）(pp) （6）p(pq)q （7）p(pq)(pq) （8）(pq) (qp) （9）(pq) qp （10）pq (pq) （11）(pq)(qr)(pr)（12）(pqr) (pr)(qr)解 （1）(p) 不是公式 （2）(pqr)s 不是公式 （3）(pq)p 是公式 pq

12、pq(pq)pp(pq)00011011011011111111 （4）p(pq) 是公式（真值表见上表，恒真）（5）(pp) 是公式（恒假）pppp(pp)01101010（6）p(pq)q 是公式（恒真）pqpqp(pq)p(pq)q00101011011000111111（7）p(pq)(pq) 是公式（恒假）pqqpqp(pq)pqp(pq)(pq)0011010010101010100101101100（8）(pq) (qp) 是公式（恒真）pqpqpqqp(pq) (qp)0011111011011110010011100111（9）(pq) qp 是公式（恒真）pqpqpq(pq

13、)qp(pq) qp00110111011010011001100111001001（10）pq (pq) 是公式（恒真）pqppqpqpq (pq)001111011111100001110111（11）(pq)(qr)(pr) 是公式（恒真）pqrpqqrpr(pq)(qr)(pq)(qr)(pr)0001111100111111010101010111111110001001101011011101000111111111（12）(pqr) (pr)(qr) 是公式（恒真）pqrpqpqrprqr(pr)(qr)(pqr) (pr)(qr)000011111001011111010101

14、001011111111100100101101111111110101001111111111*3、A国的人只有两种，一种永远说真话，一种永远说假话。你来到A国，并在一个二叉路口不知如何走才能到达首都。守卫路口的士兵只准你问一个问题，而且他只答“是”或“不是”。你应该如何发问，才能从士兵处获知去首都的道路。解 设p：你是说真话的；q：我应当向右走去首都 你应当问：p q ? 当回答“是 (真)”，你选择向右走；当回答“不（假）”时，你选择向左走。因为 p q真，当且仅当p真且q真（士兵说真话且应当向右走）或p假且q假（士兵说假话且应当向左走） p q假，当且仅当p真且q假（士兵说真话且应当向

15、左走）或p假且q假（士兵说假话且应当向右走）1.2 重言式 内容提要1.2.1 重言式概念定义1.2 命题公式A称为重言式（tautology），如果对A中命题变元的一切指派均弄真A，因而重言式又称永真式；A称为可满足式（satisfactable formula），如果至少有一个指派弄真A，否则称A为不可满足式或永假式、矛盾式。1.2.2 逻辑等价式和逻辑蕴涵式 定义1.3 当命题公式A B为永真式时，称A逻辑等价于B，记为AB，它又称为逻辑等价式(logically equivalent)。 以下是一些重要的逻辑等价式，其中A，B，C表示任意命题公式： E1 AA 双重否定律E2 AAA

16、幂等律 E3 AAA 幂等律 E4 ABBA 交换律 E5 ABBA 交换律E6 (AB)CA(BC) 结合律 E7 (AB)CA(BC) 结合律 E8 A(BC)(AB)(AC) 分配律 E9 A(BC)(AB)(AC) 分配律 E10 (AB)AB 德摩根律 E11 (AB)AB 德摩根律 E12 A(AB)A 吸收律 E13 A(AB)A 吸收律E14 ABAB E15 A B(AB)(BA)E16 AttE17 AtAE18 AfAE19 AffE20 AAtE21 AAfE22 tf, ftE23 ABCA(BC)E24 ABBAE25 (AB)(AB)A 定义1.4 当命题公式AB

17、为永真式时，称A逻辑蕴涵B，记为A B，它又称为逻辑蕴涵式(logically implication)。 我们也列出一些十分重要的逻辑蕴涵式： I1 A AB，B AB I2 AB A，AB BI3 A(AB) BI4 (AB)B AI5 A(AB) B，B(AB) AI6 (AB)(BC) ACI7 (AB)(CD) (AC)(BD)I8 (A B)(B C) A C 逻辑等价式与逻辑蕴涵式有如下明显性质。 定理1.1 对任意命题公式A，B，C，A，B， （1）AB当且仅当 A B （2）A B当且仅当 AB （3）若AB，则BA （4）若AB，BC，则AC （5）若A B，则B A （6

18、）若A B，B C，则A C （7）若A B，AA，BB，则A B 定理1.2 设A为永真式，p为A中命题变元，A(B/p)表示将A中p的所有出现全部代换为公式B后所得的命题公式（称为A的一个代入实例），那么A(B/p)亦为永真式。 定理1.3 设A为一命题公式，C为A的子公式（A的一部分，且自身为一公式），且CD。若将A中子公式C的某些（未必全部）出现替换为D后得到公式B，那么AB。 定理1.2常被称为代入原理（rule of substitution），简记为RS。定理1.3常被称为替换原理（rule of replacement）简记为RR。1.2.3 对偶原理 定义1.5 设公式A仅含

19、联结词 ，A*为将A中符号，t，f分别改换为，f，t后所得的公式，那么称A*为A的对偶（dual）。 显然A与A*互为对偶，即(A*)*=A 定理1.4 设公式A中仅含命题变元p1,pn，及联结词，那么 AA*(p1/p1, pn/pn)这里A*(p1/p1, pn/pn)表示在A*中对p1,pn分别作代入p1, pn后所得的公式。定理1.5 设A，B为仅含联结词，和命题变元p1,pn的命题公式，且满足AB，那么有B* A*。进而当AB时有A*B*。常把B* A*，A*B*称为A B和AB的对偶式。 习题解答练习1.2 1、试判定以下各式是否为重言式： （1）(pq)(qp) （2）p(pq)

20、 （3）q(pq) （4）pq(p q) （5）(pq)(rq)(pr)q)（6）(pq)(rs)(pr)(qs)解 （1）否 （2）是 （3）是 （4）是 （5）否 （6）否2、试用真值表验证E6，E8，E10，E11，E23。证 （1）E6 (AB)C A(BC)ABCAB(AB)CBCA(BC)E60000000100101111010111110111111110011011101111111101111111111111 （2）E8 A(BC) (AB)(AC)ABCBCA(BC)ABAC(AB)(AC)E800000000100110000101010000101110000110

21、0000001101110111110111011111111111 （3）E10 (AB) ABABAB(AB)ABABE10 00011111011010011010010111100001 （4）E11 (AB) AB ABABAB(AB)ABE1100110111011001111001011111001001 （5）E23 (ABC) (A(BC)ABCABABCBCA(BC)E2300001111001011110100101101101111100011111010111111010001111111113、不用真值表，用代入、替换证明E12，E13，E24。证 （1）E12：

22、A(AB) A A(AB) (At)(AB) 据E17用RR A (tB) 对E8用RS At 据E16用RR A 据E17 （2）E13： A(AB) A A(AB) (Af)(AB) 据E18用RR A(fB) 对E9用RS Af 据E19用RR A 据E18 （3）E24： AB BA BABA 对E14用RS BA 据E1用RR AB 对E4用RS AB 据E14 4、试用真值表验证I3，I4，I5，I6。证 （1）I3 A(AB)BABABA(AB)A(AB)B00101011011000111111 （2）I4 (AB) BAABBAAB(AB) BI40011111010110110100011100101 （3）I5 A(AB)B B(AB)AABAABA(AB)A(AB)B001001011111100101110101ABBABB(AB)B(AB)A001001010101101111110101 （4）I6 (AB) (BC) (AC)ABCABBCAC(AB)(BC)I600011111001111110101010101111111100010011010110111010001111111115、不