八年级上册数学学案1.docx
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八年级上册数学学案1
八年级上册数学学案
【人教版】
2012年07月
第十一章全等三角形
11.1全等三角形
一、自主探究
问题1：
在一张纸板上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，怎样才能剪下另一个与之完全相同的多边形？
提示：
剪的时候注意各边相等、各角相等。
小结1：
Ø全等形形状、大小相同，能够完全重合，用“≌”表示.
Ø全等形各条边都相等，各个角都相等；
二、合作交流
问题2：
在一张纸板上剪下两个全等的三角形，标上△ABC和△DEF,将△ABC做如下运动：
平移、翻折、旋转，观察其运动前后△ABC和△DEF还会重合吗？
还全等吗？
小结2：
Ø任意放置时，并不一定完全重合，只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合.
Ø△ABC和△DEF全等，说明三条边对应相等，三个内角对应相等，但要注意对应顶点写在相对应的位置，记作△ABC≌.
三、拓展延伸
问题3：
全等形的对应边相等，对应角相等，那全等三角形呢？
小结3：
1.全等三角形对应边相等；
2.全等三角形对应线段（边，中线，高，角平分线）相等；
3.全等三角形对应角相等；
4.全等三角形周长、面积相等.
四、典例精讲
如图1所示，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=20cm，BC=8cm，你能求出线段AB的长吗？
（AB=6）
五、巩固训练
1.在下图中，两个三角形分别对应全等，试找出对应顶点，并用符号语言表示全等的三角形。
对应顶点：
.
符号语言：
在图11.1-1中，△ABC≌；在图11.1-2中，≌.
2.如图2所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数.（∠AEC=30°，∠EAC=65°，∠ECA=85°）
六、阅读思考
由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律：
（1）有公共边的，公共边一定是对应边；
（2）有公共角的，公共角一定是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）.
11.2.1三角形全等的判定（SSS）
一、自主探究
问题：
对于图中给定的△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA.把画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们能完全重合吗？
说明了什么？
拿出直尺和圆规按上面的要求作图，并验证.
画一个△A′B′C′，使A′B′=AB′，A′C′=AC，B′C′=BC：
1.画线段取B′C′=BC；
2.分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A′；
3.连接线段A′B′、A′C′.
4.把画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上.
小结：
三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）.
二、典例精讲
【例1】如课本图11.2─3所示，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD.
证明：
∵D是BC的中点，
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
三、合作交流
1.已知如图，AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在直线上，AD=FB（如图所示），你能用“边边边”证明△ABC≌△FDE吗？
四、巩固训练
1.如图所示，AB=DF，AC=DE，BE=CF，证明△ABC≌△DFE.
2.如图，△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的中线，求证：
∠BAD=∠CAD，AD⊥BC.
注：
等腰三角形三线合一.
五、阅读思考
“边边边”判定法与三角形稳定性有什么关系吗？
答：
有关系，只要一个三角形三边长度确定了，则这个三角形的形状大小就完全确定了，这就是三角形的稳定性。
11.2.2三角形全等判定（SAS）
一、自主探究
1.尺规作图：
作一个角等于已知角∠AOB.
已知：
∠AOB.
求作：
∠A1O1B1，使∠A1O1B1=∠AOB.
作法：
（1）作射线O1A1；
（2）以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O1为圆心，以OC长为半径画弧，交O1A1于点C1；（4）以点C1为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D1；（5）过点D1作射线O1B1，∠A1O1B1就是所求的角.
2.连接CD、C1D1，回忆作图过程，你认为△COD和△C1O1D1全等吗？
据此你能得到什么规律？
小结：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）.
二、典例精讲
如课本图11.2-6所示有一池塘，要测池塘两侧A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？
证明：
在△ABC和△DEC中
∴△ABC≌△DEC（SAS）
∴AB=DE
三、合作探究
我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗？
为什么？
四、巩固训练
1.如图，AB=AC，BE=CD，求证：
△ABE≌△ACD.
2.如图，AC=A'C'，AB=A'B'，AC//A'C'，求证：
△ABC≌△A'B'C'.
3.如图，△ABC是等腰三角形，AD是△ABC的角平分线，求证：
BD=CD，AD⊥BC.
注：
等腰三角形三线合一.
五、阅读思考
1.证明两个三角形全等的思路是：
首先分析条件，观察已经具备了什么条件；然后以已具备的条件为基础根据全等三角形的判定方法，来确定还需要证明哪些边或角对应相等，再设法证明这些边和角相等.
2.挖掘图形特征，寻找隐含条件（公共边相等，公共角相等，对顶角相等，两直线平行内错角、同位角相等）．
11.2.3三角形全等判定（ASA、AAS）
一、课程导入
小菁做了一个如图1所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD.
问题1：
小明不用测量就能知道EH=FH吗？
与同伴交流.
（1）
答案：
能，因为根据“SAS”，可以得到△EDH≌△FDH，从而EH=FH
问题2：
如果∠EDH=∠FDH，∠EHD=∠FHD，能得到EH=FH吗？
二、自主探究
先任意画一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即使两角和它们的夹边对应相等），把画出的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
尺规作图：
已知：
△ABC
求作:
△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B：
作法：
（1）画A′B′=AB；
（2）作∠DA′B′=∠A；
（3）在A′B′的同一旁作∠EBA′=∠B，A′D与B′E交于点C′。
小结1：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）.
追问：
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF（课本图11.2─9），△ABC与△DEF全等吗？
小结2：
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简与成AAS）.
三、典例精讲
如课本图11.2─10，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：
AD=AE.
证明：
在△ACD与△ABE中，
∴△ACD≌△ABE（ASA）
∴AD=AE
四、巩固训练
1.如图，AC=A'C'，BC=B'C'，AC//A'C'，求证：
△ABC≌△A'B'C'.
2.如图，BD⊥AB于B，CD⊥AC于C，AD平分∠BAC，求证：
BD=CD.
如图，BO=CO，∠B=∠C，求证：
BD=CE.
AD=AE.
五、阅读思考
三角对应相等的两个三角形全等吗？
三角对应相等的两个三角形不一定会全等，拿出三角板进行说明，如图3，下面这块三角形的内外边形成的△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，但是它们不全等.（形状相同，大小不等）.
11.2.4三角形全等的判定（综合探究）
一、分层练习
1.已知△ABC≌△A′B′C′，且∠A=48°，∠B=33°，A′B′=5cm，求∠C′的度数与AB的长.
解：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
∴∠C=180°-（∠A+∠B）=99°
∵△ABC≌△A′B′C′，∠C=∠C′，
∴∠C′=99°，
∴AB=A′B′=5cm.
2.已知：
如图1，在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于点O，连接AO，∠1=∠2.
求证：
∠B=∠C.
证明：
在△AEO与△ADO中，
AE=AD，∠2=∠1，AO=AO，
∴△AEO≌△ADO（SAS），∴∠AEO=∠ADO.
又∵∠AEO=∠EOB+∠B，∠AOD=∠DOC+∠C.
又∵∠EOB=∠DOC（对应角），∴∠B=∠C.
3.如图2，已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE.求证：
AD=AE.
证明：
∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中，
∵BD=CE，∠ABD=∠ACE，∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AD=AE.
二、随堂练习，继续巩固
1.如图3，点E在AB上，AC=AD，∠CAB=∠DAB，△ACE与△ADE全等吗？
△ACB与△ADB呢？
请说明理由.
[答案：
△ACE≌△ADE，△ACB≌△ADB，根据“SAS”.]
2.如图4，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线，你能说明其中道理吗？
小明的思考过程如下：
→△ABC≌△ADC→∠QRE=∠PRE
你能说出每一步的理由吗？
3.如图5，斜拉桥的拉杆AB，BC的两端分别是A，C，它们到O的距离相等，将条件标注在图中，你能说明两条拉杆的长度相等吗？
答案：
相等，因为△ABO≌△CBO（SAS），从而AB=CB.
11.2.5直角三角形全等判定（HL）
一、复习巩固
图1是两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形才能全等？
二、自主探究
做一做如课本图11.2─11：
任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
尺规作图：
已知：
Rt△ABC
求作：
Rt△A′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB;
（1）画∠MC′N=90°。
（2）在射线C′M上取B′C′BC。
（3）以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′。
（4）连接A′B′。
小结：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
三、典例精讲
如课本图11.2─12，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD.
证明：
∵AC⊥BC，BD⊥BD，
∴∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）.
∴BC=AD.
四、合作交流
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么关系？
下面是三个同学的思考过程，你能明白他们的意思吗？
（如图4所示）
→△ABC≌△DEF→∠ABC→∠DEF→∠ABC+∠DEF=90°.
有一条直角边和斜边对应相等，所以△ABC与△DEF全等.这样∠ABC=∠DEF，也就是∠ABC+∠DEF=90°.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，因此这两个三角形是全等的，这样∠ABC=∠DEF，所以∠ABC与∠DEF是互余的.
五、巩固训练
1.如图，△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的垂线，求证：
BD=CD，∠BAD=∠CAD.
注：
等腰三角形三线合一.
11.3角的平分线的性质
（1）
一、复习巩固
如课本图11.3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？
尺规作图：
已知：
∠AOB.
求法：
∠AOB的平分线.
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N.
（2）分别以M、N为圆心，大于
MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C.（3）作射线OC，射线OC即为所求（课本图11.3─2）.
二、合作交流
如课本图11.3─3，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
已知：
OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E（课本图11.3─4）
求证：
PD=PE.
证明：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中，
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE
三、典例精讲
如课本图11.3─6，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：
点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：
过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F.
∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上.
∴PD=PE
同理PE=PF
∴PD=PE=PF
即点P到边AB、BC、CA的距离相等.
四、巩固训练
如课本图11.3─5，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：
20000）？
证明如下：
已知：
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：
点P在∠AOB的平分线上.
证明：
经过点P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的平分线.
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