余弦定理证明过程精选多篇.docx
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余弦定理证明过程精选多篇
余弦定理证明过程（精选多篇）
第一篇：
余弦定理证明过程第二篇：
余弦定理证明过程第三篇：
余弦定理证明第四篇：
余弦定理的证明方法第五篇：
余弦定理的多种证明更多相关范文
在△abc中，设bc＝a，ac＝b，ab＝c，试根据b，c，a来表示a。
分析：
由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rt△bdc中，边a可利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用边角关系表示，db可利用ab－ad转化为ad，进而在rt△aｄc内求解。
解：
过c作cd⊥ab，垂足为d，则在rt△cｄb中，根据勾股定理可得：
a2＝cｄ2＋bｄ2
∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2
又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2
∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2
－2c·aｄ又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosa∴a2＝b2＋c2－2bosa类似地可以证明b2＝a2＋c2－2aosb，c2＝a2＋b2－2abcosc
余弦定理证明过程
ma=√（c^2+（a/2）^2-ac*cosb）
=（1/2）√（4c^2+a^2-4ac*cosb）
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=（1/2）√
=（1/2）√（2b^2+2c^2-a^2）
证毕。
2
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->
bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知：
ac?
=ad?
+dc?
b?
=（sinb*c）?
+（a-cosb*c）?
b?
=sin?
b*c?
+a?
+cos?
b*c?
-2ac*cosb
b?
=（sin?
b+cos?
b）*c?
-2ac*cosb+a?
b?
=c?
+a?
-2ac*cosb
所以，cosb=（c?
+a?
-b?
）/2ac
2
如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是（b，0），由三角函数的定义得b点坐标是（osa，csina）.∴cb=（osa-b，csina）.现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是（acos（π-c），asin（π-c））即d点坐标是（-acosc，asinc）,∴ad=（-acosc，asinc）而ad=cb∴（-acosc，asinc）=（osa-b，csina）∴asinc=csina…………①-acosc=osa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-osa，平方得：
a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bosa.同理可证b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:
mb=（1/2）
mc=（1/2）ma=√（c^2+（a/2）^2-ac*cosb）
=（1/2）√（4c^2+a^2-4ac*cosb）
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=（1/2）√
=（1/2）√（2b^2+2c^2-a^2）
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√（c^2+（a/2）^2-ac*cosb）
=（1/2）√（4c^2+a^2-4ac*cosb）
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=（1/2）√
=（1/2）√（2b^2+2c^2-a^2）
证毕。
余弦定理证明
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->
bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知：
ac?
=ad?
+dc?
b?
=（sinb*c）?
+（a-cosb*c）?
b?
=sin?
b*c?
+a?
+cos?
b*c?
-2ac*cosb
b?
=（sin?
b+cos?
b）*c?
-2ac*cosb+a?
b?
=c?
+a?
-2ac*cosb
所以，cosb=（c?
+a?
-b?
）/2ac
2
如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是（b，0），由三角函数的定义得b点坐标是（osa，csina）.∴cb=（osa-b，csina）.现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是（acos（π-c），asin（π-c））即d点坐标是（-acosc，asinc）,∴ad=（-acosc，asinc）而ad=cb∴（-acosc，asinc）=（osa-b，csina）∴asinc=csina…………①-acosc=osa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-osa，平方得：
a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bosa.同理可证b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:
mb=（1/2）
mc=（1/2）ma=√（c^2+（a/2）^2-ac*cosb）
=（1/2）√（4c^2+a^2-4ac*cosb）
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=（1/2）√
=（1/2）√（2b^2+2c^2-a^2）
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√（c^2+（a/2）^2-ac*cosb）
=（1/2）√（4c^2+a^2-4ac*cosb）
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=（1/2）√
=（1/2）√（2b^2+2c^2-a^2）
证毕。
余弦定理的证明方法
在△abc中，ab=c、bc=a、（我们一定会做的更好：
）ca=b
则c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
a^2=b^2+c^2-2bc*cosa
b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
过a作ad⊥bc于d，则bd+cd=a
由勾股定理得：
c^2=（ad）^2+（bd）^2，（ad）^2=b^2-（cd）^2
所以c^2=（ad）^2-（cd）^2+b^2
=（a-cd）^2-（cd）^2+b^2
=a^2-2a*cd+（cd）^2-（cd）^2+b^2
=a^2+b^2-2a*cd
因为cosc=cd/b
所以cd=b*cosc
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->
bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知：
ac?
=ad?
+dc?
b?
=（sinb*c）?
+（a-cosb*c）?
b?
=sin?
b*c?
+a?
+cos?
b*c?
-2ac*cosb
b?
=（sin?
b+cos?
b）*c?
-2ac*cosb+a?
b?
=c?
+a?
-2ac*cosb
所以，cosb=（c?
+a?
-b?
）/2ac
2
如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是（b，0），由三角函数的定义得b点坐标是（osa，csina）.∴cb=（osa-b，csina）.现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是（acos（π-c），asin（π-c））即d点坐标是（-acosc，asinc）,∴ad=（-acosc，asinc）而ad=cb∴（-acosc，asinc）=（osa-b，csina）∴asinc=csina…………①-acosc=osa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-osa，平方得：
a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bosa.同理可证b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:
mb=（1/2）
mc=（1/2）ma=√（c^2+（a/2）^2-ac*cosb）
=（1/2）√（4c^2+a^2-4ac*cosb）
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=（1/2）√
=（1/2）√（2b^2+2c^2-a^2）
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√（c^2+（a/2）^2-ac*cosb）
=（1/2）√（4c^2+a^2-4ac*cosb）
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=（1/2）√
=（1/2）√（2b^2+2c^2-a^2）
证毕。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．
对于任意三角形三边为a,b,c三角为a,b,c满足性质
a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosa
b^2=a^2+c^2-2*a*c*cosb
c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosc
cosc=（a^2+b^2-c^2）/2ab
cosb=（a^2+c^2-b^2）/2ac
cosa=（c^2+b^2-a^2）/2bc
证明：
如图：
∵a=b-c
∴a^2=（b-c）^2（证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc
再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosa
同理可证其他，而下面的cosa=（c^2+b^2-a^2）/2bc就是将cosa移到右边表示一下。
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平面几何证法：
在任意△abc中
做ad⊥bc.
∠c所对的边为c，∠b所对的边为b，∠a所对的边为a
则有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
根据勾股定理可得：
ac^2=ad^2+dc^2
b^2=（sinb*c）^2+（a-cosb*c）^2
b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb
b^2=（sin^2b+cos^2b）*c^2-2ac*cosb+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosb
cosb=（c^2+a^2-b^2）/2ac
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,
如果一个三角形两边的平方和等于第三
边的平方,那么第三边所对的角一定是直
角,如果小于第三边的平方,那么第三边所
对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边
所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。
同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
内容仅供参考
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