单独二胎政策的影响研究数学建模.docx
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单独二胎政策的影响研究数学建模
“单独二胎”政策的影响研究数学建模
“单独二胎”政策的影响研究数学建模
摘要：
本文根据2010年全国第六次人口普查数据建立了Leslie模型，在未实施“单独二胎”政策时假设2010年以后生育率不变，利用Leslie模型对我国人口数量、人口结构、性别比和老龄化等的预测。
由于2014年实施“单独二胎”政策，所以将2014年的人口数据作为实施“单独二胎”政策后测算的初始数据，通过建立韦伯分布模型，对生育模式进行调整，实现对生育率的改变，可以实现对实施“单独二胎”政策后我国的人口总量、人口结构、性别比和老龄化等的预测。
假设2020年实施“全面二胎”政策，根据Leslie模型预测的实施“单独二胎”政策后我国的人口数据，将2020年的人口数据作为实施“全面二胎”政策后测算的初始数据，通过建立的韦伯分布模型，改变生育率，可以实现对实施“全面二胎”政策后我国的人口总量、人口结构、性别比和老龄化等的预测。
建模结果表明：
未实施“单独二胎”政策，我国人口将在2022年达到人口最大值亿人，实施“单独二胎”政策后我国人口将在2024年达到人口最大值亿人，之后我国人口呈现急剧减少的趋势，但是根据人口预测，实施“单独二胎”政策后我国人口一直比未实施“单独二胎”政策的人口多，并且我国人口日益呈现老龄化，实施“单独二胎”政策前后，到2050年时老年人口比例已分别达到%和%，我国老龄化人口数量急剧增多，老龄化现象不断加重，虽然实施“单独二胎”政策相对未实施“单独二胎”政策能够减少老龄化人口比例，但是也无法避免老龄人口增多的问题，从而使得劳动人口减少；同时，实施“单独二胎”政策会导致男女性别比下降的趋势减缓，实施“单独二胎”政策前后，到2050年时性别比分别为：
100和：
100。
当我国2020年开始实施“全面二胎”政策后，预计在2029年我国人口达到最大值亿人，同时，实施“全面二胎”政策后我国儿童阶段人口，即0-6岁人口在2033年以后逐渐增多，少年阶段人口，即7-17岁人口在2041年后开始逐渐增多，青年阶段人口，即18-40岁人口在2030年后开始平稳增多，虽然中年阶段人口，即41-65岁人口2030年后呈现减少趋势，但是老年阶段人口，即66岁以后人口在2040年以后呈现逐渐减少的趋势，并且在实施“全面二胎”政策后60岁以上老年人口比例相对有所减小，2050年以内均稳定在30%以下，人口老龄化问题有所缓和，同时，人口性别比也在102~105之间，属于正常水平。
鉴于建模分析，对生育政策进行适当的调整和完善，将更有利于人口和计划生育工作，同时也是从长期人口与发展的战略目标考虑、放宽生育政策的关键一步。
关键词：
Leslie模型；韦伯分布；“单独二胎”政策；“全面二胎”政策；人口预测
1问题重述
人口问题是关乎国家生存与发展的重大战略问题．人口的增长取决于各种环境因素，合理的人口预测是一个非常重要的课题．上世纪90年代初，我国人口总量虽然保持持续增长，但惯性趋弱．如果维持现行计划生育政策不变，总人口在达到峰值后将快速减少．随着经济社会的发展和群众生活水平的提高，少生优生、优育优教的生育观念正在形成．2013年十八届三中全会通过的《》对外发布，其中提到“坚持计划生育的，启动实施一方是独生子女的夫妇可生育两个孩子的政策”，这标志着“单独二孩”政策将正式实施。
单独二胎政策实施对我国人口的数量、结构将产生很大的影响．因此，预测放开二胎对我国人口增长的影响是当前我国宏观人口政策研究的一个重要课题．
请自行收集数据，并指出数据来源，并回答如下问题：
1.如果不考虑“单独二胎”政策的影响，请对中国人口数量和结构进行预测，包括人口总量、人口总量变化趋势，性别比，老龄化等。
2.分析“单独二胎”政策对中国人口数量和结构的影响，包括人口总量、人口总量变化趋势，性别比，老龄化等。
3.比较分析该政策实施前后人口数量变化趋势，找出人口变化的拐点并分析其实际意义。
以中国人口年鉴或者陕西省人口年鉴数据进行具体分析。
4.如今，国家对“全面二胎”政策也正在拟议中，试分析“全面二胎”政策对人口总量和结构的影响。
5.根据所建模型，对中国未来人口政策提出合理化建议。
2问题分析
针对问题1，不考虑“单独二胎”政策的影响，只考虑生育率、死亡率对人口的影响。
假定2010年后的生育率不变，基于2010年全国人口普查数据[1]建立Leslie矩阵，利用Leslie模型进行人口总量、人口结构、性别比和老龄化等的预测。
针对问题2，考虑“单独二胎”政策的影响，2014年开始实施“单独二胎”政策，“单独二胎”政策实施后我国人口的出生率将会发生较大变化，将会在今后二十多年，保持相对较高但有所衰减的人口增长率，因此，建立韦伯分布模型，通过改变生育模式实现对生育率的改变，从而根据模型一预测的2014年人口数据值可以实现对实施“单独二胎”政策后我国的人口总量、人口结构、性别比和老龄化等的预测。
针对问题3，根据模型一以及模型二的建立和求解，通过数据绘图可以清楚直观的对比“单独二胎”政策实施前后人口数量变化趋势，并找出其中的拐点，予以分析说明，同时可以对“单独二胎”政策实施前后的人口结构、性别比以及老龄化问题进行比较分析。
针对问题4，假设2020年实施“全面二胎”政策，根据模型一和模型二的建立，利用模型二改变生育模式，能够实现对“全面二胎”政策实施后的人口总量和结构进行预测。
针对问题5，根据建立的模型，分析我国在不同生育政策下的人口状况，如人口总量、人口结构、性别比和老龄化等，并对我国面临的人口问题以及未来的人口政策提出合理化的建议。
3问题假设
（1）预测年限期间没有大规模自然灾害导致的死亡率变化。
（2）没有国内外大范围人口流动。
（3）国家经济发展水平按当前态势稳步发展。
（4）原有一胎及二胎以上生育水平保持原有趋势。
（5）政策全面放开满足条件家庭按意愿生育。
（6）2014年起实施“单独二胎”政策。
（7）2020年起实施“全面二胎”政策。
（8）婚配完全随机。
（9）在预测人口模型中，假设不考虑与境外的迁入迁出问题。
4模型一的建立与求解
Leslie人口模型
记时段
第
年龄组的人群数量
，第
年龄组的生育率为
，第
年龄组的死亡率为
，生存率为
，
，我们假设
和
不随时段
变化，在稳定的环境下这个假设是合理的。
的变化规律由以下的基本事实得到：
时段
第一年龄组人口数量是时段
各年龄组生育数量之和，即[2]
（1）
时段
第
年龄组的人口数量是时段
第
年龄组生存下来的数量，即
（2）
计时段
种群按年龄组的分布变量为：
（3）
由生育率
和生存率
构成的矩阵
（4）
则
（1）、
（2）可表为
（5）
当矩阵L和按年龄组的初始分布向量
已知时，可以预测任意时段
人群按年龄组的分布为
（6）
年龄划分标准
基于前述假设及所建立的Leslie模型，讨论在不同时期内总人口的年龄分布状况。
经查询人口相关资料，1994年以前国际上对年龄段的划分标准是14岁以前为少儿，15岁至64岁为青壮年和逐渐进入的劳动年龄段（中国划分为到60岁）；65岁以上为老年人。
后来，中国给出了最新的年龄分段标准，并将年龄分为下列五个阶段，其中所属年龄均为周岁[3]：
第一阶段，童年：
0岁-6岁
（1）婴儿期0-3周；
（2）小儿期4周岁；（3）幼儿期岁-6岁。
第二阶段，少年：
7岁-17岁
（1）启蒙期7岁-10岁；
（2）逆反期11岁-14岁；（3）成长期15岁-17岁。
第三阶段，青年：
18岁-40岁
（1）青春期18-28岁；
（2）成熟期29-40岁。
第四阶段，中年：
41-65岁
（1）壮实期41-48岁；
（2）稳健期49-55岁；（3）调整期56-65岁。
第五阶段，老年：
66岁以上
（1）初老期66-72岁；
（2）中老期73-84岁；（3）年老期85岁以后。
以上人口分类数据可作为Leslie模型的生成数据。
模型求解
不考虑“单独二胎”政策的影响，只考虑生育率、死亡率对人口的影响。
假定2010年后的生育率不变，根据2010年第六次人口普查数据，结合上述Leslie模型建模原理与分析，按童年、少年、青年、中年、老年五个阶段对2010-2050年的人口结构、人口总数、老龄化比例及性别比，依据Leslie模型进行预测，预测结果如图1-图4所示。
图12010-2050年的人口总量预测
图22010-2050年的人口结构
图360岁以上老年人口比例
图4性别比
从图1可以看出，我国人口总数在2010-2022年呈增长趋势，在2022年左右将达到最大值，亿人，2022年以后，将呈现急剧下降的趋势；从图2中可以看到我国人口在童年、少年、青年、中年、老年五个阶段分布状况，其中童年阶段，即0-6岁的人口较少，在2010-2020年间人口变化不明显，2020年之后基本呈现逐渐减少的趋势，少年阶段，即7-17岁的人口较童年阶段人口要多，在2010-2022年间数量没有明显变化，2022年之后也呈现逐渐减少的趋势，青年阶段，即18-40岁的人口自2010年之后呈现急剧减少的趋势，中年阶段，即41-65岁的人口开始呈现逐渐增多的趋势，在2030年达到最大值，之后急剧减少，老年人口，即66岁以上的人口呈现逐渐增多的趋势，在2040年人口达到最大值，之后稳定在最大值附近稍有减少，由于总人口在2022年以后呈现急剧下降的趋势，所以老年人口相当于在不断增多，从图3中可以明显看出，我国老龄人口比例不断攀升，老龄化现象不断加重，到2050年时老年人口比例已达到%，社会将面临严重的老龄化问题；从图4中可以明显看出，自2010年之后我国的人口性别比呈现逐渐下降的趋势，在2050年男女比例将会是：
100，男女数量基本持平。
5模型二的建立与求解
因为任何随机分布函数的积分值为1,所以需要对年龄别生育率的统计数据进行标准化处理,用累计（分胎次）年龄别生育率除以累计（分胎次）的总和生育率,使其和为1,这样得到的标准化的年龄别生育率不会改变其本身的分布特点。
反映到图示上就等同于以同一比例缩小或放大年龄别生育率曲线。
将妇女年龄别生育率的数学形式
变形为
。
式中
就是指标准化的年龄别生育率,这个统计数据是已知的。
用韦伯分布的数学形式表示生育模式为[4]：
（7）
式中，
为总和生育率,
为特定的生育模式，
为妇女年龄别生育率,x为生育年龄,
，
为初始生育年龄，取
=14，参数a和b决定了生育模式的形状。
由于2014年开始实行“单独二胎”政策，所以根据模型一预测出的2014年人口数据，利用模型二对生育率的预测，通过改变模型一中的生育率，可以得到实行“单独二胎”政策之后的人口总数、人口结构、老龄化及性别比的变化。
具体如图5-图8所示。
图5“单独二胎”政策后人口总量预测
图6“单独二胎”政策后人口结构
图7“单独二胎”政策后60岁以上老年人口比例
图8“单独二胎”政策后性别比
从图1可以看出，我国在2014年实施“单独二胎”政策后，人口总数在2014-2024年呈增长趋势，在2024年左右将达到最大值，亿人，2024年以后，将呈现急剧下降的趋势；从图2中可以看到我国人口年龄结构分布，其中童年阶段，即0-6岁的人口较少，在2014之后基本呈现逐渐减少的趋势，少年阶段，即7-17岁的人口较童年阶段人口要多，在2014-2027年间数量逐渐增多，2027年之后也呈现逐渐减少的趋势，2048年达最小值，之后又稍有增加，青年阶段，即18-40岁的人口自2014年之后呈现急剧减少的趋势，中年阶段，即41-65岁的人口开始呈现逐渐增多的趋势，在2030年达到最大值，之后急剧减少，老年人口，即66岁以上的人口呈现逐渐增多的趋势，在2040年人口达到最大值，之后稍有减少，由于总人口在2024年以后呈现急剧下降的趋势，所以老年人口相当于在不断增多，从图3中可以明显看出，我国老龄人口比例不断攀升，老龄化现象不断加重，到2050年时老年人口比例已达到%，社会将面临严重的老龄化问题；从图4中可以明显看出，自2014年之后我国的人口性别比呈现逐渐下降的趋势，在2050年男女比例将会是：
100，男女数量基本持平。
6“单独二胎”政策实施前后人口数量变化分析
为了更直观、清楚的对比分析“单独二胎”政策实施前后我国人口数量变化，根据模型一、模型二建立求解的结果，绘制未实施“单独二胎”政策与实施“单独二胎”政策对比图，具体如图9-图11所示。
图9总人口变化对比
图1060岁以上老年人口比例对比
图11性别比对比
从图9中可以看出，未实施“单独二胎”政策，我国人口将在2022年达到人口最大值亿人，实施“单独二胎”政策后我国人口将在2024年达到人口最大值亿人，之后我国人口呈现急剧减少的趋势，但是根据人口预测，实施“单独二胎”政策后我国人口一直比未实施“单独二胎”政策的人口多，并且我国人口日益呈现老龄化，根据图10可以明显的看出，我国老龄化人口数量急剧增多，老龄化现象不断加重，虽然实施“单独二胎”政策相对未实施“单独二胎”政策能够减少老龄化人口比例，但是也无法避免老龄人口增多的问题，从而使得劳动人口减少，若保持生育率政策不变，未来老龄化人口的增多越发导致劳动人口的持续减少，使得社会矛盾加剧，所以建议在开放“单独二胎”政策后不久，就实行“全面二胎”政策，用于缓解即将到来的老龄化社会，使得人口结构能够得到进一步改善。
根据图11可知，实施“单独二胎”政策会导致男女性别比下降的趋势减缓，这是因为单独二孩政策推出后，父母如果第一胎是女孩的话，第二胎要男孩的概率会比较大导致的。
就十八届三中全会提出的放开“单独二胎”政策，与会的多位专家认为，人口政策的适当调整将对我国长久的经济发展起到明显的促进作用。
不过我国人口还存在资深问题，出生人口性别比持续偏高，多年来一直维持在115以上，而正常水平应该在102~107左右，所以要一部分人改变重男轻女的观念也是一个值得考虑的问题[5]。
7“全面二胎”政策对人口总量和结构的影响
根据上述分析可知实施“单独二胎”政策虽然能够减少老龄化人口比例，但是也无法避免老龄化日益严重的问题，因此，国家对“全面二胎”政策也正在拟议中，假设2020年实施“全面二胎”政策，根据模型一和模型二的建立，利用模型二改变生育模式，能够实现对“全面二胎”政策实施后的人口总量和结构进行预测，具体如图12-图15所示。
图12“全面二胎”政策后人口总量预测
图13“全面二胎”政策后人口结构
图14“全面二胎”政策后60岁以上老年人口比例
图15“全面二胎”政策后性别比
从图12可以看出，当我国2020年开始实施“全面二胎”政策后，预计在2029年我国人口达到最大值亿人，同时根据图13可以看出，实施“全面二胎”政策后我国儿童阶段人口，即0-6岁人口在2033年以后逐渐增多，少年阶段人口，即7-17岁人口在2041年后开始逐渐增多，青年阶段人口，即18-40岁人口在2030年后开始平稳增多，虽然中年阶段人口，即41-65岁人口2030年后呈现减少趋势，但是从图14可知，老年阶段人口，即66岁以后人口在2040年以后呈现逐渐减少的趋势，并且在实施“全面二胎”政策后60岁以上老年人口比例相对有所减小，2050年以内均稳定在30%以内，人口老龄化问题有所缓和，同时从图15人口性别比也在102~105之间，属于正常水平，即在102~107左右。
8模型推广及建议
本文建立的模型不仅可以对预测进行较好的分析，而且对类似的评估预测等问题都能很好的解决。
对现行的人口分布、人口数量、人口结构的变化趋势提供了可参考的依据，对未来有了一个更好的把握。
这种用数学建模的方法来预测问题，即建立和求解所谓预测模型。
虽然建模时要做适当的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的最匹配，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费用。
如果在建模的基础上再辅之以适当的经验和试验，就可以得到针对于实际问题的一个比较圆满的答案。
在决策科学化、定量化的呼声日益高涨的今天，这无疑是符合时代潮流和形势发展需要的。
从本文建立的模型预测结果来看，未实施“单独二胎”政策，我国人口将在2022年达到人口最大值亿人，实施“单独二胎”政策后我国人口将在2024年达到人口最大值亿人，之后我国人口呈现急剧减少的趋势，但是根据人口预测，实施“单独二胎”政策后我国人口一直比未实施“单独二胎”政策的人口多，并且我国人口日益呈现老龄化，实施“单独二胎”政策前后，到2050年时老年人口比例已分别达到%和%，我国老龄化人口数量急剧增多，老龄化现象不断加重，虽然实施“单独二胎”政策相对未实施“单独二胎”政策能够减少老龄化人口比例，但是也无法避免老龄人口增多的问题，从而使得劳动人口减少；同时，实施“单独二胎”政策会导致男女性别比下降的趋势减缓，实施“单独二胎”政策前后，到2050年时性别比分别为：
100和：
100。
当我国2020年开始实施“全面二胎”政策后，预计在2029年我国人口达到最大值亿人，同时，实施“全面二胎”政策后我国60岁以上老年人口比例相对有所减小，2050年以内均稳定在30%以下，人口老龄化问题有所缓和，同时，人口性别比也在102~105之间，属于正常水平。
尽管关于我国人口的准确生育数量有不同的估计，但人口发展的趋势已经十分明显：
在人口迅速增长到峰值后，人口数量急剧减少，同时人口老龄化进程将不断加快，劳动人口数量迅速减少。
对于中国这样一个人口大国来说，稳定的低生育水平是全国人民努力数十年的成果，也是控制人口增长的目的所在。
同时这种人口态势对中国来说是史无前例的。
只有对长期低生育水平可能引起的人口、社会、经济后果有充分的认识，才能对随之而来的一系列挑战有所准备、及早制定应对措施、从容应对，开发利用其优势，并尽可能避免其消极作用。
人口老龄化是人类社会和人类自身发展的必然规律。
人口老龄化对今后的社会经济发展将会产生很大的影响。
对此必须给予高度的关注,要采取相应的措施和对策，妥善解决人口老龄化的问题。
例如，健全现有农村社会养老保险制度，加大对农村社会养老保险的扶持；实施区域人口老龄化对策，大力推动区域经济可持续发展；鼓励老年人再就业，尽量减轻社会负担和劳动年龄人口的负担；重点开发老龄市场，发展老龄产业。
鉴于以上问题，对生育政策进行适当的调整和完善，将更有利于人口和计划生育工作，同时也是从长期人口与发展的战略目标考虑、放宽生育政策的关键一步。
参考文献
[1]第六次人口普查数据.
张迎春，侯园园，韩晓庆.“单独”二胎政策条件下人口年龄结构预测研究[J].经济统计学（季刊）,2014（02）:
135-146.
[3]付艳茹.基于MATLAB的人口预测研究[D].华东师范大学,2010.
[4]张琼.基于韦伯与正态分布非线性估计的我国人口死亡年龄分布[J].保险研究,2010（08）:
3-9.
[5]薛福根，曾德冬.出生性别比失衡的影响因素分析——基于湖北省人口普查数据的实证研究[J].中南财经政法大学研究生学报,2009（06）:
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