考研数学公式大全线性代数.docx

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考研数学公式大全线性代数

线性代数部分

梳理：

条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。

沟通：

突出各部分内容间的联系。

充实提高：

围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷

的方法。

大家要有这样的思想准备：

发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不

知道的。

但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。

基本运算

①A+B=B+A

②（A+B）+C=A+（B+C）

③c（A+B）=cA+cB

④c（dA）=（cd）A

（c+d）A=cA+dA

⑤cA=0⇔c=0或A=0。

（AT）T=A

（A±B）T

=AT±BT

（cA）T

（AB）T

=c（AT）。

=BTAT

τ（n（n-1）21）=C2=n（n-1）

n2

D=a21A21+a22A22++a2nA2n

转置值不变AT=A

逆值变A-1=1

A

cA=cnA

α,β1+β2,γ

=α,β1,γ

+α,β2,γ

A=（α1,α2,α3），3阶矩阵

B=（β1,β2,β3）

A+B≠

A+B

A+B=（α1+β1,α2+β2,α3+β3）

A+B=α1+β1,α2+β2,α3+β3

A*A

=

0B*

0

=AB

B

E（i,j（c））=1

有关乘法的基本运算

Cij

=ai1b1j+ai2b2j++ainbnj

线性性质（A1+A2）B=A1B+A2B，

A（B1+B2）=AB1+AB2

（cA）B=c（AB）=A（cB）

结合律（AB）C=A（BC）

（AB）T

=BTAT

AB=

AkAl

AB

=Ak+l

（Ak）l

（AB）k

=Akl

=AkBk不一定成立！

AE=A，EA=A

A（kE）=kA，（kE）A=kA

AB=E⇔BA=E

与数的乘法的不同之处

（AB）k

=AkBk不一定成立！

无交换律因式分解障碍是交换性

一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如

A2-2A-3E=（A-3E）（A+E）

无消去律（矩阵和矩阵相乘）

当AB=0时⇒/A=0或B=0

由A≠0和AB=0⇒/

B=0

由A≠0时AB=AC⇒/

B=C（无左消去律）

特别的设A可逆，则A有消去律。

左消去律：

AB=AC⇒B=C。

右消去律：

BA=CA⇒B=C。

如果A列满秩，则A有左消去律，即

①AB=0⇒B=0

②AB=AC⇒B=C

可逆矩阵的性质

i）当A可逆时，

AT也可逆，且（AT）-1=（A-1）T。

Ak也可逆，且（Ak）-1=（A-1）k。

数c≠0，cA也可逆，（cA）-1=1A-1。

c

ii）A，B是两个n阶可逆矩阵⇔AB也可逆，且（AB）-1=B-1A-1。

推论：

设A，B是两个n阶矩阵，则AB=E⇔BA=E

命题：

初等矩阵都可逆，且

（E（i,j））-1=E（i,j）

1⎛⎛1⎫⎫

（E（i（c）））-

=Eçiç⎪⎪

⎝⎝c⎭⎭

（E（i,j（c）））-1=E（i,j（-c））

命题：

准对角矩阵

A11

0

A=

0

0

22

0

0

0

A

0

0

00

00Akk

-1

A

11

ii

可逆⇔每个A都可逆，记A-1=0

0

0

000

A

0

0

-1

22

00

A

00

-1

kk

伴随矩阵的基本性质：

AA*=A*A=

当A可逆时，

AE

AA*=EA

得A-1=

A*

，（求逆矩阵的伴随矩阵法）

A

且得：

（A*）-1=

伴随矩阵的其他性质

A=（A-1）*

A

⎛A-1（A-1）-1=⎫

（A-1）*=

A

A

ç

ç

⎪

⎝

⎪

⎭

①A*=

A

n-1

A*=

AA-1

②（AT）*=（A*）T,

③（cA）*=cn-1A*,

④（AB）*=B*A*,

⑤（Ak）*=（A*）k，

⑥（A*）*=

AA

n-2

。

n=2时，（A*）*=A

⎛a

A*=ç

-b⎫

⎪

关于矩阵右上肩记号：

T，k，-1，*

i）任何两个的次序可交换，

如（AT）*=（A*）T，

（A*）-1=（A-1）*等

⎝-cd⎭

ii）（AB）T

=BTAT,（AB）-1=B-1A-1，

（AB）*=B*A*

但（AB）k

=BkAk不一定成立！

线性表示

0→α1,α2,,αs

αi→α1,α2,,αs

β→α1,α2,,αs⇔x1α1+x2α2++xsαs=β有解

T

⇔（α1,α2,,αs）x=β有解（x=（x1,,xs））

Ax=β有解，即β可用A的列向量组表示

AB=C=（r1,r2,,rs），A=（α1,α2,,αn），则r1,r2,,rs→α1,α2,,αn。

β1,β2,,βt

→α1,α2,,αs，

则存在矩阵C，使得（β1,β2,,βt）=（α1,α2,,αs）C

线性表示关系有传递性当β1,β2,,βt→α1,α2,,αs→r1,r2,,rp，

则β1,β2,,βt

→r1,r2,,rp。

等价关系：

如果

α1,α2,,αs

与β1,β2,,βt

互相可表示

α1,α2,,αs←→β1,β2,,βt

记作α1,α2,,αs≅β1,β2,,βt。

线性相关

s=1，单个向量α，xα=0

α相关⇔α=0

s=2，α1,α2相关⇔对应分量成比例

α1,α2相关⇔a1:

b1=a2:

b2==an:

bn

①向量个数s=维数n，则α1,,αn线性相（无）关⇔α1αn

=（≠）0

A=（α1,α2,,αn），Ax=0有非零解⇔A=0

如果s>n，则α1,α2,,αs一定相关

Ax=0的方程个数n<未知数个数s

②如果α1,α2,,αs无关，则它的每一个部分组都无关

③如果α1,α2,,αs无关，而α1,α2,,αs,β相关，则β→α1,α2,,αs

证明：

设c1,,cs,c不全为0，使得c1α1++csαs+cβ=0

则其中c≠0，否则c1,,cs不全为0，c1α1++csαs=0，与条件α1,,αs无关矛

盾。

于是β=-c1α--

c1

csα。

cs

④当β→α1,,αs时，表示方式唯一⇔α1αs无关

（表示方式不唯一⇔α1αs相关）

⑤若β1,,βt

→α1,,αs，并且t>s，则β1,,βt一定线性相关。

证明：

记A=（α1,,αs），B=（β1,,βt），

则存在s⨯t矩阵C，使得

B=AC。

Cx=0有s个方程，t个未知数，s

则Bη=ACη=0，即η也是Bx=0的非零解，从而β1,,βt线性相关。

各性质的逆否形式

①如果α1,α2,,αs无关，则s≤n。

②如果α1,α2,,αs有相关的部分组，则它自己一定也相关。

③如果α1αs无关，而β→/

α1,,αs，则α1,,αsβ无关。

⑤如果β1βt→α1αs，β1βt无关，则t≤s。

推论：

若两个无关向量组α1αs与β1βt等价，则s=t。

极大无关组

一个线性无关部分组（I），若#（I）等于秩α,α,α,α→（I），（I）就一定是极大无关组

1246

①α1,α2,,αs无关⇔γ（α1,α2,,αs）=s

②β→α1,α2,,αs⇔γ（α1,α2,,αs,β）=γ（α1,,αs）

另一种说法：

取α1,α2,,αs的一个极大无关组（I）

1

2

（I）也是α,α

,αs

β的极大无关组⇔（I）,β相关。

证明：

β→α1,,αs⇔β→（I）⇔（I）,β相关。

γ（α

1s

,α

γ

⎧

β）=⎨

（α1,,αs）,β→α1αs

⎩γ（α1,,αs）+1,β→/

α1,,αs

③β可用α1,,αs唯一表示⇔γ（α1,,αs,β）=γ（α1,,αs）=s

④β1,,βt

→α1,,αs⇔γ（α1,,αs,β1,,βt）=γ（α1,,αs）

⇒γ（β1,,βt）≤γ（α1,,αs）

⑤α1,,αs≅β1,,βt

⇔γ（α1,,αs）=γ（α1αs,β1βt）=γ（β1,,βt）

矩阵的秩的简单性质

0≤r（A）≤min{m,n}

r（A）=0⇔A=0

A行满秩：

r（A）=m

A列满秩：

r（A）=n

n阶矩阵A满秩：

r（A）=n

A满秩⇔A的行（列）向量组线性无关

⇔A≠0

⇔A可逆

⇔Ax=0只有零解，Ax=β唯一解。

矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩

①r（AT）=r（A）

②c≠0时，r（cA）=r（A）

③r（A±B）≤r（A）+r（B）

④r（AB）≤min{r（A）,r（B）}

⑤A可逆时，r（AB）=r（B）

弱化条件：

如果A列满秩，则γ（AB）=γ（B）

证：

下面证ABx=0与Bx=0同解。

η是ABx=0的解⇔ABη=0

⇔Bη=0⇔η是Bx=0的解

B可逆时，r（AB）=r（A）

⑥若AB=0，则r（A）+r（B）≤n（A的列数，B的行数）

⑦A列满秩时r（AB）=r（B）

B行满秩时r（AB）=r（A）

⑧r（AB）+n≥r（A）+r（B）

解的性质

1．Ax=0的解的性质。

如果η1,η2,,ηe是一组解，则它们的任意线性组合c1η1

+c2η2

++ceηe一定也

是解。

∀i,Aηi=0⇒A（c1η1+c2η2++ceηe）=0

2．Ax=β（β≠0）

①如果ξ1,ξ2,,ξe是Ax=β的一组解，则

c1ξ1+c2ξ2++ceξe也是Ax=β的解⇔c1+c2++ce=1

c1ξ1+c2ξ2++ceξe是Ax=0的解⇔c1+c2++ce=0

Aξi=β⋅∀i

本资料由“面包考研”搜集提供，仅供学习交流使用！

A（c1ξ1+c2ξ2++ceξe）=c1Aξ1+c2Aξ2++ceAξe

=（c1+c2++ce）β

特别的：

当ξ1,ξ2是Ax=β的两个解时，ξ1-ξ2是Ax=0的解

②如果ξ0是Ax=β的解，则n维向量ξ也是Ax=β的解⇔ξ-ξ0是Ax=0的解。

解的情况判别

方程：

Ax=β，即x1α1+x2α2++xnαn=β

有解⇔β→α1,α2,,αn

12n12n

⇔γ（A|β）=γ（A）⇔γ（α,α,,α,β）=γ（α,α,,α）

无解⇔γ（A|β）>γ（A）唯一解⇔γ（A|β）=γ（A）=n无穷多解⇔γ（A|β）=γ（A）

方程个数m：

γ（A|β）≤m,γ（A）≤m

①当γ（A）=m时，γ（A|β）=m，有解

②当m

只有零解⇔γ（A）=n（即A列满秩）

（有非零解⇔γ（A）

特征值特征向量

λ是A的特征值⇔λ是A的特征多项式xE-A的根。

两种特殊情形：

（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。

⎛λ1**⎫

ç⎪

A=ç0λ2*⎪

ç⎪

⎝00

λ3⎭

xE-A=

x-λ1

0

0

-*

x-λ2

0

-*

-*

x-λ3

=（x-λ1）（x-λ2）（x-λ3）

（2）r（A）=1时：

A的特征值为0,0,,0,tr（A）

特征值的性质

命题：

n阶矩阵A的特征值λ的重数≥n-r（λE-A）

命题：

设A的特征值为λ1,λ2,,λn，则

①λ1λ2λn=A

②λ1+λ2++λn=tr（A）

命题：

设η是A的特征向量，特征值为λ，即Aη=λη，则

①对于A的每个多项式f（A），f（A）η=

f（x）η

②当A可逆时，A-1η=1η，A*η=|A|η

λλ

命题：

设A的特征值为λ1,λ2,,λn，则

12n

①f（A）的特征值为f（λ）,f（λ）,,f（λ）

②A可逆时，A-1的特征值为1,1

λ1λ2

1

λ

,

n

A*的特征值为|A|,|A|,,|A|

λ1λ2λn

③AT的特征值也是λ

特征值的应用

1,λ

2,,λn

①求行列式|A|=λ1,λ2,,λn

②判别可逆性

λ是A的特征值⇔λE-A=0⇔A-λE不可逆

A-λE可逆⇔λ不是A的特征值。

当f（A）=0时，如果f（c）≠0，则A-cE可逆

若λ是A的特征值，则f（λ）是f（A）的特征值⇒

f（λ）=0。

f（c）≠0⇒c不是A的特征值⇔AcE可逆。

n阶矩阵的相似关系

当AU=UA时，B=A，而AU≠UA时，B≠A。

相似关系有i）对称性：

A~B⇔B~A

U-1AU=B，则A=UBU-1

ii）有传递性：

A~B，B~C，则A~C

U-1AU=B，V-1BV=C，则

（UV）-1A（UV）=V-1U-1AUV

=V-1BV=C

命题当A~B时，A和B有许多相同的性质

①A=B

②γ（A）=γ（B）

③A，B的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

A与B的特征向量的关系：

η是A的属于λ的特征向量⇔U-1η是B的属于λ的特征向量。

Aη=λη⇔B（U-1η）=λ（U-1η）

U-1Aη=λU-1η⇔U-1AUU-1η=λ（U-1η）

正定二次型与正定矩阵性质与判别

可逆线性变换替换保持正定性

f（x1,x2,,xn）变为g（y1,y2,,yn），则它们同时正定或同时不正定

A~-B，则A，B同时正定，同时不正定。

例如B=CTAC。

如果A正定，则对每个x≠0

xTBx=xTCTACx=（Cx）TACx>0

（C可逆，x≠0，∴Cx≠0！

）我们给出关于正定的以下性质

A正定⇔A~-E

⇔存在实可逆矩阵C，A=CTC。

⇔A的正惯性指数=n。

⇔A的特征值全大于0。

⇔A的每个顺序主子式全大于0。

判断A正定的三种方法：

①顺序主子式法。

②特征值法。

③定义法。

基本概念

对称矩阵AT=A。

反对称矩阵AT

=-A。

简单阶梯形矩阵：

台角位置的元素都为1，台角正上方的元素都为0。

如果A是一个n阶矩阵，A是阶梯形矩阵⇒A是上三角矩阵，反之不一定矩阵消元法：

（解的情况）

①写出增广矩阵（Aβ），用初等行变换化（Aβ）为阶梯形矩阵（Bγ）。

②用（Bγ）判别解的情况。

i）如果（Bγ）最下面的非零行为（0,,0d），则无解，否则有解。

ii）如果有解，记γ是（Bγ）的非零行数，则

γ=n时唯一解。

γ

iii）唯一解求解的方法（初等变换法）

0

去掉（Bγ）的零行，得（B

γ），它是n⨯（n+c）矩阵，B是n阶梯形矩阵，从而是上三角

0

0

矩阵。

则bnn≠0⇒bn-1n-1≠0⇒bii都不为0。

（Aβ）−−行→（Br）−−行→（Eη）

η就是解。

a11

a

一个n阶行列式21

an1

①是n!

项的代数和

a12

a22

an2

a1n

a2n

的值：

ann

②每一项是n个元素的乘积，它们共有n!

项aa

a其中jj

j是1,2,,n的一个全

排列。

1j12j2

njn

12n

1

③a1ja

njn

前面乘的应为（-1）τ（j1j2jn）

τ（j1

j2jn

）的逆序数

1j1

=∑（-1）τ（j1j2jn）a

a2j2

anjn

j1j2jn

τ（n（n-1）21）=C2=n（n-1）

n2

代数余子式

Mij为aij的余子式。

Aij

=（-1）i+j

Mij

定理：

一个行列式的值D等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。

D=a21A21+a22A22++a2nA2n一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。

范德蒙行