弧长都是l0。
曲线最后一个整桩Pn与曲线终点(YZ)间的弧长为ln+1。
设l1所对圆心角为φ,l0所对圆心角为φ0,ln+1所对圆心角为φn+1,φ1、φ0、φn+1按下列各式计算(单位为度):
(2-6)
(2-7)
(2-8)
图2-2偏角法测设圆曲线细部点
所有φ角之和应等于路线的偏角,可以作为计算的检核:
(2-9)
根据弦切角为同弧所对圆心角一半的定理,可以用下列公式计算曲线起点至Pi点的偏角为:
(2-10)
曲线起点至
点的弦长为
(2-11)
圆曲线上相邻细部的弦长c与弧长l的长度差δ,即弦弧差,可用下式计算:
(2-12)
由于道路圆曲线半径较大,相邻细部点弧较小,因此,l/2R为一个微小的比值,由正弦函数的级数展开式:
取前两项,得弦弧差实用计算公式
(2-13)
2缓和曲线测设
车辆由直线驶入圆曲线或由圆曲线驶入直线时,其运行状态发生改变,为保证车辆平顺而安全地运行,通常在直线与圆曲线之间加一段过渡曲线,称为缓和曲线。
我国《公路工程技术标准》中规定:
当平曲线半径小于不设超高的最小半径时,应设缓和曲线。
四等公路可不设缓和曲线,缓和曲线一般采用螺旋线,其长度应根据相应等级的行车速度求算,并应大于表2-2中的规定
表2-2缓和曲线长度设置
公路等级
高速公路
一
二
三
四
地形
平原
微丘
山岭
重丘
平原
微丘
山岭
重丘
平原
微丘
山岭
重丘
平原
微丘
山岭
重丘
平原
微丘
山岭
重丘
缓和曲线长度/m
100
70
85
50
70
35
50
25
35
20
2.1缓和曲线基本公式及要素的计算
2.1.1基本公式
如图2-3所示,螺旋线是曲率半径随曲线长度的增大而成反比的均匀减小的曲线,即在螺旋线上任一点的曲率半径ρ与曲线的长度l成反比,可用下式表示为
(2-14)
式中:
c——常数,表示为缓和曲线变化率。
缓和曲线的终点至起点的曲线长度ls即为缓和曲线全长l时,缓和曲线的曲率半径等于圆曲线半径R,故
(2-15)
图2-3缓和曲线的特性
2.1.2切线角(也称缓和曲线角)计算公式
缓和曲线上任一点P处的切线与过起点切线的交角β称为切线角,切线角与缓和曲线任一点的弧长所对的中心角相等,在P处取一微分段dl所对应的中心角为dβ,则
积分得
(2-16)
当l=ls时,则缓和曲线全长所对应中心角即切线角β0,有
以角度表示则为
(2-17)
2.1.3参数方程
如图2-3所示,设ZH点为坐标原点,过ZH点的切线为x轴,半径为y轴,任一点P的坐标为(x,y),则微分弧段dl在坐标轴上的投影为
(2-18)
将式(13-28)中的cosβ、sinβ按级数展开,并将式(2-16)代入,积分,略去高次项得
(2-19)
式(13-29)称为缓和曲线参数方程。
当l=ls时,得到缓和曲线终点坐标
(2-20)
2.2带有缓和曲线的圆曲线的主点测设
2.2.1内移值p与切线增值q计算
如图2-4所示,当圆曲线加设缓和曲线后,为使缓和曲线起点位于切线上,必须将圆曲线向内移动一段距离p,这时曲线发生变化,使切线增长距离q,圆曲线弧长变短为CMD,由图知
(2-21)
将cosβ0、sinβ0按级数展开,略去高次项,并将β0、x0、y0值代入,得
(2-22)
图2-4带有缓和曲线的圆曲线
2.2.2缓和曲线主点元素的计算
在圆曲线上增设缓和曲线后,要将圆曲线和缓和曲线作为一个整体考虑,如图2-4所示,其测设元素可按下列公式计算
切线长
(2-23)
曲线长
(2-24)
外矢距
(2-25)
切曲差
(2-26)
当α已知,R、ls选定后,即可根据以上公式计算曲线元素。
(3)主点里程计算与测设
根据已知交点、里程和曲线的元素值,即可按下列程序计算各主点里程:
直缓点
(2-27)
缓圆点
(2-28)
曲中点
(2-29)
圆缓点
(2-30)
缓直点
(2-31)
交点
(校核)(2-32)
主点ZH、HZ、QZ的测设方法与圆曲线主点测设方法相同,HY、YH点是根据缓和曲线终点坐标(x0,y0)用切线支距法或全站仪法测设。
2.3缓和曲线的细部测设
2.3.1切线支距法
切线支距法是以ZH点或HZ点为坐标原点,以过原点的切线为x轴、过原点的半径为y轴,利用缓和曲线段和圆曲线段上的各点坐标(x,y)测设曲线。
如图2-5所示,缓和曲线上各点坐标可按下式计算:
(2-33)
而圆曲线上各点坐标的计算,因坐标原点是缓和曲线的起点,故应先求出以圆曲线起点为原点的坐标(x′,y′),再分别加上p、q值,即可得到以ZH点为原点的圆曲线上任一点的坐标如下:
(2-34)
式中:
φ—该点至HY或YH的曲线长l(仅为圆曲线部分长度)所对应的圆心角。
图2-5缓和曲线的切线支距法测设图2-6缓和曲线的偏角法测设
缓和曲线和圆曲线上各点的坐标值,均可在曲线测设用表中查取。
曲线上各点的测设:
方法与圆曲线切线支距法相同。
2.3.2偏角法
偏角可分为缓和曲线上的偏角与圆曲线上的偏角两部分进行计算,如图2-6所示,若从缓和曲线ZH或HZ点开始测设,并按弧长l等分缓和曲线(一般l为10m或20m),则曲线上任一分点i与ZH的连线相对于切线的偏角δi计算如下,因δi较小,则
(2-35)
将曲线方程中x、y代人上式得(取第一项)
(2-36)
HY或YH点的偏角δ0为缓和曲线的总偏角。
将l=ls代入式(2-36)得
因为
,则
(2-37)
将式(2-35)与式(2-37)相比得
(2-38)
由式(2-38)可知,缓和曲线上任一点的偏角,与该点至缓和曲线起点的曲线长的平方成正比。
由图2-6可知
(2-39)
测设圆曲线部分时,如图2-6所示,将经纬仪置于HY点,后视ZH点且使水平度盘读数为b0(当路线为右转时,改用360°-b0),然后逆时针转动仪器,当读数为0°00′00″时,视线方向即为HY点切线方向,倒镜后即可按偏角法测设圆曲线。
3圆曲线要素计算及测设
根据提供资料,
=40º20′(右),R=100米,转角点JD的桩号为K3+135.12,用偏角法测设各桩点(规定桩距为20米)。
切线长:
曲线长:
外矢距:
切曲差:
经计算,T=36.73
L=70.40
E=6.53
根据JD的桩号为K3+135.12,则:
JD桩号 K3+135.12
-)T 36.73
ZY桩号 K3+098.39
+)L 70.40
YZ桩号 K3+098.39
-)L/2 35.20
QZ桩号 K3+133.59
+)D/2 1.53
JD桩号 K3+135.12
所以,经计算交点的里程与校核计算相符。
3.1仪器安置在ZY点上的施测法
1)计算
根据转折角
和半径R及交点桩计算三主点的桩号为:
ZY:
K3+098.39;QZ:
K3+133.59;YZ:
K3+168.79。
因ZY点的里程为3+098.39,在曲线上,它前面最近的整里程为3+100.00,所以起始弧长
=(3+100)-(3+098.39)=1.61(m)。
又因点YZ点的里程为3+168.79,在曲线上,它后面最近的里程为3+160.00,弧长
=(3+168.79)-(3+160.00)=8.79(m)。
现将计算的偏角值到列表如表4-1,供测设时使用。
为检查计算有无错误,可与总偏角核对。
本次研究课题中的总偏
点 号
里 程
相邻桩点
间的弧长
偏 角
单 角
累计值
ZY
K3+098.39
1.61
00º27′40″
00º27′40″
+100.00
20.00
05º43′46″
06º11′26″
+120.00
13.59
03º53′36″
10º05′02″
QZ
K3+133.59
6.41
01º50′11″
11º55′26″
+140.00
20.00
05º43′46″
17º38′59″
+160.00
8.79
02º31′05″
20º10′04″
YZ
K3+168.79
表 4-1
角为
=20º10′00″,与计算之总偏角20º10′05″相差05″,这是因为偏角表计算至秒为止,秒后数值四舍五入所造成的误差,与测量精度无影响,属容许误差。
2)施测方法:
如图4-1所示,将仪器安置在ZY点上,全站仪显示对准0º0′0″,后视JD,然后旋转望远镜,拨至第一桩点K3+100.00的偏角0º27′40″,从ZY点起沿此方向量出第一段曲线长1.61米相应的弦长,定出第一桩点。
再拨至第二桩点K3+120.00的偏角6º11′26″,从第一桩点量出第二段曲线长20米相应的弦长,交出第二桩点。
依此法逐一测设曲线间所有各桩点。
图4-1
核对方法:
用偏角法测至YZ点,如与预先测得YZ点位置相同,
则说明施测之曲线正确。
3.2全站仪安置在QZ点上施测法
此法以QZ点为计算起点,算出各桩点偏角。
1)、计算
现将计算的偏角值到列表如表4-3,供测设时使用。
点 号
里 程
相邻桩点间的弦长
偏 角
单 角
累计值
QZ
K3+133.59
(向左)
13.59
03º53′36″
356º06′24″
+120
20.00
5º43′46″
350º22′38″
+100
1.61
0º27′40″
349º54′58″
ZY
K3+098.39
QZ
K3+133.59
(向右)
6.41
01º50′11″
01º50′11″
+140
20.00
5º43′46″
07º33′57″
+160
8.79
2º40′06″
10º05′03″
ZY
K3+168.79
表4-3
检查方法按
核对时,此时
=10º05′00″,ZY偏角为360º00′00″-349º54′58″=10º05′02″,YZ偏角为10º05′03″,属容许误差。
2)、施测方法
如图4-2,将仪器安置在QZ点上,全站仪显示对准270º00′00″后视JD,然后旋转望远镜,拨角度0º00′00″,此方向即为QZ点之切线方向,然后根据计算之各桩点偏角值与各桩点间曲线长度,自QZ点起分别向ZY和YZ两个方向同前述方法依次测设曲线间各桩点。
核对方法:
用偏角法测至ZY、YZ点,如与预先测得ZY、YZ点位置相符,则说明正确。
图4-2
主要参考文献
[1].张正禄编,《工程测量学》,武汉大学出版社,2005年;
[2].胡振琪编,《应用工程测量学》,煤炭工业出版社,2008年;
[3].张华海等编,《应用大地测量学》,中国矿业大学出版社,2011年。
[4].杨刚编,《工程测量学实践教程》,中国矿业大学银川学院,2014年。