北师大版初中数学七年级下册《53 简单的轴对称图形》同步练习卷含答案解析.docx

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北师大版初中数学七年级下册《53简单的轴对称图形》同步练习卷含答案解析

北师大新版七年级下学期《5.3简单的轴对称图形》

同步练习卷

一．填空题（共1小题）

1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=36°，在直线AC或BC上取点M，使得△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有　　个．

二．解答题（共39小题）

2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：

BE垂直平分CD．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD=2DE，连接AE．

（1）求线段CD的长；

（2）求△ADE的面积．

4．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD．

（1）如图CE=4，△BDC的周长为18，求BD的长．

（2）求∠ADM=60°，∠ABD=20°，求∠A的度数．

5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．

（1）若∠C=40°，求∠BAD的度数；

（2）若AC=5，DC=4，求△ABC的周长．

6．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．

（1）求证：

DF是线段AB的垂直平分线；

（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？

并说明理由．

8．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：

（1）∠EAD=∠EDA；

（2）DF∥AC；

（3）∠EAC=∠B．

9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC平分∠ABF，BF=

AE．

求证：

（1）DE=DF；

（2）AC=3BF．

10．已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，

（1）求∠AEB的度数．

（2）如图2，过点E的直线交射线线AM于点C，交射线BN于点D，求证：

AC+BD=AB；

（3）如图3，过点E的直线交射线线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB=5，AC=3，S△ABE﹣S△ACE=2，求△BDE的面积．

11．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交AC于点F，FH⊥BC于点H，求证：

AE=FH．

12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF．

（1）求证：

CF=EB；

（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．

13．如图，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上的一点，求证：

BD=CD．

14．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．

15．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．

（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：

S△ACD=　　；

（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，求S△ABD：

S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）

（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE，连接BE，如果AC=2，AB=4，S△BDE=6，那么S△ABC=　　．

16．如图，△ABC与△AED中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．

（1）求证：

GA平分∠DGB；

（2）若S四边形DGBA=6，AF=

，求FG的长．

17．在本学期我们学习了角平分线的性质定理和判定定理，那么，你还是否记得它们的具体内容．

（1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整：

角平分线性质定理：

角平分线上的点到　　的距离相等．

角平分线判定定理：

到角的两边距离相等的点在　　．

（2）老师在黑板上画出了图形，把判定定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整

已知：

如图1，点P是∠AOB内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=　　，求证：

点P在∠AOB的　　上

（3）请你完成证明过程：

（4）知识运用：

如图2，三条公路两两相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有　　处．

18．如图，BD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为60，AB=15，BC=9，求△ABD的面积．

19．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．

20．如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，AB+BC+AC=20，过O作OD⊥BC于D点，且OD=3，求△ABC的面积．

21．如图，△ABC的外角平分线BP、CP相交于点P．求证：

点P在∠A的平分线上．

22．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：

（1）AM⊥DM；

（2）M为BC的中点．

23．如图，将一块三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边PQ上，直尺的另一边MN与三角板的两边AC、BC分别交于两点E、D，且AD为∠BAC的平分线，∠B=30°，∠ADE=15°．

（1）求∠BDN的度数；

（2）求证：

CD=CE．

24．已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，点D是边BC，EF的中点．

（1）如图①，连接AD，GD，则∠ADC的大小=　　（度）；∠GDF的大小=　　（度）；

AD与GD的数量关系是　　；DC与DF的数量关系是　　；

（2）如图②，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小．

25．如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC．

（1）求∠APO+∠DCO的度数；

（2）求证：

点P在OC的垂直平分线上．

26．如图，在ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F，FD∥AC交BC于点D．求证：

△AEF是等腰三角形．

27．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC、CD于E、F．试说明△CEF是等腰三角形．

28．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED．

（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：

BD=AE；

（2）如图2，若点E不是AB的中点时，

（1）中的结论“BD=AE”能否成立？

若不成立，请直接写出BD与AE数理关系，若成立，请给予证明．

29．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．

（1）求证：

①AB=AD；②CD平分∠ACE．

（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？

并对你的猜想加以证明．

30．如图1，在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．

（1）求证：

△BCD为等腰三角形；

（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：

BD+AD=AB+BE；

（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究

（2）中的结论是否仍然成立？

直接写出正确的结论．

31．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．

（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；

（2）若∠C=30°，图中是否存在等边三角形？

若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．

32．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF=EF．

（1）求证：

CD=BE；

（2）若AB=12，试求BF的长．

33．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，

（1）求∠F的度数；

（2）若CD=3，求DF的长．

34．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的周长．

（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

35．现在给出两个三角形，请你把图

（1）分割成两个等腰三角形，把图

（2）分割成三个等腰三角形．要求：

在图

（1）、

（2）上分割：

标出分割后的三角形的各内角的度数．

36．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．

（1）如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；

（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；

（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．

37．在等边△ABC中，点D、E（不与点A、B、C重合）分别是边AC、AB上的点，点P是平面内一动点，设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠a．

（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图

（1）所示．则∠1+∠2的值．（可用含∠α的代数式表示）

（2）若点P在△ABC的外部，如图2所示．则∠1、∠2、∠α之间有何关系？

写出你的结论，并说明理由．

（3）若点P在边BC的延长线上运动时，请在图3、图4中分别画出相应的图形，并直接写出∠1、∠2、∠α之间的关系式，但不要求证明．

38．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．

（1）求证：

AE=ED；

（2）请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．

39．在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长．

40．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：

当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．

（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是　　；此时

=　　；

（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？

若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．

（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？

并给出证明．

北师大新版七年级下学期《5.3简单的轴对称图形》

同步练习卷

参考答案与试题解析

一．填空题（共1小题）

1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=36°，在直线AC或BC上取点M，使得△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有　8　个．

【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：

在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．

【解答】解：

如图，

①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB=AM）；

②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM=BA）．

③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA=MB），交直线BC于点M8；

∴符合条件的点有8个．

故答案为：

8．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．

二．解答题（共39小题）

2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：

BE垂直平分CD．

【分析】证明Rt△BDE≌Rt△BCE，根据全等三角形的性质得到ED=EC，根据线段垂直平分线的判定定理证明．

【解答】证明：

∵∠ACB=90°，DE⊥AB，

∴∠ACB=∠BDE=90°，

在Rt△BDE和Rt△BCE中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△BCE，

∴ED=EC，

∵ED=EC，BD=BC，

∴BE垂直平分CD．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD=2DE，连接AE．

（1）求线段CD的长；

（2）求△ADE的面积．

【分析】

（1）过点D作DH⊥AB，根据角平分线的性质得到DH=DC根据正弦的定义列出方程，解方程即可；

（2）根据三角形的面积公式计算．

【解答】解：

（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，

∵BD平分∠ABC，∠C=90°，

∴DH=DC=x，

则AD=3﹣x．

∵∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=5，

∵

，

∴

，

∴

，即CD=

；

（2）

，

∵BD=2DE，

∴

，

∴

．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

4．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD．

（1）如图CE=4，△BDC的周长为18，求BD的长．

（2）求∠ADM=60°，∠ABD=20°，求∠A的度数．

【分析】

（1）根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算；

（2）根据三角形内角和定理计算即可．

【解答】解：

（1）∵MN垂直平分BC，

∴DC=BD，

CE=EB，

又∵EC=4，

∴BE=4，

又∵△BDC的周长=18，

∴BD+DC=10，

∴BD=5；

（2）∵∠ADM=60°，

∴∠CDN=60°，

又∵MN垂直平分BC，

∴∠DNC=90°，

∴∠C=30°，

又∵∠C=∠DBC=30°，

∠ABD=20°，

∴∠ABC=50°，

∴∠A=180°﹣∠C﹣∠ABC=100°．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．

（1）若∠C=40°，求∠BAD的度数；

（2）若AC=5，DC=4，求△ABC的周长．

【分析】

（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AE=CE，求出∠C=∠EAC，即可得出答案；

（2）根据已知能推出2DC+AC=13，即可得出答案．

【解答】

（1）解：

∵EF垂直平分AC，

∴AE=CE，

∴∠C=∠EAC=40°，

∵AD⊥BC，BD=DE，

∴AB=AE，

∴∠B=∠BEA=2∠C=80°，

∴∠BAD=90°﹣80°=10°；

（2）由

（1）知：

AE=EC=AB，

∵BD=DE，

∴AB+BD=DE+AE=DE+CE=DC，

∴C△ABC=AB+BC+AC=2DC+AC=2×4+5=13．．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中．

6．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．

（1）求证：

DF是线段AB的垂直平分线；

（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．

【分析】

（1）根据到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上证明；

（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABE，结合图形计算即可．

【解答】

（1）证明：

∵∠A=∠ABE，

∴EA=EB，

∵AD=DB，

∴DF是线段AB的垂直平分线；

（2）解：

∵∠A=46°，

∴∠ABE=∠A=46°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=67°，

∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°，

∠F=90°﹣∠ABC=23°．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键．

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？

并说明理由．

【分析】连接BD，延长BF交DE于点G，根据线段的垂直平分线的性质得到AD=BD，求出∠CBD=45°，证明△ECD≌△FCB，根据全等三角形的性质解答即可．

【解答】解：

DE=BF，DE⊥BF．理由如下：

连接BD，延长BF交DE于点G．

∵点D在线段AB的垂直平分线上，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=22.5°．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=22.5°，

∴∠ABC=67.5°，

∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°，

∴△BCD为等腰直角三角形，

∴BC=DC．

在△ECD和△FCB中，

，

∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），

∴DE=BF，∠CED=∠CFB．

∵∠CFB+∠CBF=90°，

∴∠CED+∠CBF=90°，

∴∠EGB=90°，即DE⊥BF．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

8．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：

（1）∠EAD=∠EDA；

（2）DF∥AC；

（3）∠EAC=∠B．

【分析】

（1）由AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E，根据线段垂直平分线的性质，易得AE=DE，又由等边对等角的性质，证得∠EAD=∠EDA；

（2）由AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E，可得AF=DF，又由AD是∠BAC平分线，易得∠FDA=∠CAD，即可判定DF∥AC；

（3）由三角形外角的性质，可得∠EAC=∠EAD﹣∠CAD，∠B=∠EDA﹣∠BAD，又由∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，即可证得结论．

【解答】证明：

（1）∵EF是AD的垂直平分线，

∴AE=DE，

∴∠EAD=∠EDA；

（2）∵EF是AD的垂直平分线，

∴AF=DF，

∴∠FAD=∠FDA，

∵AD是∠BAC平分线，

∴∠FAD=∠CAD，

∴∠FDA=∠CAD，

∴DF∥AC；

（3）∵∠EAC=∠EAD﹣∠CAD，∠B=∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，

∴∠EAC=∠B．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC平分∠ABF，BF=

AE．

求证：

（1）DE=DF；

（2）AC=3BF．

【分析】

（1）欲证明DE=DF，只要证明△CDE≌△BDF即可；

（2）由△CDE≌△BDF，推出CE=BF，由BF=

AE，推出AE=2BF，可得AC=3BF；

【解答】解：

（1）∵BF∥AC，

∴∠C=∠CBF，

∵BC平分∠ABF，

∴∠ABC=∠CBF，

∴∠C=∠ABC，

∴AB=AC，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴BD=CD，AD⊥BC，

在△CDE与△BDF中，

，

∴△CDE≌△BDF，

∴DE=DF．

（2）∵△CDE≌△BDF，

∴CE=BF，

∵BF=

AE，

∴AE=2BF，

∴AC=3BF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．

10．已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，

（1）求∠AEB的度数．

（2）如图2，过点E的直线交射线线AM于点C，交射线BN于点D，求证：

AC+BD=AB；

（3）如图3，过点E的直线交射线线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB=5，AC=3，S△ABE﹣S△ACE=2，求△BDE的面积．

【分析】

（1）根据平行线的性质得到∠BAM+∠ABN=180°，根据角平分线的定义得到∠BAE=

BAM，∠ABE=

∠ABN，于是得到结论；

（2）在AB上截取AF=AC，连接EF，根据全等三角形的性质得到∠AEC=∠AEF，BF=BD，等量代换即可得到结论；

（3）延长AE交BD于F，根据等腰三角形的性质得到AB=BF=5，AE=EF，根据全等三角形的性质得到DF=AC=3，设S△BEF=S△ABE=5x，S△DEF=S△ACE=3x，根据S△ABE﹣S△ACE=2，即可得到结论．

【解答】解：

（1）∵AM∥BN，

∴∠BAM+∠ABN=180°，

∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，

∴∠BAE=

BAM，∠ABE=

∠ABN，

∴∠BAE+∠ABE=

（∠BAM+∠ABN）=90°，

∴∠AEB=90°；

（2）在AB上截取AF=AC，连接EF，

在△ACE与△AFE中，

，

∴△ACE≌△AFE，

∴∠AEC=∠AEF，

∴∠AEB=90°，

∴∠AEF+∠BEF=∠AEC+∠BED=90°，

∴∠FEB=∠DEB，

在△BFE与△BDE中，

，

∴△BFE≌△BDE，

∴BF=BD，

∵AB=AF+BF，

∴AC+BD=AB；

（3）延长AE交BD于F，

∵∠AEB=90°，

∴BE⊥CD，

BE平分∠ABN，

∴AB=BF=5，AE=EF，

∵AM∥BN，

∴∠C=∠EDF，

在△ACE与△FDE中，

，

∴△ACE≌△FDE，

∴DF=AC=3，

∵BF=5，

∴设S△BEF=S△ABE=5x，S△DEF=S△ACE=3x，

∵S△ABE﹣S△ACE=2，

∴5x﹣3x=2，

∴x=1，

∴△BDE的面积=8．

【点评】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

11．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠