课程设计报告四阶RungeKutta方法.docx
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课程设计报告四阶RungeKutta方法
《计算机数值方法》
课程设计报告
题目
四阶Runge-Kutta方法
学生姓名
班级
计科12
学号
成绩
指导教师
延安大学计算机学院
2014年9月1日
一、摘要·······································································5
二、问题重述··································································5
三、方法原理及实现··························································5
四、计算公式或算法··························································5
五、Matlab程序·······························································6
六、测试数据及结果··························································6
七、结果分析·································································10
八、方法改进··································································10
九、心得体会··································································10
十、参考文献··································································10
一、摘要
本课程设计主要内容是用四阶Runge-Kutta方法解决常微分方程组初值问题的数值解法，首先分析题目内容和要求，然后使用Matlab编写程序计算结果并绘图，最后对计算结果进行分析并得出结论。
二、问题描述
在计算机上实现用四阶Runge—Kutta求一阶常微分方程初值问题
的数值解，并利用最后绘制的图形直观分析近似解与准确解之间的比较.
三、方法原理及实现
龙格—库塔（Runge-Kutta）方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法.由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂.该算法是构建在数学支持的基础之上的。
龙格库塔方法的理论基础来源于泰勒公式和使用斜率近似表达微分，它在积分区间多预计算出几个点的斜率，然后进行加权平均,用做下一点的依据，从而构造出了精度更高的数值积分计算方法.如果预先求两个点的斜率就是二阶龙格库塔法，如果预先取四个点就是四阶龙格库塔法。
经典的
方法是一个四阶的方法,它的计算公式是：
四、计算公式或算法
1．输入
（编写或调用计算
的函数文件
）,
2．
3．For
End
4．输出
五、Matlab程序
x=[a：
h:
b］；
y
（1）=y1；
n=（b-a）/h+1;
fori=2：
n
fk1=f（x（i-1）,y（i—1））；
fk2=f（x（i-1）+h/2,y（i—1）+fk1＊h/2）；
fk3=f（x（i—1）+h/2，y（i-1）+fk2*h/2）;
fk4=f（x（i—1）+h,y（i—1）+fk3*h）;
y（i）=y（i-1）+h＊（fk1+2*fk2+2*fk3+fk4）/6；
end
y
六、测试数据及结果
用调试好的程序解决如下问题:
应用经典的四阶Runge—Kutta方法解初值问题
取
（1）步骤一：
编写函数具体程序。
1。
求解解析解程序：
dsolve（'Dy=（y^2+y）/t’，’y
（1）=—2'，’t’）
结果：
2.综合编写程序如下：
a=1；
b=3;
h=0.5;
y
（1）=-2;
x
（1）=a；
n=（b—a）/h+1;
yy
（1）=—2;
fori=2:
n
k1=（y（i-1）^2+y（i—1））/x（i-1）；
k2=（（y（i-1）+h*k1/2）^2+（y（i-1）+h＊k1/2））/（x（i—1）+h/2）；
k3=（（y（i—1）+h＊k2/2）^2+（y（i—1）+h*k2/2））/（x（i-1）+h/2）;
k4=（（y（i—1）+h＊k3）^2+（y（i-1）+h＊k3））/（x（i-1）+h）;
y（i）=y（i-1）+h＊（k1+2＊k2+2*k3+k4）/6；%四阶Runge-Kutta公式解
x（i）=x（i—1）+h；%有解区间的值
yy（i）=—x（i）/（x（i）—1/2）;%解析解
s（i）=abs（y（i）-yy（i））；％误差项
end
［x’y'yy's’]
（2）步骤二：
执行上述Runge-Kutta算法,计算结果为
1.0000
1.5000
2.0000
2.5000
3.0000
—2.0000
—1.4954
—1.3306
—1。
2480
-1。
1985
-2。
0000
-1.5000
-1。
3333
-1。
2500
—1。
2000
0
0.0046
0。
0028
0.0020
0.0015
（3）使用Matlab绘图函数“plot（x,y）"绘制问题数值解和解析解的图形。
数值解的图形：
plot（x，y）
解析解的图形
plot（x，yy）
（4）使用Matlab中的ode45求解，并绘图.
编写函数如下：
%ode.m
functiondy=ode（x，y）
dy=（y^2+y）/x;
T，Y]=ode45（'ode'，[13］,—2）;
plot（T，Y）
运行结果如下：
七、结果分析
由图可知此方法与精确解的契合度非常好，基本上与精度解保持一致，由此可见四阶Runge-Kutta方法是一种高精度的单步方法。
八、方法改进
同时,由于误差的存在，我们总想尽可能的是误差趋近于零,常用的就是传统的增加取值的个数。
最后，我们通过改变步长来进行改进。
具体实现：
（1）h=0。
1
a=1;
b=3；
h=0。
1；
y
（1）=—2；
x
（1）=a；
n=（b-a）/h+1;
yy
（1）=—2;
fori=2：
n
k1=（y（i-1）^2+y（i-1））/x（i-1）;
k2=（（y（i-1）+h＊k1/2）^2+（y（i—1）+h＊k1/2））/（x（i—1）+h/2）；
k3=（（y（i—1）+h＊k2/2）^2+（y（i-1）+h＊k2/2））/（x（i—1）+h/2）;
k4=（（y（i—1）+h*k3）^2+（y（i-1）+h＊k3））/（x（i-1）+h）；
y（i）=y（i-1）+h＊（k1+2＊k2+2*k3+k4）/6;％四阶Runge—Kutta公式解
x（i）=x（i—1）+h;％有解区间的值
yy（i）=—x（i）/（x（i）—1/2）;%解析解
s（i）=abs（y（i）—yy（i））;%误差项
end
［x'y'yy’s’]
结果：
（2）h=0。
2
a=1；
b=3;
h=0.2;
y
（1）=-2;
x
（1）=a；
n=（b-a）/h+1；
yy
（1）=-2;
fori=2:
n
k1=（y（i—1）^2+y（i-1））/x（i—1）；
k2=（（y（i—1）+h＊k1/2）^2+（y（i—1）+h＊k1/2））/（x（i-1）+h/2）;
k3=（（y（i-1）+h*k2/2）^2+（y（i-1）+h*k2/2））/（x（i—1）+h/2）;
k4=（（y（i-1）+h＊k3）^2+（y（i—1）+h＊k3））/（x（i-1）+h）;
y（i）=y（i—1）+h＊（k1+2＊k2+2＊k3+k4）/6；％四阶Runge-Kutta公式解
x（i）=x（i-1）+h；%有解区间的值
yy（i）=—x（i）/（x（i）-1/2）;%解析解
s（i）=abs（y（i）-yy（i））;％误差项
end
［x’y’yy’s’]
结果：
（3）h=0。
4
a=1;
b=3；
h=0.4；
y
（1）=—2；
x
（1）=a；
n=（b—a）/h+1；
yy
（1）=-2;
fori=2:
n
k1=（y（i—1）^2+y（i-1））/x（i-1）；
k2=（（y（i-1）+h＊k1/2）^2+（y（i—1）+h＊k1/2））/（x（i—1）+h/2）；
k3=（（y（i—1）+h*k2/2）^2+（y（i-1）+h*k2/2））/（x（i—1）+h/2）;
k4=（（y（i-1）+h＊k3）^2+（y（i—1）+h*k3））/（x（i-1）+h）；
y（i）=y（i-1）+h*（k1+2*k2+2＊k3+k4）/6;%四阶Runge-Kutta公式解
x（i）=x（i—1）+h;％有解区间的值
yy（i）=-x（i）/（x（i）—1/2）;%解析解
s（i）=abs（y（i）—yy（i））；%误差项
end
［x’y'yy’s']
结果：
通过上述的一些结果得出，四阶的Runge—Kutta方法的误差取决于步长的选取，因此，在实验的时候我们需要慎重的选取.一方面：
我们要减少误差,另一方面：
我们也需要尽可能的减少计算次数。
九、心得体会
通过这次课程设计我们不仅巩固了以前所学过的知识，而且学到很多在书本上没有学到的知识，使我们充分认识到理论与实际相结合的重要性，只有把所学的理论知识与实践相结合起来，从理论中得出结论,才能提高自己的实际动手能力和独立思考能力。
同时在设计的过程中发现了自己的不足之处,进一步加深了对所学知识的理解和掌握.
十、参考文献
1。
黄云清.数值计算方法.北京:
科学出版社
2.谭浩强．C程序设计．北京：
清华大学出版社
3.刘成等．C语言程序设计实验指导与习题集．北京:
中国铁道出版社
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