北京中考数学复习考题训练21全等三角形.docx

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北京中考数学复习考题训练21全等三角形

考题训练（二十一）全等三角形

A组·真题演练

1．［2011·北京］如图J21－1，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD.求证：

AE＝FC.

图J21－1

2．［2012·北京］已知：

如图J21－2，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD.求证：

BC＝ED.

图J21－2

3．［2013·北京］如图J21－3，已知D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE.求证：

BC＝AE.

图J21－3

B组·模拟训练

1．［2016·西城二模］如图J21－4，在△ABC中，D是AB边上一点，且DC＝DB.点E在CD的延长线上，且∠EBC＝∠ACB.求证：

AC＝EB.

图J21－4

2．［2016·海淀二模］已知：

如图J21－5，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，且BD＝AC，过点D作DE⊥AB于点E，过点B作CB的垂线交DE的延长线于点F.求证：

AB＝DF.

图J21－5

3．［2017·海淀一模］如图J21－6，在△ABC中，D，E是BC边上两点，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE.求证：

AB＝AC.

图J21－6

4．［2017·昌平二模］如图J21－7，在等边△ABC中，点D为边BC的中点，以AD为边作等边△ADE，连接BE.求证：

BE＝BD.

图J21－7

C组·自测训练

一、选择题

1．［2017·石景山一模］用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：

①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；

②分别以点D，E为圆心，以大于

DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；

③作射线OC.

则射线OC为∠AOB的平分线．

由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（　　）

图J21－8

A．SASB．ASA

C．AASD．SSS

2．如图J21－9，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于（　　）

图J21－9

A．60°B．50°

C．45°D．30°

3．如图J21－10，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（　　）

图J21－10

A．1个B．2个

C．3个D．4个

4．如图J21－11，将正方形ABCO放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，

），则点C的坐标为（　　）

图J21－11

A．（－

，1）B．（－1，

）

C．（

，1）　D．（－

，－1）

二、填空题

5．［2017·通州二模］如图J21－12，Rt△ABC≌Rt△DCB，两斜边交于点O，如果AC＝3，那么OD的长为________．

图J21－12　　　　　　图J21－13

6．如图J21－13，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝________．

7．［2015·石景山二模］如图J21－14为4×4的正方形网格，图中的线段均为格点线段（线段的端点为格点），则∠1＋＋∠3＋∠4＋∠5的度数为________．

图J21－14　　　　　　　图J21－15

8．如图J21－15，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝________°.

9．如图J21－16，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥BC于点E.若BC＝15cm，则△DEB的周长为________cm.

图J21－16

三、解答题

10．已知：

如图J21－17，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM.求证：

∠B＝∠ANM.

图J21－17

11．如图J21－18，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.

（1）求证：

△AEC≌△BED；

（2）若∠1＝42°，求∠BDE的度数．

图J21－18

12．在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连接AC.

（1）如图J21－19，若AB＝3

，BC＝5，求AC的长；

（2）如图J21－20，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：

∠BDF＝∠CEF.

图J21－19　　　　　图J21－20

参考答案

|真题演练|

1．证明：

∵BE∥DF，

∴∠ABE＝∠D.

在△ABE和△FDC中，

∵

∴△ABE≌△FDC，

∴AE＝FC.

2．证明：

∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECD.

在△ABC和△CED中，∵

∴△ABC≌△CED，∴BC＝ED.

3．证明：

∵DE∥AB，

∴∠CAB＝∠ADE.

在△ABC与△DAE中，∵

∴△ADE≌△BAC（ASA），∴BC＝AE.

|模拟训练|

1．证明：

∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠DBC.

在△ACB和△EBC中，

∴△ACB≌△EBC，∴AC＝EB.

2．证明：

∵BF⊥BC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，

∴∠DBF＝∠BEF＝∠ACB＝90°，

∴∠ABC＋∠EBF＝90°，∠EBF＋∠F＝90°，

∴∠ABC＝∠F.

在△ABC和△DFB中，

∴△ABC≌△DFB，∴AB＝DF.

3．证明：

方法一：

∵AD＝AE，

∴∠1＝∠2.

∵∠1＝∠B＋∠BAD，

∠2＝∠C＋∠CAE，

∴∠B＋∠BAD＝∠C＋∠CAE.

∵∠BAD＝∠CAE，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC.

方法二：

∵AD＝AE，

∴∠1＝∠2.

∴180°－∠1＝180°－∠2，

即∠3＝∠4.

在△ABD与△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（ASA）．

∴AB＝AC.

4．证明：

∵在等边△ABC中，点D为边BC的中点，

∴∠CAD＝∠DAB＝

∠CAB＝30°.

∵△ADE为等边三角形，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°.

∵∠DAB＝30°，

∴∠DAB＝∠EAB＝30°.

在△ADB与△AEB中，

∴△ADB≌△AEB，

∴BE＝BD.

|自测训练|

1．D

2．A　[解析]根据题目所给条件可得△OAD≌△OBC，则有∠C＝∠D＝35°.由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得到∠EAC＝∠O＋∠D＝85°，再根据三角形的内角和定理得到∠AEC的度数．

3．C

4．A　[解析]如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E.

∵四边形OABC是正方形，

∴OA＝OC，∠AOC＝90°，

∴∠COE＋∠AOD＝90°.

又∵∠OAD＋∠AOD＝90°，

∴∠OAD＝∠COE.

在△AOD和△OCE中，

∴△AOD≌△OCE（AAS），

∴OE＝AD＝

，CE＝OD＝1.

又∵点C在第二象限，

∴点C的坐标为（－

，1）．

5．1.5　6．6　7．225°

8．55　[解析]∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，

∴∠1＝∠CAE.

在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD＝∠2＝30°.

∵∠3＝∠1＋∠ABD，∴∠3＝25°＋30°＝55°.

9．15　[解析]先根据AAS判定△ACD≌△ECD，得出AC＝EC，AD＝ED，再将其代入△DEB的周长计算公式中，通过边长之间的转换得△BDE的周长＝BD＋DE＋EB＝BD＋AD＋EB＝AB＋BE＝AC＋EB＝CE＋EB＝BC，所以周长为15cm.具体过程如下：

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠ECD.

∵DE⊥BC于点E，

∴∠DEC＝∠A＝90°.

又∵CD＝CD，∴△ACD≌△ECD，

∴AC＝EC，AD＝ED.

∴△DEB的周长＝DE＋BE＋BD＝AD＋BD＋BE＝AB＋BE＝AC＋BE＝EC＋BE＝BC＝15cm.

10．[解析]要证明∠B＝∠ANM，根据条件只需证明△ABD≌△ANM，而证明△ABD≌△ANM的三个条件中∠BAD＝∠NAM没有直接给出，所以要先交代．

证明：

∵∠BAC＝∠DAM，

∴∠BAC－∠DAC＝∠DAM－∠DAC，即∠BAD＝∠NAM.

在△ABD和△ANM中，

∴△ABD≌△ANM（SAS）．

∴∠B＝∠ANM.

11．[解析]

（1）用ASA证明两三角形全等；

（2）利用全等三角形的性质得出EC＝ED，∠C＝∠BDE，再利用等腰三角形性质：

等边对等角，即可求出底角∠C＝69°，从而∠BDE＝69°.

解：

（1）证明：

∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE.在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，

∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，

∴∠AEC＝∠BED.

在△AEC和△BED中，

∴△AEC≌△BED（ASA）．

（2）∵△AEC≌△BED，

∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.

在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，

∴∠C＝∠EDC＝69°，

∴∠BDE＝∠C＝69°.

12．[解析]

（1）由AM⊥BM，易知∠AMB＝∠AMC＝90°，利用三角形内角和定理可求得∠ABM＝∠BAM，由“等角对等边”可得AM＝BM，利用特殊角的三角函数计算出AM＝BM＝3.又因BC＝5，可得MC的长度，最后在Rt△AMC中利用勾股定理即可求解出AC的长度．

（2）见中点易联想到作辅助线：

延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG，分别利用SAS判定出△BMD≌△AMC，△BFG≌△CFE，从而将∠E、线段CE转化到△BDG中，由等腰三角形性质可证得∠BDG＝∠G，问题便可获得解决．

解：

（1）∵AM⊥BM，∴∠AMB＝∠AMC＝90°，

∵∠ABM＝45°，∴∠ABM＝∠BAM＝45°，

∴AM＝BM，∵AB＝3

，∴AM＝BM＝3.

∵BC＝5，∴MC＝2，∴AC＝

＝

.

（2）证明：

如图，延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG.

∵DM＝MC，∠BMD＝∠AMC＝90°，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC，故AC＝BD.

又CE＝AC，因此BD＝CE.

∵点F是线段BC的中点，∴BF＝FC.

∵BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，∴△BFG≌△CFE，故BG＝CE，∠G＝∠E，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDG＝∠G，∴∠BDG＝∠E.