版七年级数学下册第四章三角形试题新版北师大版.docx
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版七年级数学下册第四章三角形试题新版北师大版
第四章 三 角 形
1.应用三角形的三边关系的方法技巧
（1）已知三角形的两边长求第三边的范围,解答这类问题的关键是求两边之和、两边之差,第三边大于两边之差小于两边之和.
【例】若三角形的两边长分别为6cm,9cm,则其第三边的长可能为 （ ）
A.2cmB.3cm
C.7cmD.16cm
【标准解答】选C.设第三边长为xcm.
由三角形三边关系定理得9-6解得3
（2）已知三条线段,判断以这三条线段为边能否构成三角形,解答的关键是只求两较短边之和,与最长边去比较.
【例】下列长度的三条线段,不能组成三角形的是 （ ）
A.3,8,4B.4,9,6
C.15,20,8D.9,15,8
【标准解答】选A.分析各选项:
A.∵3+4<8∴不能构成三角形;
B.∵4+6>9∴能构成三角形;
C.∵8+15>20∴能构成三角形;
D.∵8+9>15∴能构成三角形.
（3）在解决三角形中线段比较大小的问题时,我们经常会用到三角形的“三边关系定理”来解决问题,它是我们初中阶段经常用于比较线段大小的重要依据.
【例】如图,点P是△ABC内任意一点,试说明PB+PC【标准解答】延长BP交AC于点D,
在△ABD中,PB+PD在△PCD中,
PC①+②得
PB+PD+PC即PB+PC1.下列长度的三条线段,能组成三角形的是 （ ）
A.1,1,2B.3,4,5
C.1,4,6D.2,3,7
2.如果一个三角形的两边长分别为2和5,则第三边长可能是 （ ）
A.2B.3C.5D.8
3.某同学手里拿着长为3和2的两个木棍,想要找一个木棍,用它们围成一个三角形,那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是 （ ）
A.1,3,5B.1,2,3
C.2,3,4D.3,4,5
4.各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个.
5.如图,△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点G,若S△ABC=12,则图中阴影部分面积是.
2.求一个角的度数的方法
（1）当所求角是一个三角形的内角时,可先求出这个三角形另外两个内角的度数,再根据三角形内角和定理计算.
【例】如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=40°,∠AOB=75°.则∠C等
于 （ ）
A.40°B.65°C.75°D.115°
【标准解答】选B.∵∠A=40°,∠AOB=75°.
∴∠B=180°-∠A-∠AOB
=180°-40°-75°=65°,
∵AB∥CD,∴∠C=∠B=65°.
（2）当所求角是一个三角形的外角时,可利用三角形外角的性质结合三角形的内角和定理计算.
【例】将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB的度数为 （ ）
A.75°B.95°
C.105°D.120°
【标准解答】选C.
∵∠ACO=45°-30°=15°,
∴∠AOB=∠A+∠ACO
=90°+15°=105°.
（3）当条件中含有平行线时,可利用平行线的性质将其转化为其他易求的角.
【例】如图,已知l1∥l2,∠A=40°,∠1=60°,则∠2的度数为 （ ）
A.40°B.60°C.80°D.100°
【标准解答】选D.如图,
方法一:
∵l1∥l2,
∴∠1=∠ABC=60°,
∴∠2=∠A+∠ABC=60°+40°=100°;
方法二:
∵l1∥l2,∴∠2=∠3.
∵∠1=∠4=60°,∠A=40°.
∴∠2=∠3=∠A+∠4=60°+40°=100°.
1.一副三角板如图叠放在一起,则图中∠α的度数为 （ ）
A.75°B.60°C.65°D.55°
2.如图,AB∥CD,AE交CD于C,∠A=34°,∠DEC=90°,则∠D的度数为 （ ）
A.17°B.34°C.56°D.124°
3.如图,在△ABC中,∠B,∠C的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC= （ ）
A.118°B.119°C.120°D.121°
4.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是三条边上的点,EF∥AC,DF∥AB,∠B=45°,∠C=60°.则∠EFD= （ ）
A.80°B.75°C.70°D.65°
5.如图,在△ABC中,∠A=80°,点D是BC延长线上一点,∠ACD=150°,
则∠B=°.
6.如图,已知,l1∥l2,C1在l1上,并且C1A⊥l2,A为垂足,C2,C3是l1上任意两点,点B在l2上.设△ABC1的面积为S1,△ABC2的面积为S2,△ABC3的面积为S3,小颖认为S1=S2=S3,请帮小颖说明理由.
3.确定全等三角形的对应边、对应角的方法
（1）在全等三角形中找对应边和对应角,关键是先找出对应顶点,然后按对应顶点字母的顺序记两个三角形全等,再按顺序写出对应边和对应角.
（2）全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;对应边所对的角是对应角.两条对应边所夹的角是对应角.
（3）全等三角形中的公共边是对应边,公共角是对应角,对顶角是对应角.
（4）最大边是对应边,最小边是对应边,最大角是对应角,最小角是对应角.
【例】如图,△ABC≌△DEF,点A与点D是对应顶点,则BC的对应边是,∠BAC的对应角是.
【标准解答】因为点A与点D是对应顶点,对应顶点所对的边是对应边,所以BC的对应边是EF;又因为以对应点为顶点的角是对应角,所以∠BAC的对应角是
∠EDF.
答案:
EF ∠EDF
如图所示,∠1=∠2,∠B=∠D,△ABC和△AED全等应表示为 （ ）
A.△ABC≌△AED
B.△ABC≌△EAD
C.△ABC≌△ADE
D.△ABC≌△DEA
4.全等三角形
（1）判定基本思路:
在证明两个三角形全等时,往往题目中已知某些边或角的条件,常根据以下思路来寻找三角形全等的条件.
（2）常见的全等三角形的基本模型:
①平移变换型
②轴对称变换型
③旋转变化型
【例1】已知:
如图,E,F在AC上,AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B.
求证:
AE=CF.
【标准解答】∵AD∥CB,∴∠A=∠C,
∵AD=CB,∠D=∠B,∴△ADF≌△CBE,
∴AF=CE,∴AE=CF.
【例2】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E.AD⊥CE于点D.
求证:
△BEC≌△CDA.
【标准解答】∵BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,
∴∠BEC=∠CDA=90°,
在Rt△BEC中,∠BCE+∠CBE=90°,
在Rt△BCA中,∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠CBE=∠ACD,
在△BEC和△CDA中,
∠BEC=∠CDA,∠CBE=∠ACD,
∵BC=AC,
∴△BEC≌△CDA.
1.如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的
是（ ）
A.CB=CD
B.∠BAC=∠DAC
C.∠BCA=∠DCA
D.∠B=∠D=90°
2.如图,B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,则DF=.
3.在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P.求证:
PB=PC,并直接写出图中其他相等的线段.
4.已知:
如图,AB∥CD,E是AB的中点,CE=DE.
求证:
（1）∠AEC=∠BED.
（2）AC=BD.
5.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC,延长AD到E点,使DE=AB.
求证:
（1）∠ABC=∠EDC.
（2）△ABC≌△EDC.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于点E,求证:
AD=CE.
5.尺规作图
用尺规作图作出图形的三个步骤:
（1）分析图形,明确作图顺序.
（2）选择合适的基本作图.
（3）验证所作图形是否符合要求.
【例1】如图所示,已知线段AB,∠α,∠β,分别过A,B作∠CAB=∠α,∠CBA=
∠β.（不写作法,保留作图痕迹）
【标准解答】如图所示:
.
【例2】作图题（要求:
用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明）
已知:
（如图）线段a和∠α,
求作:
△ABC,使AB=AC=a,∠A=∠α.
【标准解答】如图所示:
1.画△ABC,使其两边为已知线段a,b,夹角为β.
（要求:
用尺规作图,写出已知、求作;保留作图痕迹;不在已知的线、角上作图;不写作法）
2.如图1,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上的一点,BD>CD,将△ABC沿AD剪开,拼成如图2的四边形ABDC′.
（1）四边形ABDC′具有什么特点?
（2）请同学们在图3中,用尺规作一个以MN,NP为邻边的四边形MNPQ,使四边形MNPQ具有上述特点（要求:
写出作法,但不要求证明）.
跟踪训练答案解析
第四章 三 角 形
1.应用三角形的三边关系的方法技巧
【跟踪训练】
1.【解析】选B.如果满足较小的两条线段之和大于最长的线段,那么这三条线段就能组成三角形.因为1+1=2,1+4<6,2+3<7,而3+4>5.
2.【解析】选C.设第三边长为x,则由三角形三边关系定理得5-23.【解析】选C.设他所找的这根木棍长为x,由题意得:
3-2∵x为整数,∴x=2,3,4.
4.【解析】∵各边长度都是整数、最大边长为8,
∴三边长可以为:
1,8,8;
2,7,8;2,8,8;
3,6,8;3,7,8;3,8,8;
4,5,8;4,6,8;4,7,8;4,8,8;
5,5,8;5,6,8;5,7,8;5,8,8;
6,6,8;6,7,8;6,8,8;
7,7,8;7,8,8;
8,8,8;
故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个.
答案:
20
5.【解析】由中线性质,可得AG=2GD,则
S△BGF=S△CGE=
S△ABG=
×
S△ABD
=
×
×
S△ABC=
×12=2,
∴阴影部分的面积为4.
答案:
4
2.求一个角的度数的方法
【跟踪训练】
1.【解析】选A.如图,
∵∠1=60°,∠2=45°,
∴∠α=180°-45°-60°=75°.
2.【解析】选C.∵AB∥CD,
∴∠DCE=∠A=34°,
∵∠DEC=90°,
∴∠D=90°-∠DCE=90°-34°=56°.
3.【解析】选C.∵∠A=60°,∠ABC=42°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=78°.
∵∠B,∠C的平分线为BE,CD,
∴∠FBC=
∠ABC=21°,
∠FCB=
∠ACB=39°,
∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°.
4.【解析】选B.∵EF∥AC,
∴∠EFB=∠C=60°,
∵DF∥AB,
∴∠DFC=∠B=45°,
∴∠EFD=180°-60°-45°=75°.
5.【解析】∵∠ACD=∠A+∠B,∠A=80°,∠ACD=150°,
∴∠B=70°.
答案:
70
6.【解析】∵直线l1∥l2,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3的底边AB上的高相等,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3这3个三角形同底,等高,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3这些三角形的面积相等.
即S1=S2=S3.
3.确定全等三角形的对应边、对应角的方法
【跟踪训练】
【解析】选C.由于∠1=∠2,∠B=∠D,所以点C与点E,点B与点D是对应点,故应表示为△ABC≌△ADE,所以选C.
4.全等三角形
【跟踪训练】
1.【解析】选C.A、添加CB=CD,根据SSS,能判定△ABC≌△ADC,故A选项不符合题意;
B、添加∠BAC=∠DAC,根据SAS,能判定△ABC≌△ADC,故B选项不符合题意;
C、添加∠BCA=∠DCA时,不能判定△ABC≌△ADC,故C选项符合题意;
D、添加∠B=∠D=90°,根据HL,能判定△ABC≌△ADC,故D选项不符合题意;故选C.
2.【解析】∵AB∥DE,
∴∠ABC=∠DEF,
∵BE=CF,∴BC=EF,
∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF,
∴DF=AC=6.
答案:
6
3.【解析】在△ABF和△ACE中,
∴△ABF≌△ACE（SAS）,
∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的对应角相等）,
∴BF=CE（全等三角形的对应边相等）,
∵AB=AC,AE=AF,
∴BE=CF,
在△BEP和△CFP中,
∴△BEP≌△CFP（AAS）,∴PB=PC,
∵BF=CE,∴PE=PF,
∴图中相等的线段为PE=PF,BE=CF.
4.【证明】
（1）∵AB∥CD,
∴∠AEC=∠ECD,∠BED=∠EDC,
∵CE=DE,∴∠ECD=∠EDC,
∴∠AEC=∠BED.
（2）∵E是AB的中点,∴AE=BE,
在△AEC和△BED中,
∴△AEC≌△BED（SAS）,∴AC=BD.
5.【证明】
（1）在四边形ABCD中,
∵∠A=∠BCD=90°,
∴∠B+∠ADC=180°.
又∵∠ADC+∠EDC=180°,
∴∠ABC=∠EDC.
（2）连接AC.
∵在△ABC和△EDC中
∴△ABC≌△EDC.
6.【证明】∵AE∥BD,∴∠EAC=∠ACB,
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠EAC,
在△ABD和△CAE中,
∴△ABD≌△CAE,∴AD=CE.
5.尺规作图
【跟踪训练】
1.【解析】已知:
线段a,b和∠β.
求作:
△ABC,使BC=a,AC=b,∠C=β（也可以使任意两边分别等于a和b,夹角为β）.
2.【解析】
（1）四边形ABDC′中,AB=DC′,∠B=∠C′（或四边形ABDC′中,一组对边相等,一组对角相等）.
（2）作法:
①延长NP;
②以点M为圆心,MN为半径画弧,交NP的延长线于点G;
③以点P为圆心,MN为半径画弧,以点M为圆心,PG为半径画弧,两弧交于点Q;
④连接MQ,PQ;
⑤四边形MNPQ是满足条件的四边形.
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