中国特级教师高考复习方法指导数学复习版难点1应用性问题docx.docx
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中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉难点1应用
性问题
中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉
难点1应用性问题
数学应用题是指利川数学知识解决其他领域中的问题.高考对应川题的考查已逐步成熟，人体是三道左右的小题和一道人题，注巫问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求.
•难点磁场
1.（★★★★★）一只小船以10m/s的速度由南向北匀速驶
过湖面，在离湖而高20米的桥上，一辆汽午由西向东以20m/s
的速度前进（如图），现在小船在水平P点以南的40米处，汽车
在桥上以西Q点30米处（其中PQ丄水面），则小船与汽车间的最
短距离为.（不考虑汽车与小船本身的大小）.
2.（★★★★★）小宁中午放学|H|家口己煮面条吃，有下血几
道工序：
（1）洗锅盛水2分钟；
（2）洗菜6分钟；（3）准备而条及佐料2分钟；
（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除（4）Z外，一次只能进行一道工序，小宁要将而条煮好，最少用分钟.
3.（★★★★★）某产品生产厂家根拯以往的生产销售经验得到下而有关销售的统计规律：
每生产产品x（百台），具总成本为G（x）力元，其屮固定成木为2力元，并且每生产100台的牛:
产成本为1万元
0.4x24.2x0.8（0x5）（总成本二固定成本+生产成本），销售收入R（x）满足R（x）=•假定该产（x5）10.2
品销售平衡，那么根据上述统计规律.
（1）要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？
并求此吋每台产品的售价为多少？
•案例探究
［例1］为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方
体沉淀箱（如图），污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为
a米，高度为b米，已知流出的水中该朵质的质量分数与a、b的乘积ab成反
比，现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中
该杂质的质量分数最小（A、B孔的而积忽略不计）？
命题意图：
木题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基木知识及
综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力，属**★★级题目.
知识依托：
重耍不等式、导数的应用、建立函数关系式.
错解分析：
不能理解题意而导致关系式列不出來，或a与b间的等量关系找不到.
技巧与方法：
关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重耍不等式或利川导数解决.解法一：
设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y,则由条件y二
满足2a+4b+2ab二60①
要求y的最小值，只须求ab的最大值.
由①6+2）（b+l）=32（a>0,b>0）且ab二30-（a+2b）
应用重要不等式e+2b二（a+2）+（2b+2）-4$2（&2）（2b2）412
・・・QbW18,当且仅当a=2b时等号成立
将a二2b代入①得沪6,b二3.
故当且仅当a二6,b二3时，经沉淀后流岀的水屮该杂质的质量分数最小.
解法二：
由2a+4b+2ab=60,得bk（k>0为比例系数）其中a、bab30
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a,2a
小国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉
记uab（30a）a（064（a2）2
曲u，令u'二0得a二6（a2）2
且当0V&V6时,f>0,当6k从而当且仅当a=6,b二3时,y二取最小值.ab/.u
［例2］某城市2001年末汽车保有量为30力辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并口.每年新增汽车数量相等.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60力辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
命题意图：
木题考杳等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运川数学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题忖・
知识依托：
数列极限、等比数列、解不等式.
错解分析：
①不能读懂题意，找不到解题的突破口；②写出bn+1与x的关系后，不能进一步转化为极限问题；③运算出错，得不到准确结果.
技巧与方法：
建立第n年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽管木题入手容易，但解题过程中的准确性耍求较高.
解：
设2001年末的汽车保有量为bl力辆，以后各年汽车保有量依次为b2力辆，b3）}辆，，,,,每年新增汽车x万辆，则
bl=30,b2=blX0.94+x,„
对于n>l,有bn+l=bnX0.94+x=bn-1X0.942+（1+0.94）x,„
-所以bn+l=blXO.94n+x（l+0.94+0.942+,,+0.94nl）
10.94nxxx（30）0.94n.=blX0.94+0.060.060.06nx^0,即xW1.8时,
bn+1WbnW,,Wbl二300.06
xxxx（30）0.94n1]当30<0,即x>1.8时，lim[n0.060.060.060.06
x并月.数列｛bn｝逐项递增，可以任意靠近.0.06当30
因此如杲要求汽车保有量不超过60万辆，
即bnW60（n=l,2,”）则有xW60,所以xW3・60.06综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.
•锦囊妙计
1.
解应用题的一般思路可表示如下
问题解决数学解答
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2.解应用题的一般程序
（1）读：
阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.
（2）建：
将文字语言转化为数学语言，利川数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基木数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.
（3）解：
求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型屮元索的实际意义，更耍注意巧思妙作，优化过程.
（4）答：
将数学结论还原给实际问题的结呆.
3.屮学数学屮常见应用问题与数学模型
（1）优化问题•实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.
（2）预测问题：
经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.
（3）最（极）值问题：
工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值.
（4）等量关系问题：
建立“方程模型”解决
（5）测量问题：
可设计成“图形模型”利用几何知识解决.
•歼灭难点训练
一、选择题
1.（★★★★）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
①如果不超过200元，贝怀予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果屆过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款（）
A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元
2.（★★★★）某体育彩票规定：
从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18,然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36小选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花（）
A.1050元B.1052元C.2100元D.2102元
二、填空题
3.（★★★★）一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳冋到原高度的一半再落下，当它最后静止在地面上时，共经过了米.
4.（★★★★）有一广告气球直径为6米，放在公司大楼上空（如图），当某行人在A地观测气球时，其中心仰角为ZBAC=30°,并测得气球的视角3=2°,若e很小时，可取sin（）二0,试估计气球的高BC的值约为米.
三、解答题
5.（★★★★★）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分別为v千米/小时、2-丁•米/小吋、10v千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c元.且b6.（★★★★）已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是吋间t（0WtW24,单位小时）的函数，记作y=f（t）,
八时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
V（粉
9T
1.5
1.0
0.5
1.0
1.49
1
0.51
0.99
1.5
经长期观测y二f（t）的曲线可近似地看成函数y二Acoscot+b・
（1）根据以上数据，求出函数y二Acos（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据
（1）的结论，判断一天内的上中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉
午8：
00至晚上20：
00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.
7.（★★★★★）某外商到一•开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12力美元，以后每年增加4力美元，每年销伟蔬菜收入50力美元.
（1）若扣除投资及各种经费，则从第儿年开始获取纯利润？
（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：
①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？
8.（★★★★★）某厂使用两种零件A、B装配两种产品P、Q,该厂的生产能力是月产P产品最多冇2500件，月产Q产品最多冇1200件；而且组装一件P产品耍4个A、2个B,组装一件Q产品要6个A、8个B,该厂在某个月能用的A零件最多14000个；B零件最多12000个.已知P产品每件利润1000元，Q产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P、Q产品各多少件？
最大利润多少万元.
参考答案
•难点磁场
1•解析：
设经过时间t汽车在A点，船在B点，（如图），则AQ二30-20t,BP二40
-10t,PQ二20,且有AQ丄BP,PQ丄AQ,PQ丄PB,设小船所在平面为a,AQ,QP确
定平而为B,记aAB=l,由AQ〃a,AQP得AQ〃1,又AQ丄PQ,得PQ丄1,又PQ
丄PB,及1QPB二P得PQ丄a.作AC〃PQ,则AC丄a.连CB,则AC丄CB,进而
AQ丄BP,CP〃AQ得CP丄BP,AAB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（40-lOt）
2+（30-20t）2=100[5（t-2）2+9],t=2时AB最短,最短距离为
30m.
答案：
30m
2.解析：
按以下工序操作所需时间最少，①、④（并在此时完成②、③、⑤）所用时间为2+10+3=15分钟.
答案：
15
3.解：
依题意，G（x）二x+2,设利润函数为f（x）,则
0.4x23.2x2.8（0x5）f（x）（x5）&2x
（1）要使工厂有赢利，则有f（x）>0.
当0WxW5时,有-0・4x2+3.2x-2.8>0,得l当x>5时，有&2-x>0,得x<8.2,A5综上，要使工厂赢利，应满足l〈x〈8.2.即产甜应控制在大于100台小于820台的范围内.
（2）0WxW5时,f（x）=-0.4（x-4）2+3.6
故当x=4时，f（x）有最大值3.6.
而当x〉5时f（x）<8.2-5=3.2
所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x=4时，每台产胡售价为
R（4）=2.4（万元/百4
台）=240（元/台）.
•歼灭难点训练
一、1.解析：
此人购买的商品原价为168+423宁90%二638元，若一次购买同样商品应付款为500X90%+（638-500）X70%二450+96.5=546.6元.
答案:
c
2.解析：
从01到17中选连续3个号有15种方法，从19到29中选连续2个号有10种选法，从30到36中选1个冇7种选法，故购买注数为1050注至少花1050X2=2100元
小国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉
答案：
C
二、3.解析：
小球经过的路程为：
1
Ills100210021002（）3100100200300m.124212
答案：
300
4.提示：
sin2°=90
答案：
86m
三、5.解：
设运输路程为S（千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为yl（元）、y2（元）、y3（元）.则由题意，ylaSSmmm（a）S.y2（b）S,vv2v
mm）S.yly2[（ab）]S，由Qb,各字母均为正值，所以yl-y2>0，即y22m2m2m-b）-]S.令y3-y2〉0,由c>b及每字母都是正值,得c>b+.所以，当c>b+时y22my2最小，当b由t=0,y=l.5得A+b二1.5.
由t=3,y=l.0,得b=l.0.所以,A=0.5,b=l.振幅A=
y=l,21cost126
1cost1>1,cost>0./.2kJi-626
（2）由题意知,当y〉l时，才可对冲浪者开
放.・・・
6t2k
2,即有12k-3由0WtW24,故可令k二0,1,2,得0Wt〈3或9・••在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：
00至下午15：
00.
7.解：
由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f（n）,则f（n）=50n-[12n+n（n1）X4]-72=-2n2+40n-722
f（n）36=40-2（n+）W16.当且仅当n=6时取等号•故此方案先获利6X16+48二144nn（l）获纯利润就是要求f（n）>0,・・・-2n2+40n-72>0,解得2（2）①年平均利润二
（万美元），此时n二6,②f（n）=-2（n-10）2+128.
当n=10时，f（n）|max=128.故第②种方案共获利128+16=144（万美元）.
故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案.
8.解：
设分别生产P、Q产品x件、y件，则冇
0x25004x6y140002x3y7000依题意有则有
0y12002x8y12000x4y6000
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中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉设利润S=1000x+2000y=1000（x+2y）要使利润S最人，只需求x+2y的最人值.
x+2y二m（2x+3y）+n（x+4y）=x（2m+n）+y（3m+4n）
2mn1m2
3m4n2・°・5
n1
5
有x+2y二2
5（2x+3y）+121
5（x+4y）W5X7000+5X6000.
当月.仅当2x3y7000解得
x4y6000x2000时取等号，此时最人利润S
y1000max=1000（x+2y）
=4000000=400（万元）.
另外此题可运用“线性规划模型”解决.
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