高考数学中档题专练.docx
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高考数学中档题专练
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题型突破练——中档题专练
中档题专练
（一）
建议用时：
30分钟
1．[2015·皖北协作区联考
（二）]设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b（cosA－3cosC）＝（3c－a）cosB.
（1）求的值；
（2）若cosB＝，且△ABC的周长为14，求b的值．
解
（1）由正弦定理得，
（cosA－3cosC）sinB＝（3sinC－sinA）cosB，
化简可得sin（A＋B）＝3sin（B＋C）．又A＋B＋C＝π，
所以sinC＝3sinA，因此＝.
（2）由＝得c＝3a，由余弦定理及cosB＝得
b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋9a2－6a2×＝9a2.
所以b＝3a.又a＋b＋c＝14，从而a＝2，因此b＝6.
2．[2015·郑州质量预测
（一）]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC＝90°，AD＝2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．
（1）证明：
PA∥平面BMQ；
（2）已知PD＝DC＝AD＝2，求点P到平面BMQ的距离．
解
（1）证明：
连接AC交BQ于N，连接MN，因为∠ADC＝90°，BC＝AD，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．
又M为PC的中点，即PM＝MC，
则MN为△PAC的中位线，
故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，
所以PA∥平面BMQ.
（2）由
（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以VP－BMQ＝VA－BMQ＝VM－ABQ，
取CD的中点K，连接MK，所以MK∥PD，MK＝PD＝1，
又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD.
又BC＝AD＝1，PD＝CD＝2，所以AQ＝1，BQ＝2，MQ＝，NQ＝1，
所以VP－BMQ＝VA－BMQ＝VM－ABQ＝··AQ·BQ·MK＝.S△BMQ＝，
则点P到平面BMQ的距离d＝＝.
3．[2015·贵州七校联考
（一）]从某校高三年级学生中抽取40名学生，将他们高中学业水平考试的数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：
[40,50），[50,60），…，[90,100]后得到如图的频率分布直方图．
（1）若该校高三年级有640人，试估计这次学业水平考试的数学成绩不低于60分的人数及相应的平均分（平均分保留到百分位）；
（2）若从[40,50）与[90,100]这两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生成绩之差的绝对值不大于10的概率．
解
（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以10×（0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01）＝1，
解得a＝0.03.
根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×（0.005＋0.01）＝0.85.
由于高三年级共有学生640人，可估计该校高三年级数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.
可估计不低于60分的学生数学成绩的平均分为：
≈77.94.
（2）成绩在[40,50）分数段内的人数为40×0.05＝2，
成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，
若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有15种，
如果2名学生的数学成绩都在[40,50）分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50）分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.
则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法为7种，
所以所求概率P＝.
中档题专练
（二）
建议用时：
30分钟
1．若数列{xn}满足：
－＝d（d为常数，n∈N*），则称{xn}为调和数列．已知数列{an}为调和数列，且a1＝1，＋＋＋＋＝15.
（1）求数列{an}的通项an；
（2）数列的前n项和为Sn，是否存在正整数n，使得Sn≥2015？
若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说明理由．
解
（1）依题意为等差数列，由＋＋＋＋＝15得＝15，即＝3，∴公差d＝＝1，故＝n即an＝.
（2）Sn＝1×21＋2×22＋…＋n×2n①
2Sn＝1×22＋…＋（n－1）2n＋n×2n＋1②
②－①得Sn＝n×2n＋1－（2＋22＋…＋2n）＝（n－1）2n＋1＋2.
由于Sn是递增的，当n＝7时S7＝6×28＋2<2015；
当n＝8时S8＝7×29＋2>211>2015.
所以存在正整数n，使得Sn≥2015，n的取值集合为{n|n≥8，n∈N*}
2．[2015·石家庄一模]某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元．
（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：
元）关于当天需求量n（单位：
件，n∈N）的函数解析式；
（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：
件），整理得下表：
日需求量
8
9
10
11
12
频数
9
11
15
10
5
若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400,550]内的概率．
解
（1）当日需求量n≥10时，
利润为y＝50×10＋（n－10）×30＝30n＋200；
当日需求量n＜10时，利润为y＝50×n－（10－n）×10＝60n－100.
所以y关于日需求量n的函数关系式为
y＝.
（2）50天内有9天获得的利润为380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得的利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元．
若利润在区间[400,550]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为11、15、10.
则利润在区间[400,550]内的概率为：
P＝＝＝.
3．[2015·唐山一模]如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2.
（1）求证：
AB1⊥CC1；
（2）若AB1＝，求四棱锥A－BB1C1C的体积．
解
（1）证明：
连接AC1，CB1，则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．
取CC1的中点O，连接OA，OB1，
则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，
则CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1.
（2）由
（1）知，OA＝OB1＝，又AB1＝，
所以OA⊥OB1.又OA⊥CC1，OB1∩CC1＝O，
所以OA⊥平面BB1C1C.
S▱BB1C1C＝BC×BB1sin60°＝2，
故VA－BB1C1C＝S▱BB1C1C×OA＝2.
中档题专练（三）
建议用时：
30分钟
1．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanA＝.
（1）求角A的大小；
（2）当a＝时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状．
解
（1）由已知及余弦定理，得＝，sinA＝，
因为A为锐角，所以A＝60°.
（2）解法一：
由正弦定理，得＝＝＝＝2，
所以b＝2sinB，c＝2sinC＝2sin（120°－B）．
c2＋b2＝4[sin2B＋sin2（120°－B）]
＝4
＝4
＝4－cos2B＋sin2B
＝4＋2sin（2B－30°）．
由得30°当sin（2B－30°）＝1，即B＝60°时，（c2＋b2）max＝6，
此时C＝60°，△ABC为等边三角形．
解法二：
由余弦定理得（）2＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝3.
而bc≤（当且仅当b＝c时取等号），
则3≥，即b2＋c2≤6（当且仅当b＝c时取等号）．
故c2＋b2的最大值为6，此时△ABC为等边三角形．
2．[2015·河北名校联盟质监
（二）]随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：
cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．
（1）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；
（2）现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．
解
（1）甲班同学身高的平均数＝
＝170.
解得a＝179，所以污损处是9.
（2）设“身高176cm的同学被抽中”的事件为A，
从乙班10名同学中抽取2名身高不低于173cm的同学有：
{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}，
共10个基本事件，
而事件A含有4个基本事件，
所以P（A）＝＝.
3.
[2015·贵州七校联考
（一）]如图，几何体EF－ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，∠ADF＝90°.
（1）求证：
AC⊥FB；
（2）求几何体EF－ABCD的体积．
解
（1）证明：
由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF＝D，
∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC.
∵四边形CDEF为正方形，∴DC⊥FC，
∵DC∩AD＝D，∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC.
又∵四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，
∴AC＝2，BC＝2，则有AC2＋BC2＝AB2，
∴AC⊥BC，
又BC∩FC＝C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB.
（2）连接EC，过B作CD的垂线，垂足为N，
易知BN⊥平面CDEF，且BN＝2.
∵VEF－ABCD＝VE－ABCD＋VB－ECF＝S梯形ABCD·DE＋S△EFC·BN＝，
∴几何体EF－ABCD的体积为.
中档题专练（四）
建议用时：
30分钟
1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
解
（1）由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.
可得a－a＋2（an＋1－an）＝4an＋1，即
2（an＋1＋an）＝a－a＝（an＋1＋an）（an＋1－an）．
由于an>0，可得an＋1－an＝2.
又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1（舍去），a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.
（2）由an＝2n＋1可知
bn＝＝＝.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝.
2．[2015·洛阳统考]有2000名网购者在11月11日当天于某购物网站进行网购消费（消费金额不超过1000元），其中有女士1100名，男士900名．该购物网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分析，如下表．（消费金额单位：
元）
女士消费情况：
消费金额
（0,200）
[200,400）
[400,600）
[600,800）
[800,1000]
人数
10
25
35
30
x
男士消费情况：
消费金额
（0,200）
[200,400）
[400,600）
[600,800）
[800,1000]
人数
15
30
25
y
5
（1）计算x，y的值，在抽出的200名且消费金额在[800,1000]（单位：
元）的网购者中随机选出2名发放网购红包，求选出的2名网购者都是男士的概率；
（2）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？
”
女士
男士
总计
网购达人
非网购达人
总计
附：
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
K2＝，n＝a＋b＋c＋d
解
（1）依题意，女士应抽取110名，男士应抽取90名，
故x＝10，y＝15.
消费金额在[800,1000]（单位：
元）的网购者共有15名，从中选出2名共有105种选法，若2名网购者都是男士，共有10种选法，所以选出的2名网购者都是男士的概率为＝.
（2）列联表如下：
女士
男士
总计
网购达人
40
20
60
非网购达人
70
70
140
总计
110
90
200
K2＝≈4.714.
又因为4.714＞3.841，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关”．
3．[2015·河北名校联盟质监
（一）]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝1，E、F分别为PD、AC上的动点，且＝＝λ（0＜λ＜1）．
（1）若λ＝，求证：
EF∥平面PAB；
（2）求三棱锥E－FCD体积的最大值．
解
（1）证明：
分别取PA和AB的中点M、N，连接MN、ME、NF、DF，则NF綊AD，ME綊AD，所以NF綊ME，所以四边形MEFN为平行四边形，所以EF∥MN，又EF⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB.
（2）在平面PAD内作EH⊥AD于H，
因为侧棱PA⊥底面ABCD，
所以平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，
所以EH⊥平面ADC，所以EH∥PA.
（或平面PAD中，PA⊥AD，EH⊥AD，所以EH∥PA亦可）
因为＝λ（0＜λ＜1），所以＝λ，EH＝λ·PA＝λ.
＝＝1－λ，S△FCD＝（1－λ）S△ADC＝，
VE－FCD＝·λ·＝（0＜λ＜1），
所以VE－FCD的最大值为.
中档题专练（五）
建议用时：
30分钟
1．已知△ABC的角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足tanA·tanB－tanA－tanB＝，
（1）求∠C大小；
（2）若c＝2，且△ABC为锐角三角形，求a＋b取值范围．
解
（1）tanA·tanB－tanA－tanB＝，
则tanA＋tanB＝（tanA·tanB－1），
∴tan（A＋B）＝－，∴tanC＝，∴C＝.
（2）∵＝＝＝，
∴a＋b＝（sinA＋sinB）＝＝＝4sin，
∵△ABC为锐角三角形，
∴∴∴2<4sin≤4，
∴a＋b的取值范围是（2，4]．
2．[2015·课标全国卷Ⅰ]如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
（1）证明：
平面AEC⊥平面BED；
（2）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．
解
（1）证明：
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.
（2）设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.
因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.
由已知得，三棱锥E－ACD的体积VE－ACD＝×AC·GD·BE＝x3＝.
故x＝2.
从而可得AE＝EC＝ED＝.
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2.
3．[2015·洛阳统考]如图所示茎叶图记录了甲、乙两个学习小组各四名同学在某次考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中用m（m∈N）表示.
（1）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（2）当m＝3时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率．
解
（1）当甲、乙两个小组的数学平均成绩相等时，
（87＋89＋91＋93）＝[85＋90＋91＋（90＋m）]，解得m＝4，
设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，
m的取值有：
0,1,2，…，9共10种可能．当m＝4时，甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
∴当a＝5,6,7,8,9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有5种可能．
∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P（A）＝＝.
（2）设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分”为事件B，
当m＝3时，分别从甲、乙两组同学的成绩中各随机选取一名同学的成绩，所有可能结果有16种，分别是：
（87,85），（87,90），（87,91），（87,93），（89,85），（89,90），（89,91），（89,93），（91,85），（91,90），（91,91），（91,93），（93,85），（93,90），（93,91），（93,93）．
事件B的结果有8种，它们是：
（87,90），（87,91），（87,93），（89,85），（89,93），（91,85），（93,85），（93,90）．
∴两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率P（B）＝＝.
中档题专练（六）
建议用时：
30分钟
1．[2015·天津高考]已知数列{an}满足an＋2＝qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列．
（1）求q的值和{an}的通项公式；
（2）设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．
解
（1）由已知，有（a3＋a4）－（a2＋a3）＝（a4＋a5）－（a3＋a4），即a4－a2＝a5－a3，所以a2（q－1）＝a3（q－1）．
又因为q≠1，故a3＝a2＝2，由a3＝a1·q，得q＝2.
当n＝2k－1（k∈N*）时，an＝a2k－1＝2k－1＝2；
当n＝2k（k∈N*）时，an＝a2k＝2k＝2.
所以，{an}的通项公式为an＝
（2）由
（1）得bn＝＝.设{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋（n－1）×＋n×，Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋（n－1）×＋n×，
上述两式相减，得
Sn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－－，
整理得，Sn＝4－.
所以数列{bn}的前n项和为4－，n∈N*.
2．[2015·唐山一模]为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：
天数t（天）
3
4
5
6
7
繁殖个数y（千个）
2.5
3
4
4.5
6
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用
（1）中的回归方程，预测t＝8时，细菌繁殖个数．
附：
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
＝，＝－.
解
（1）由表中数据计算得，＝5，＝4，（ti－）（yi－）＝8.5，（ti－）2＝10，
＝＝0.85，＝－＝－0.25.
所以回归方程为＝0.85t－0.25.
（2）将t＝8代入
（1）的回归方程中得＝0.85×8－0.25＝6.55.
故预测t＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个．
3．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2a，点P在AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AC交BC于点F.沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC，如图2.
（1）求证：
B′C∥平面A′PE；
（2）若AP＝PB，求三棱锥A′－B′CP的体积．
解
（1）证明：
因为FC∥PE，FC⊄平面A′PE，PE⊂平面A′PE，所以FC∥平面A′PE.
因为平面A′PE⊥平面ABC，且A′E⊥PE，平面A′PE∩平面ABC＝PE，
所以A′E⊥平面ABC.
同理B′F⊥平面ABC，
所以B′F∥A′E，从而B′F∥平面A′PE.
又FC∩B′F＝F，所以平面B′CF∥平面A′PE，
又B′C⊂平面B′CF，从而B′C∥平面A′PE.
（2）因为AP＝PB，则E，F分别为AC，BC的中点，
又∠C＝90°，AC＝BC＝2a，所以四边形CFPE是边长为a的正方形．
连接EF交CP于O，连接A′O，B′O，则CP⊥EF，且OC＝OP＝a.
由
（1）知A′E⊥平面ABC，又CP⊂平面ABC，则CP⊥A′E，又A′E∩EF＝E，所以CP⊥平面A′OB′，于是V三棱锥A′－B′CP＝V三棱锥P－A′OB′＋V三棱锥C－A′OB′＝S△A′OB′×（OC＋OP）＝××CP＝×a×a×a＝a3，即三棱锥A′－B′CP的体积为a3.
中档题专练（七）
建议用时：
30分钟
1．如图，平面直角坐标系xOy中，∠ABC＝，∠ADC＝，AC＝，△BCD的面积为.
（1）求AB的长；
（2）若函数f（x）＝Msin（ωx＋φ）的图象经过A，B，C三点，其中A，B为f（x）的图象与x轴相邻的两个交点，求函数f（x）的解析式．
解
（1）∵∠ABC＝，∠ADC＝，∴∠BCD＝，∠CBD＝，BC＝BD，
又∵△BCD的面积为，∴S△BCD＝BD·BC·sin＝BC2＝，
∴BC＝2.
在△ABC中，AC＝，∠ABC＝，
由余弦定理得：
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos，
即7＝AB2＋4－2×2×AB，整理得AB2－2AB－3＝0，
∴AB＝3，或AB＝－1（舍去），∴AB的长为3.
（2）由
（1）知，A（2,0），B（－1,0），C（0，），
∵函数f（x）＝Msin（ωx＋φ）的图象经过A，B，C三点，其中A，B为f（x）的图象与x轴相邻的两个交点，
∴函数f（x）的半个周期＝3，对称轴为x＝，
∴T＝6＝，∵ω>0，∴ω＝，
∴×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵|φ|<，∴φ＝，∴f（x）＝Msin，
又∵f（0）＝Msin＝M＝，∴M＝2，
∴f（x）＝2sin.
2．[2015·兰州双基过关]一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
（1）求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解
（1）由题意，（a，b，c）所有可能的结果为：
（1,1,1），（1,1,2），（1,1,3），（1,2,1），（1,2,2），（1,2,3），（1,3,1），（1,3,2），（1,3,3），（2,1,1），（2,1,2），（2,1,3），（2,2,1），（2,2,2），（2,2,3），（2,3,1），（2,3,2），（2,3,3），（3,1,1），（3,1,2），（3,1,3），（3,2,1），（3,2,2），（3,2,3），（3,3,1），（3,3,2），（3,3,
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